כיצד ליצור אטם אפולוני?

אטמים אפולוניים לובשים צורה של סידורי פרקטל יפהפיים של מעגלים מתכווצים. מבחינה מתמטית, לאטמים של אפולוניה יש מורכבות אינסופית, אך בין אם אתה משתמש בתוכנית ציור למחשב או בכלי ציור מסורתיים, בסופו של דבר תגיע לנקודה בה אי אפשר לצייר מעגלים קטנים יותר. שים לב שככל שאתה מצייר את המעגלים שלך באופן מדויק יותר, כך תוכל להשתלב באטם שלך.

1. 1
   אסוף את כלי הציור הדיגיטלי או האנלוגי שלך. בשלבים שלהלן נכין אטם אפולוניה פשוט משלנו. אפשר לצייר אטמים אפולוניים ביד או במחשב. בשני המקרים, תרצה להיות מסוגל לצייר מעגלים עגולים לחלוטין. זה די חשוב. מכיוון שכל מעגל באטם אפולוני הוא משיק לחלוטין למעגלים הסמוכים לו, מעגלים אפילו מעט מעוותים יכולים "להשליך" את המוצר הסופי שלך.

   • אם מציירים את האטם במחשב, תזדקק לתוכנית המאפשרת לך לצייר מעגלים ברדיוס קבוע מנקודה מרכזית. ניתן להשתמש ב- Gfig, הרחבה לציור וקטורי עבור תוכנית עריכת התמונות בחינם GIMP, כמו גם מגוון רחב של תוכניות ציור אחרות (עיין בסעיף החומרים לקישורים רלוונטיים). ככל הנראה תזדקק ליישום מחשבון ומסמך מעבד תמלילים או פנקס פיזי לרישום הערות על עקמומיות ורדיוסים.
   • כדי לצייר את האטם ביד, תצטרכו מחשבון (מוצע מדעי או גרפי), עיפרון, מצפן, סרגל (רצוי סולם עם סימני מילימטר, נייר גרף ופנקס רשימות לרישום הערות.
2. 2
   התחל עם מעגל אחד גדול. המשימה הראשונה שלך קלה - פשוט צייר מעגל אחד גדול ועגול לחלוטין. ככל שהמעגל גדול יותר, כך האטם שלך יכול להיות מורכב יותר, לכן נסה לעשות עיגול גדול ככל שהנייר שלך מאפשר או גדול ככל שתוכל לראות בקלות בחלון אחד בתוכנית הציור שלך.
3. 3
   צור עיגול קטן יותר בתוך המקור, המשיק לצד אחד. לאחר מכן, צייר עיגול נוסף בתוך הראשון שהוא קטן יותר מהמקור, אך עדיין גדול למדי. הגודל המדויק של המעגל השני הוא תלוי בך - אין בגודל נכון. עם זאת, לענייננו, בואו נצייר את המעגל השני שלנו כך שהוא יגיע בדיוק באמצע הדרך על פני המעגל החיצוני הגדול שלנו. במילים אחרות, בואו נצייר את המעגל השני שלנו כך שהנקודה המרכזית שלו תהיה נקודת האמצע של הרדיוס של המעגל הגדול.

   • זכור כי באטמים אפולוניים, כל המעגלים הנוגעים משיקים זה לזה. אם אתה משתמש במצפן כדי לצייר את העיגולים שלך ביד, צור מחדש את האפקט הזה על ידי הצבת הנקודה החדה של המצפן בנקודת האמצע של רדיוס המעגל החיצוני הגדול, כוונן את העיפרון שלך כך שהוא פשוט ייגע בקצה העיגול הגדול, ואז מצייר את המעגל הפנימי הקטן יותר שלך.
4. 4
   צייר מעגל זהה "מול" המעגל הפנימי הקטן יותר. לאחר מכן, בואו נשרטט מעגל נוסף מהראשון שלנו. מעגל זה צריך להיות משיק גם למעגל החיצוני הגדול וגם למעגל הפנימי הקטן יותר, כלומר שני המעגלים הפנימיים שלך ייגעו בנקודת האמצע המדויקת של המעגל החיצוני הגדול.
5. 5
   החל את משפט desartes כדי למצוא את גודל המעגלים הבאים שלך. בואו נפסיק לצייר לרגע. כעת, כשיש לנו שלושה מעגלים באטם שלנו, אנו יכולים להשתמש במשפט של דקארט כדי למצוא את הרדיוס של המעגל הבא שנצייר. זכור שמשפט דקארט הוא d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), כאשר a, b ו- c הם העקמומיות של שלושת העיגולים המשיקים שלך ו- d הוא עקמומיות המעגל המשיק לשלושתם. לכן, כדי למצוא את רדיוס המעגל הבא שלנו, בואו נמצא את העקמומיות של כל אחד מהמעגלים שיש לנו עד כה כדי שנוכל למצוא את העקמומיות של המעגל הבא, ואז להמיר את זה לרדיוס שלו.

   • נגדיר את רדיוס המעגל החיצוני שלנו כ- 1. מכיוון שהמעגלים האחרים נמצאים בתוך זה, אנו מתמודדים עם העקמומיות הפנימית שלו (ולא העקמומיות החיצונית), וכתוצאה מכך אנו יודעים שעקמומיותו שלילית. - 1 / r = -1 = -1. העקמומיות של המעגל הגדול היא -1.
   • הרדיוסים של העיגולים הקטנים גדולים מחציתם משל העיגול הגדול, או, במילים אחרות, 0,5. מכיוון שהמעגלים הללו נוגעים זה בזה ובמעגל הגדול בקצהם החיצוני, אנו מתמודדים עם העקמומיות החיצונית שלהם, כך שעקמומיהם חיוביים. 1 / (0,5) = 2. עקמומיות העיגולים הקטנים הן 2.
   • כעת אנו יודעים כי a = -1, b = 2 ו- c = 2 למשוואת משפט דקארט שלנו. בואו נפתור עבור d:
     • d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
     • d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
     • d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
     • d = -1 + 2 + 2 ± 0
     • d = -1 + 2 + 2
     • d = 3. העקמומיות של המעגל הבא שלנו היא 3. מכיוון 3 = 1 / r, הרדיוס של המעגל הבא שלנו הוא 0,33.
6. 6
   צור את קבוצת המעגלים הבאה שלך. השתמש בערך הרדיוס שמצאת זה עתה כדי לצייר את שני המעגלים הבאים שלך. זכור כי אלו יהיו משיקים את עיגולי עקמומיות שאת השתמשת עבור a, b, ו- c ב של דקארט המשפט. במילים אחרות, הם יהיו משיקים גם למעגל המקורי וגם למעגל השני. כדי שהמעגלים הללו יהיו משיקים לכל שלושת המעגלים, יהיה עליכם לצייר אותם במרחבים הפתוחים בחלק העליון והתחתון של האזור בתוך העיגול המקורי הגדול שלכם.

   • זכור שרדיוס המעגלים האלה יהיה שווה ל -0,33. מדוד 0,33 חזרה מקצה המעגל החיצוני, ואז צייר את המעגל החדש שלך. זה צריך להיות משיק לשלושת המעגלים שמסביב.
7. 7
   המשך בדרך זו כדי להמשיך להוסיף מעגלים. מכיוון שהם פרקטלים, אטמים אפולוניים מורכבים לאין ערוך. פירוש הדבר שתוכל להוסיף עיגולים קטנים יותר ויותר לתוכן הלב שלך. אתה מוגבל רק לדיוק הכלים שלך (או אם אתה משתמש במחשב, היכולת של תוכנית הציור שלך "להתקרב"). כל מעגל, קטן ככל שיהיה, צריך להיות משיק לשלושה מעגלים אחרים. כדי לצייר כל עיגול אחר כך באטם שלך, חבר את העקמומיות של שלושת העיגולים אליהם הוא משיק למשפט של דקארט. לאחר מכן השתמש בתשובה שלך (שתהיה הרדיוס של המעגל החדש שלך) כדי לצייר את המעגל החדש שלך במדויק.

   • שימו לב כי האטם שבחרנו לצייר הוא סימטרי, ולכן הרדיוס של מעגל אחד זהה למעגל המקביל "ממול". עם זאת, דעו שלא כל אטם אפולוני הוא סימטרי.
   • בואו נתמודד עם דוגמא אחת נוספת. בואו נגיד שאחרי שרטטנו את קבוצת המעגלים האחרונה שלנו, אנחנו רוצים עכשיו לצייר את המעגלים המשיקים למערכה השלישית שלנו, למערכה השנייה שלנו ולמעגל החיצוני הגדול שלנו. העקמומיות של מעגלים אלה הן 3, 2 ו- -1, בהתאמה. בואו נחבר את המספרים הללו למשפט של דקארט, תוך קביעת a = -1, b = 2 ו- c = 3:
     • d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
     • d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
     • d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
     • d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
     • d = -1 + 2 + 3 ± 2
     • d = 2, 6. יש לנו שתי תשובות! עם זאת, מכיוון שאנו יודעים שהמעגל החדש שלנו יהיה קטן יותר מכל המעגלים שהוא משיק אליו, רק עקמומיות של 6 (ולכן רדיוס של 0,17) הגיונית.
     • התשובה האחרת שלנו, 2, מתייחסת למעשה למעגל ההיפותטי בצד השני של הנקודה המשיקה של המעגל השני והשלישי שלנו. מעגל זה משיק לשני המעגלים הללו ולמעגל החיצוני הגדול, אך הוא יחתוך את המעגלים שכבר ציירנו, כך שנוכל להתעלם ממנו.
8. 8
   לאתגר, נסה ליצור אטם אפולוני לא סימטרי על ידי שינוי גודל המעגל השני שלך. כל האטמים של אפולוניה מתחילים אותו דבר - עם מעגל חיצוני גדול שפועל כקצה הפרקטל. עם זאת, אין שום סיבה שהמעגל השני שלך חייב בהכרח להיות ברדיוס של 0.5 של הראשון - אנחנו פשוט בחרנו לעשות זאת לעיל מכיוון שהוא פשוט וקל להבנה. בשביל הכיף, נסו להקים אטם חדש עם מעגל שני בגודל אחר - זה יוביל לאפיקים חדשים ומרתקים של חקר.

   • לאחר שצייר את המעגל השני שלך (ללא קשר לגודלו), המעשה הבא שלך צריך להיות לצייר מעגל אחד או יותר המשיקים אליו וגם למעגל החיצוני הגדול - גם אין דרך נכונה לעשות זאת. לאחר מכן, תוכל להשתמש במשפט של דקארט כדי לקבוע את הרדיוסים של כל המעגלים הבאים, כפי שמוצג לעיל.