איך מראים סטייה במרחב?
ביקום הפיזי, מיקומים בזמן המרחב נקראים אירועים; אירוע מוגדר מיקום במרחב תלת מימדי ונקודת זמן. המרחק בין שני אירועים נקרא מרווח זמן. בשנת היחסות הפרטית, מרווח חלל-הזמן היא כמות משתנה. במילים אחרות, צופה תמיד ימדוד אותו זהה, ללא קשר למסגרת הייחוס שלו. להלן, אנו מגדירים את מרווח הזמן באמצעות המושג הזמן - המוסכמה שבה שני אירועים קשורים באופן סיבתי.
s2 = (cΔt) 2− (Δx) 2 {\ displaystyle s ^ {2} = (c \ Delta t) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2}}
(המוסכמה דמוית החלל פשוט הופכת את הסימנים כך שהשלילה הוא על מרכיב הזמן. בשתי המוסכמות נעשה שימוש נרחב, אז וודא שאתה עקבי ומכיר מוסכמות של מחברים אחרים.)
מרווח זה דומה משפט פיתגורס כי מתייחס הצדדים של משולש ישר זווית, אבל עם שינוי סימן חיוני. זה מדגיש את העובדה שאנחנו לא עובדים במרחב האוקלידי, אלא זמן מרחב מינקובסקי, וכי המרחקים אינם מבוססים על מעגל היחידה, אלא על היפרבולה של היחידה.
אנו מוודאים כי המשתנות של מרווח הזמן היא תוצאה ישירה של טרנספורמציות לורנץ, שהן בעצמן תוצאה ישירה של תנוחות היחסות המיוחדת. השזירה בין מרחב לזמן כפי שנראית בתמורות אלה מחייבת אותנו לחשוב מחדש באופן בסיסי על מושגים אלו - ראשית, שעונים אינם מודדים זמן, אלא מרווח הזמן בו הם חוצים.
- 1התחל במרווח זמן החלל במסגרת המועצמת. אנו רואים שתי מסגרות ייחוס - מסגרת קואורדינטות נייחת, ומסגרת "מוגברת" שנע במהירות מסוימת ביחס אלינו. אנו משתמשים במקדים ראשוניים לציון כמויות שנמדדו במסגרת המועצמת.
- (cΔt ′) 2− (Δx ′) 2 {\ displaystyle (c \ Delta t ^ {\ prime}) ^ {2} - (\ Delta x ^ {\ prime}) ^ {2}}
- 2נזכר בתמורות לורנץ. לשם פשטות, נעסוק במידות 1 + 1 במקום 3 + 1, שכן הכמויות הניצבות לכיוון הדחיפה אינן משתנות. למטה, γ = 11 − v2c2 {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} הוא לורנץ גורם ו- β = vc {\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}} הוא המהירות מבחינת מהירות האור. כתיבת התמורות בדרך זו שופכת אור על הסימטריה של מרחב וזמן.
- Δx ′ = γ (Δx − βcΔt) {\ displaystyle \ Delta x ^ {\ prime} = \ gamma (\ Delta x- \ beta c \ Delta t)}
- cΔt ′ = γ (cΔt − βΔx) {\ displaystyle c \ Delta t ^ {\ prime} = \ gamma (c \ Delta t- \ beta \ Delta x)}
- 3החלף ביטויים אלה במרווח הזמן.
- (γ (cΔt − βΔx)) 2− (γ (Δx − βcΔt)) 2 {\ displaystyle (\ gamma (c \ Delta t- \ beta \ Delta x)) ^ {2} - (\ gamma (\ Delta x - \ beta c \ Delta t)) ^ {2}}
- 4לפשט את הביטוי שנוצר. פקטור ה- γ2 {\ displaystyle \ gamma ^ {2}} והרחיב. בטל תנאים דומים ואסוף את 1 − β2 {\ displaystyle 1- \ beta ^ {2}} המצורף לשניהם (cΔt) 2 {\ displaystyle (c \ Delta t) ^ {2}} ו- (Δx) 2. {\ תצוגת תצוגה (\ Delta x) ^ {2}.}
γ2 [(cΔt) 2−2cΔtβΔx + β2 (Δx) 2 - ((Δx) 2−2ΔxβcΔt + β2 (cΔt) 2)] = γ2 [(cΔt) 2 + β2 (Δx) 2− (Δx) 2 − β2 (cΔt) 2)] = γ2 [(cΔt) 2 (1 − β2) - (Δx) 2 (1 β2)] = γ2 (1 β2) [(cΔt) 2− (Δx) 2] {\ displaystyle {\ begin {align} & \ gamma ^ {2} [(c \ Delta t) ^ {2} -2c \ Delta t \ beta \ Delta x + \ beta ^ {2} (\ Delta x) ^ {2} - ((\ Delta x) ^ {2} -2 \ Delta x \ beta c \ Delta t + \ beta ^ {2} (c \ Delta t) ^ {2})] \\ = \; & \ gamma ^ {2 } [(c \ Delta t) ^ {2} + \ beta ^ {2} (\ Delta x) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2} - \ beta ^ {2} (c \ Delta t) ^ {2})] \\ = \; & \ gamma ^ {2} [(c \ Delta t) ^ {2} (1- \ beta ^ {2}) - (\ Delta x) ^ {2} (1- \ beta ^ {2})] \\ = \; & \ gamma ^ {2} (1- \ beta ^ {2}) [(c \ Delta t) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2}] \ end {align}}} - 5קשר את γ2 {\ displaystyle \ gamma ^ {2}} עם β2 {\ displaystyle \ beta ^ {2}} .
- זכור כי γ = 11 − v2c2. {\ Displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}.} זה לחלופין ניתן לכתוב כ- γ = 11 − β2. {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}.}
- עכשיו אנחנו מרובעים את שני הצדדים.
- γ2 = 11 − β2 {\ displaystyle \ gamma ^ {2} = {\ frac {1} {1- \ beta ^ {2}}}}
- כאן ברור ש- γ2 (1 − β2) = 1 {\ displaystyle \ gamma ^ {2} (1- \ beta ^ {2}) = 1} הוא זהות, ובכך מבטל את עצמו. מכיוון שהתוצאה הסופית שלנו אינה תלויה במהירות המסגרת המועצמת, הראינו שמרווח הזמן של המרחב נמדד זהה בכל מסגרת ייחוס אינרציאלית. שים לב שזה לא חל על מסגרות מואצות, או תרחישים שבהם כוח הכבידה אינו זניח.
- (cΔt ') 2− (Δx') 2 = (cΔt) 2− (Δx) 2 {\ displaystyle (c \ Delta t ^ {\ prime}) ^ {2} - (\ Delta x ^ {\ prime}) ^ {2} = (c \ Delta t) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2}}
![{\ begin {align} ו- \ gamma ^ {{2}} [(c \ delta t) ^ {{2}} - 2c \ delta t \ beta \ delta x + \ beta ^ {{2}} (\ delta x) ^ {{2}} - ((\ delta x) ^ {{2}} - 2 \ delta x \ beta c \ delta t + \ beta ^ {{2}} (c \ delta t) ^ {{2} })] \\ = \; ו- \ gamma ^ {{2}} [(c \ delta t) ^ {{2}} + \ beta ^ {{2}} (\ delta x) ^ {{2}} - (\ delta x) ^ {{2}} - \ beta ^ {{2}} (c \ delta t) ^ {{2}})] \\ = \; and \ gamma ^ {{2}} [(c \ delta t) ^ {{2}} (1- \ beta ^ {{2}}) - (\ delta x) ^ {{2}} (1- \ beta ^ {{2}})] \ \ = \; ו- \ gamma ^ {{2}} (1- \ beta ^ {{2}}) [(c \ delta t) ^ {{2}} - (\ delta x) ^ {{2}}] \ end {align}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91bd86d22fda91af413c675069af8bffe9ed05eb)
