כיצד לצייר לוקוס שורש של מערכת?
יש לך שני שורשים אמיתיים s = 0 ו- s = - 1, מכיוון שמשוואה אופיינית היא s2 + s = 0.
מערכת עם משוב הופכת יציבה כאשר משוואות המתארות אותה מערכת בעלות שורשים העוקבים אחר דפוסים מסוימים.
אחרת, המערכת תהפוך לבלתי יציבה. דוגמה למערכת לא יציבה שכזו היא כאשר מיקרופונים יוצרים חריקות. חלק פידבקים קול רמקול למיקרופון הופך מוגבר על ידי מגברים ואז נכנס הרמקולים ושוב בולשת למיקרופון ולולאות שוב ושוב עד המגברים מרווים אותו לתוך יצירה גבוהה ודק רעש.
משוב לפעמים שומר על המערכת רק בשולי חוסר היציבות ומתחיל לגרום למערכת להתנדנד. זה עשוי להיות שימושי באלקטרוניקה ובמקומות אחרים כדי לקבל תנודה קבועה; במכשיר כגון שעון. אבל אם השוליים לא חושבו בקפידה, שינוי קטן עלול להרוס את המערכת להרס. זה נראה כאשר כמה גשרים קרסו עקב התנודדות ואז לברוח של חוסר היציבות כאשר אנשים או מכוניות או רכבות עוברות מעליהם. גשר לונדוני שנבנה לאחרונה ונפתח להולכי רגל במשך אלפי שנים היה קרוב לבורח זה ביום הראשון לחנוכתו, אך מכיוון שהוא עדיין היה תחת תצפית מדוקדקת של הבנאים נסגר ואסון לא קרה. מוקד שורשים עוזר למהנדסים לחזות מפרט של המערכת שלהם לעמוד בקריטריונים ליציבות. אף על פי שכל האקדמיה מלאה בשפע של תוכנות לציור "לוקוס השורש", עדיין מרתק עבור כל לומדי ההנדסה להכיר את הרישום הרעיוני של שיטה זו.
שיטה 1 מתוך 2: מקדים
- 1דעו כי למערכת הפשוטה ביותר יש קלט ופלט. המערכת מגיעה בין שני אלה. הקלט נכנס למערכת, ואז משתנה ואז יוצא כפלט הרצוי. מערכת בנויה כדי ליצור שינוי כה רצוי עבור הפלט.
- 2הראה מערכת לפי תיבה. קלט נכנס אליו כחץ ופלט יוצא ממנו כחץ.
- מה שהמערכת עושה לכניסה נקרא פונקציית המערכת.
- לפני ביצוע פונקציה זו מערכת תמיד עושה אחד משלושת הדברים לקלט שלה,
- לוקוס שורש זה נקרא 180° Root Locus.
- פשוט מקטין את הקלט הזה. במקרה זה אנו אומרים שמקדם ההגברה נמוך מאחד (0 <K <1).
- כל שעליך לעשות הוא לשמור על אותו ערך. במקרה זה אנו אומרים שמקדם ההגברה שווה לאחד (K = 1).
- פשוט הגדילו אותו. במקרה זה אנו אומרים שמקדם ההגברה גדול מאחד (K> 1).
- לפני ביצוע פונקציה זו מערכת עשויה להפוך את הקלט להפוך, הפוך, ואחריו היא תמיד עושה אחד משלושת הדברים לקלט שלה,
- מקום שורש זה נקרא 0° שורש.
- פשוט מקטין את הקלט ההפוך הזה. במקרה זה אנו אומרים שמקדם ההגברה גדול ממינוס אחד (- 1 <K <0).
- כל שעליך לעשות הוא לשמור על אותו ערך. במקרה זה אנו אומרים שמקדם ההגברה שווה למינוס אחד (K = - 1).
- פשוט מגדיל את זה. במקרה זה אנו אומרים שמקדם ההגברה נמוך ממינוס אחד (K <- 1).
- K נקרא רווח של המערכת.
- למערכת עם המשוב יש נתיב מפלט לקלט ולהשתתף ולשתף משהו מהפלט לקלט.
- 3זכור שמערכת ללא משוב בסימון ההנדסי היא כמו זו המוצגת בתמונה.
התייחסות הפלט לקלט מתוארת כפל קלט X (ים) על ידי פונקציית המערכת G (s) כדי ליצור את הפלט Y (s). כלומר, Y (s) = g (s) x (s). - 4נהל את התוצאה האחרונה שתקבל (ראה תמונה למעלה)
- 5הראה, אם כן, עם אותן סימנים רשמיים ואילך. שימו לב שבתוך הצלב (X) יש סימן פלוס (+) לקלט וסימן מינוס (-) למשוב.
הפלט מגיע ודרך נתיב משוב עובר לשנות את הקלט. כאשר פלט Y (ים) יוצא מהמשוב הוא הופך ל- Y (s) פעמים H (s) (כלומר, Y (s) H (s)) ומופחת מהקלט X (ים).
לכן, למעשה X (ים) -Y (ים) H (ים) נכנסים למערכת. איקס(s) -Y (s) H (s) נכנס למערכת והופך מוכפל על ידי פונקציית המערכת ויוצא כ- (X (s) -Y (s) H (s)) G (s). לפיכך, הפלט Y (s) הוא למעשה,
Y (s) = (x (s) -y (s) h (s)) g (s) - 6נהל את התוצאה האחרונה שתקבל (ראה תמונה למעלה)
- 7שים לב שהיחס y (s) / x (s), לא משנה מה זה, נקרא פונקציית העברה.
- פונקציית העברה כמו במשוואה 2 מכונה פונקציית העברת לולאה סגורה.
- מוצר G (ים) H (ים) במשוואה 2 מכונה פונקציית העברת לולאה פתוחה.
מניפולציה של משוואה זו מסתכמת ב- s2 + s + K = 0. - 8זכור שאתה יכול לקבל משוואה, 1 + h (s) g (s) = 0. משוואה זו נקראת המשוואה האופיינית של המערכת.
- 9זכור. כל הפונקציות שנדונו, אפילו אחד של X (s) או Y (s) עצמם, הם מורכבים רציונלי פונקציות של משתנה מורכב ים.
- 10זכור גם שפונקציה רציונלית מורכבת היא היחס בין שני פולינומים מורכבים מורכבים. לדוגמא H (s ) = n ( s ) / d ( s ).
- 11השווה את היחס y (ים) / x (ים) בשתי מערכות ללא משוב ועם משוב כדי לראות מה ההשפעה של המשוב במערכת.
- 12בצע חישוב פשוט כדי לשכנע אותך שניתן לבלוע את פונקציית המשוב לקלט לפני נקודת ההשוואה.
- 13שימו לב למשוב הפשוט. לעתים קרובות בלולאת המשוב, פונקציית המשוב היא יחידה; כלומר, H (s) = 1.
- 14כתוב משוואה 2, ואז כמו (ראה את התמונה למעלה)
- 15רווח נפרד K. עדיף להפריד בין הרווח של המערכת כבלוק עצמאי. נכון שכעת ה- G (ים) אינה זהה ל- G (ים הקודמים) שכן הרווח K שלה הוסר ממנו, אך עדיין נוח להשתמש באותה סימון עבורו, כאילו היה לנו בלוק K וחסימת G (ים) מההתחלה.
- 16כתוב, אז, משוואה 3 כמו (ראה את התמונה למעלה)
- 17שים לב שהמכנה קובע את יציבות המערכת. אתה רוצה לדעת מתי המכנה הזה הופך לאפס, או מתקרב לאפס כאשר הרווח של המערכת, K, כאשר הפרמטר משתנה. אתה מעוניין לבדוק 1 + KG (s) = 0. או G (s) = - 1 / K. נניח K> 0 ואז להבין בסימטריה מה קורה אם K <0. להבנה מקיפה, אפילו הטריוויאלי יש לדון גם במקרה K = 0.
- 18חשב את גודל (מודולוס) וזווית (טיעון) של g (s). כתוצאה מכך, שים לב ש | G (ים) | = 1 / K ו- / G (s) = 180° q; איפה, q הוא מספר שלם אי זוגי. סמל זה / __ מראה את הזווית של פונקציה מורכבת.
- 19זכור ש- g (s) היא פונקציה רציונלית; כלומר שווה לפולינום מחולק לפולינום שניהם באותו משתנה s. לכן,
פונקציה אופיינית למערכת בקרת המנוע היא 1 + K / s (1 + s) = 0. - 20שים לב שבאופן כללי, לא קל למצוא שורשים של פולינום בדרגה גדולה משלושה או ארבעה ולכתוב אותו על גורמי השורשים שלו, כפי שהוא נעשה במשוואה 5. זהו מכשול אחד במציאת מיקום השורש. בכל מקרה, נכון לעכשיו, ההנחה היא שגורם כזה ידוע. לפיכך, לפולינום של דרגה n יש לנו n שורשים מורכבים r i
- 21התחל מהמערכת הפשוטה ביותר. המשוואה האופיינית הופכת להיות s + K = 0. שינוי K מ- 0 כלפי מעלה משנה s מ- 0 ל- - ∞ כלפי מטה.
- 22זכור. מ בתיכון היה לך שאלות כגון לקבוע פרמטר β כך משוואה ריבועית x 2 + x + β = 0 יש שני שורשים שווים; שאלות כאלה או דומות. זו הייתה בעיה בסיסית של שורש השורש שעובדה פרמטריה עם β. ידעת שעליך לחשב מפלה ולשים אותו שווה לאפס כדי לעמוד בתנאי שנקבע: Δ = 1 - 4β = 0 ומכאן β = 1/4.
- 23פתר לוקוס שורש דומה למערכת הבקרה המתוארת בלולאת המשוב כאן. במקום להפלות, תיחקר הפונקציה האופיינית; כלומר 1 + K (1 / s (s + 1) = 0. מניפולציה של משוואה זו מסכמת ל- s 2 + s + K = 0.
- 24שאל שאלות לגבי k.
- 25התחל מ- k = 0. יש לך שני שורשים אמיתיים s = 0 ו- s = - 1, מכיוון שמשוואה אופיינית היא s 2 + s = 0.
- 26הגדל את K. עדיין יש לך שני שורשים אמיתיים, עד ל- K = 1/4, שם שני שורשים יהיו שווים; כלומר s 1 = s 2 = - 1/2.
- 27הגדל את K> 1/4. ההפליה תהיה שלילית. יש לך שני שורשים דמיוניים כמצומדים מורכבים זה לזה. אך הערך האמיתי של שני השורשים נשאר זהה ושווה ל- - 1/2. להגדלת K אין כל השפעה על כך; רק חלקים דמיוניים יהפכו גדולים יותר. לוקוס השורש משורטט בקווים כבדים.
- ישנם שני שורשים לפולינום הרביעי הזה ובהחלט הם מצטרפים לנקודה אחת על הקו האמיתי לערך מסוים של פרמטר K ההופך את ההבחנה לשווה לאפס ויוצר שורש חוזר.
- החלק של הקו האמיתי בין שני שורשים אלה הוא חלק ממיקום השורשים
- נקודה זו נקראת נקודת σ או נקודת הסתעפות של אסימפטוטות מיקום השורש.
- עד לערך זה של מערכות K בלי לשטוף יתר על המידה (לא רוטט לפני עצירה).
- ב- K = 1/4 המערכת משתכרת בצורה קריטית.
- לאחר מכן, הגדלת K רק מגדילה את החלק הדמיוני של שורשי הצמידה שנוצרו.
- זה הופך את הסתעפות מיקום השורש בניצב לקו האמיתי.
- תיאורטית, לאורך כל הקו הזה המערכת משתבשת אך עם רעידות. למעשה, הגדלת הרווח יכולה להפוך את המערכת לא יציבה. רעידות עשויות להיות כה עקשניות שמפעילות תדרים לא רצויים במערכת שבתורן תופסות את המערכת מעבר לחוזקה החומרי. לדוגמא, סדקים קטנים מגיעים לנקודות קטסטרופליות או עייפות דינמית מסדרת זאת. תמיד מעצב להמציא למניעת עלייה בלתי מוגבלת של K.
- 28דע את משמעות הדברים שקורים במישור מורכב. כל נקודה שרירותית במישור המורכב יכולה להיות מוצגת על ידי וקטור בעל אורך וזווית ביחס לקו האמיתי.
- - r הוא השורש של s + r = 0
- הים הוא אמר להיות נקודה המבחן להערכה - r.
- כל בחירה של s מעל הקו האמיתי נקראת הערכת קו אמיתי של - r.
- 29שימו לב שהמישור המורכב אינו דומה לקו האמיתי.
- על הקו האמיתי אתה מרותק למרווחים. לאינטגרל יש להעריך רק שתי נקודות סיום.
- במישור המורכב אי אפשר לשוטט בכל מקום. לעומת זאת, עליך לבחור אזור שיגביל את ההערכות שלך. אפילו זה יותר מדי. אתה מגביל את ההערכות שלך רק בכדי לבצע עקומה מסוימת או נתיבים מסוימים (בדרך כלל פשוטים).
- 30הערך את נקודת הבדיקה השרירותית s 1 ביחס לשורש הפולינום s + 2 = 0. זהו וקטור מקצה s 1 עד קצה r.
X (s) -Y (s) H (s) נכנס למערכת והופך מוכפל על ידי פונקציית המערכת ויוצא כ- (X (s) -Y (s) H (s)) G (s). - 31נניח שיש לך מספר מסוים של השורשים האמיתיים בקו האמיתי. שאלו איזה חלק מהקו האמיתי נופל על מיקום השורש כאשר הרווח k משתנה מאפס לאינסוף פלוס.
- בחר נקודה כלשהי בשורה האמיתית אם מספר השורשים האמיתיים (אפסים וקטבים) בצד ימין של שורש זה הוא מספר אי זוגי (1, 3, 5,...) ואז החלק הזה של השורה האמיתית הוא גם במיקום השורשים.
- במשלב הפשוט לכל הנקודות בחלק השלילי של הקו האמיתי יש רק שורש אחד בצד ימין. לפיכך, כל הקו האמיתי השלילי נמצא במיקום השורשים.
- במערכת בקרת המנוע רק לנקודות השורה האמיתית בין s = 0 ו- s = - 1 יש מספר אי זוגי של שורשים בצד ימין. לפיכך, רק החלק שבין s = 0 ל- s = - 1 נמצא במיקום השורש.
- 32זכור שהפונקציה האופיינית ללולאת המשוב הכללית הייתה 1 + g (s) h (s) = 0. הסר את הרווח K באשר הוא, כפרמטר נפרד וכתוב את המשוואה האופיינית כ- 1 + K f (s) = 0, כאשר F (s) היא פונקציה רציונלית; כלומר F (s) = n (s) / d (s). שניהם N (ים) וגם D (ים) הם פולינומים.
- שורשי N (ים), כלומר אפסים של F (ים) הם פולינום של מידה m.
- שורשי D (ים), כלומר קטבים של F (ים) הם פולינומים של דרגה n.
- פונקציה אופיינית למשלב הפשוט היא 1 + K / s = 0.
- F (s) = 1 / s.
- פונקציה אופיינית למערכת בקרת המנוע היא 1 + K / s (1 + s) = 0.
- F (s) = 1 / s (1 + s).
- 33להכיר מערכת תקינה. במערכת תקינה m < n. מספר האפסים קטן פחות ממספר הקטבים. כלומר, המערכת לא בועטת או סובלת מעברים אינסופיים.
- 34דע את המשמעות של ענפים. ענפים הם נתיבים ששורשי הפונקציה האופיינית יוצרים כאשר ערך הרווח K משתנה מאפס לאינסוף. כל ערך של K נותן פונקציה אופיינית חדשה עם שורשים שונים.
- אם ברצונך להכניס ערכים שונים של K למשוואה האופיינית ולפתור את הפולינומים כדי לקבל את השורשים, עליך להשתמש במחשב או להשתמש בשיטות גרפיות כגון מיקום השורש לשרטוט הפתרונות.
שיטה 2 מתוך 2: צייר לוקוס שורש
- 1למדו את הכלל הבסיסי. מיקום שורש הוא סימטרי ביחס לציר האמיתי של המישור המורכב.
- 2למד את הכלל הראשון והפשוט ביותר לציור מוקד השורשים. מספר הענפים של שורש לוקוס זהה למספר השורשים של D (ים); כלומר מספר הקטבים של F (ים).
- למשלב פשוט מוט אחד. יש לו ענף אחד.
- מערכת בקרת המנוע כוללת שני קטבים האחד ב- s = 0 והשני ב- s = - 1. יש לו שני סניפים.
- 3עבור ללמוד את הכלל השני הכי פשוט. כאשר K משתנה מאפס לאינסוף ענפים של שורש לוקוס יכולים להתקרב בצורה סימפטומית לאינסוף.
- כל האסימפטוטות הללו מצטלבות בנקודה על הקו האמיתי.
- נקודת החיתוך נקראת נקודת σ-.
- חשב את נקודת σ מ,
- הוסף את כל הקטבים ואז חיסר ממנו את התוצאה של תוספת של כל האפסים. עכשיו לחלק את התוצאה על ידי ההבדל בין מספר עמודי ומספר אפסים.
- נקודת סיגמא עבור האינטגרטור הפשוט היא σ = 0
- נקודת סיגמא לבקרת המנוע היא σ = (0 - 1) / 2 = - 1/2
- אל תבלבל אסימפטוטים עם הענפים. אסימפטוטות לוקחות ענפים עד אינסוף.
- זכור שענפי קו ישר הם אסימפטוטות משלהם אם הם עוברים לאינסוף.
- 4למד מהו אפס באינסוף. בכל המקרים ש- m < n ערך של s → ∞ הופך את F (s) → 0. זה נקרא אפס באינסוף.
- 5פרש ממשוואה 7 שתוכל לתפעל אותו כך שיהיה f (s) = - 1 / K. כלומר K = 0 הופך F (s) = ∞. אבל אתה יודע ש- F (ים) הופך לאינסוף בקטבים שלו. לכן, ענפי השורש לוקוס מתחילים תמיד מקטבים, כאשר במקביל K הוא אפס.
- כל שעליך לעשות הוא לקבל את המסקנה כי יש תמיד n סניפים עולה (שמקורו) מן n הקטבים של F (s).
- 6שאלו את עצמכם היכן נוחתים הסניפים (מסתיימים)? ענפי m מסתיימים באפסים m. נותר n - m סניפים הולך עד אינסוף אשר נחשב אפסים באינסוף.
פונקציה אופיינית למשלב הפשוט היא 1 + K / s = 0. - 7מעריך את הכלל השלישי. כלל שלישי קובע זוויות אסימפטוטות המובילות ענפים של מיקום השורש. זה שווה ל- 180° / (n - m).
- השתמש בסימטריה כדי לצייר את כל האסימפטוטות.
- 8למד כיצד ענף מתרחק מקוטב. זה נקרא זווית היציאה של הענף מהקוטב. השתמש ביחס זה. בואו נלמד מהו כל גורם,
- J: הוא אינדקס הקוטב הנחקר. אתה רוצה לחשב את זווית היציאה של הקוטב הספציפי הזה.
- φ J: הוא הזווית של סטיית המוט J.
- עמ ' J: הוא הערך המורכב של הקוטב הנחקר.
- i: מסתובב בין מספר האפסים מאפס ראשון (i = 1) ל- m -th אפס (i = m).
- p J - z i: הוא הערכה של p J at z i.
- k: משוטט בין מספר הקטבים מהקוטב הראשון (k = 1) לקוטב n (k = n).
- ככל הנראה נאסר על K = J להשתתף. אבל, אפילו לא, אין משמעות; זה תוצאות p J - p J = 0; בהשתתפות ללא כלום.
- p J - p k: הוא הערכה של p J at p k.
- arg: מראה כי אתה מחשב את הזווית הקטנה ביותר של הווקטור בתוך הסוגריים [...] ביחס לציר האמיתי.
- ש: הוא מספר שלם מוזר. לרוב רק q = 1 מספיק.
- 9הבן את משמעות המשוואה הקודמת. אתה אוהב לדעת את זווית היציאה מקוטב מסוים, ואז,
- לקבוע זווית של כל אפס המוערך על ידי אותו מוט; להוסיף אותם יחד.
- קבע זווית של כל מוט המוערך על ידי אותו מוט; להוסיף אותם יחד.
- הפחיתו את השניים זה מזה.
- הוסף 180° לתוצאה (לפעמים אתה צריך להוסיף - 180° או אפילו 540° או - 540°).
- 10למד כיצד ענף נע לעבר אפס. זה נקרא זווית ההגעה של הענף לאפס. השתמש ביחס זה כדי לחשב אותו. בואו נלמד מהו כל גורם,
- J: הוא המדד של האפס הנחקר. אתה רוצה לחשב את זווית ההגעה של אותו אפס ספציפי.
- ɸ J: הוא זווית הגעה אלי אפס J.
- z J: הוא הערך המורכב של האפס הנחקר.
- k: משוטט בין מספר הקטבים מהקוטב הראשון (k = 1) לקוטב n (k = n).
- z J - p k: הוא הערכה של z J at p k.
- i: מסתובב בין מספר האפסים מאפס ראשון (i = 1) ל- m -th אפס (i = m).
- כנראה שנאסר על השתתפות ב- i = J. אבל, אפילו לא, אין משמעות; זה תוצאות z J - z J = 0; בהשתתפות ללא כלום.
- z J - z i: הוא הערכה של z J at z i.
- arg: מראה כי אתה מחשב את הזווית הקטנה ביותר של הווקטור בתוך הסוגריים [...] ביחס לציר האמיתי.
- ש: הוא מספר שלם מוזר. לרוב רק q = 180° מספיק.
- 11הבן את משמעות המשוואה הקודמת. אתה אוהב לדעת את זווית ההגעה לאפס מסוים, ואז,
- לקבוע זווית של כל מוט המוערך על ידי אותו אפס; להוסיף אותם יחד.
- קבע זווית של כל אפס המוערך על ידי אותו אפס; להוסיף אותם יחד.
- הפחיתו את השניים זה מזה.
- הוסף 180° לתוצאה (לפעמים אתה צריך להוסיף - 180° או אפילו 540° או - 540°).
- 12למד על ענפי היתומים. ענפים שמשאירים מוטות מבלי שיהיה להם אפס להגיע אליהם יתקרבו לאינסוף בצידי האפוטרופוסים האסימפטוטיים.
- 13חגגו שעכשיו אתם בעניין. נשאר מעט נקודות משערות כדי להפוך את המערכון ליותר מציאותי. אלה נעשים על ידי הערכה של נקודת הבדיקה או באמצעות מחשבון בסיסי (נעלמו הימים שבהם היית צריך להשתמש בכללי השקופיות הכואבות). הנקודות הטובות ביותר למצוא והנקודות המדאיגות ביותר הן גם נקודות "הצלב" של הלוקוס על הצירים המדומים. אלה הנקודות שהופכות את המערכת לתנודה ואז למחצית הימנית של המישור המורכב המערכת הופכת ללא דעיכה ולא יציבה.
