כיצד להבין גיאומטריה אוקלידית?
לרוע המזל הגיאומטריה אורכת זמן, אך אם מתאמצים תוכלו להבין זאת.
גיאומטריה אוקלידית היא כולה צורות, קווים וזוויות וכיצד הם מתקשרים זה עם זה. יש הרבה עבודה שחייבים לעשות בהתחלה כדי ללמוד את שפת הגיאומטריה. לאחר שלמדת את ההנחות הבסיסיות ואת המאפיינים של כל הצורות והקווים, תוכל להתחיל להשתמש במידע זה כדי לפתור בעיות גיאומטריות. לרוע המזל הגיאומטריה אורכת זמן, אך אם מתאמצים תוכלו להבין זאת.
חלק 1 מתוך 3: למידה של 5 פוסטולטים של אוקלידס
- 1למד תואר ראשון - ניתן ליצור קטע קו על ידי הצטרפות לכל שתי נקודות. אם יש לך שתי נקודות, A ו- B, אתה יכול לשרטט קטע קו המחבר בין שתי הנקודות האלה. ניתן ליצור אי פעם קטע קו אחד בלבד על ידי חיבור שתי הנקודות.
- 2לדעת את הפוסטולאט 2 - ניתן להרחיב כל קטע קו לכיוון האינסוף בשני הכיוונים. לאחר שבניתם קטע קו בין שתי נקודות, תוכלו להרחיב את קטע הקו הזה לקו. אתה יכול לעשות זאת על ידי הרחבת אחד מקצות הקטע לאינסוף באותו כיוון.
- 3להבין את הפוסטולציה 3 - בהתחשב בכל אורך ובכל נקודה, ניתן לצייר מעגל עם נקודה אחת כמרכזו והאורך כרדיוס שלו. כאמור, ניתן לבנות מעגל מכל קטע קו. ההנחה הזו מתקיימת ולא משנה לאורך הקטע.
יש הרבה עבודה שחייבים לעשות בהתחלה כדי ללמוד את שפת הגיאומטריה. - 4זהה את הפוסטולאט - כל הזוויות הישרות זהות. זווית ישרה שווה ל- 90°. כל זווית ישרה אחת היא תואמת, או שווה. אם זווית אינה שווה ל 90°, אז היא אינה זווית ישרה.
- 5הגדירו את הפוסטולציה 5- בהינתן קו ונקודה, ניתן לצייר רק קו אחד דרך הנקודה המקבילה לשורה הראשונה. דרך נוספת לקבוע את התואר הזה היא לומר אם שני קווים מצטלבים עם קו שלישי כך שסכום הזוויות הפנימיות של צד אחד הוא פחות משתי זוויות ישרות, בסופו של דבר שתי הקווים יצטלבו. שני הקווים האלה אינם מקבילים זה לזה.
- לא ניתן להוכיח את התואר האחרון הזה כמשפט. בגיאומטריה שאינה אוקלידית, הפוסטולט "המקביל" הזה אינו מתקיים.
חלק 2 מתוך 3: הבנת צורות, קווים וזוויות
- 1דע את תכונות הקווים. קו מרחיב לאין שיעור בכל כיוון והוא מסומן עם חיצים על הקצוות שלה כדי לציין את זה. קטע קו הוא סופי וקיים רק בין שתי נקודות. קרן היא הכלאה בין קו לקטע קו: היא משתרעת לאינסוף בכיוון אחד מנקודה מוגדרת.
- בשורה אחת יש תמיד מידה של 180°.
- שני קווים מקבילים אם יש להם אותו שיפוע ולעולם לא מצטלבים.
- קווים בניצב הם שני קווים שמתאחדים ליצירת זווית של 90 מעלות.
- קווים מצטלבים הם כל שני קווים שחוצים זה את זה בכל נקודה. קווים מקבילים לעולם אינם יכולים להצטלב, אך קווים בניצב יכולים.
- 2למדו את סוגי הזוויות השונות. ישנם שלושה סוגים של זוויות: אקוטי, עמום ונכון. זווית חדה היא כל זווית שמודדת פחות מ 90°. זווית קהה היא זווית רחבה ומוגדרת ככל זווית שגודלה עולה על 90 מעלות. זווית ישרה נמדדת בדיוק 90°.
- היכולת לזהות את סוגי הזוויות השונות היא חלק חיוני להבנת הגיאומטריה.
- שני קווים שעושים זווית ישרה גם מאונכים זה לזה. הם מהווים פינה מושלמת.
- ייתכן שתראה גם זווית ישרה שהיא פשוט קו. המידה של זווית זו היא 180°.
- לדוגמא: לריבוע או מלבן יש ארבע זוויות של 90 מעלות ואילו למעגל אין זוויות.
- 3זהה את סוגי המשולשים. ישנן שתי דרכים לזהות משולש: לפי גודל הזוויות שלו (חריפות, בולטות וימין) או לפי מספר הצדדים והזוויות שווים (שווה צלעות, שווה שוקיים). במשולש חריף, לכל הזוויות מידה נמוכה מ- 90°; למשולשים קהים יש זווית אחת הגדולה מ 90°; ולמשולש ימני יש זווית אחת של 90 מעלות.
- למשולשים שווה צלעות יש שלושה צלעות שוות ושלוש זוויות שכולן בדיוק 60°.
- למשולשי שווה שוקיים שני צלעות שוות ושתי זוויות שוות.
- למשולשי סקלן אין צדדים שווים ואין זוויות שוות.
גיאומטריה אוקלידית היא כולה צורות, קווים וזוויות וכיצד הם מתקשרים זה עם זה. - 4דע כיצד לקבוע היקף ושטח של צורות דו-ממדיות. ריבועים, מלבנים, עיגולים, משולשים וכו 'הם כולם צורות שתצטרכו לדעת לחשב עבורם היקף ושטח. היקף האובייקט הוא המידה של כל צדי האובייקט ואילו השטח הוא המדד של כמות החלל שהאובייקט תופס. משוואות ההיקף והשטח לצורות הנפוצות ביותר הן:
- היקף המעגל נקרא היקף ושווה ל- 2πr כאשר "r" הוא הרדיוס.
- שטח המעגל הוא πr 2 כאשר "r" הוא הרדיוס.
- ההיקף של מלבן הוא 2l + 2w כאשר "l" הוא האורך ו- "w" הוא הרוחב.
- שטח המלבן הוא lxw כאשר "l" הוא האורך ו- "w" הוא הרוחב.
- היקף המשולש הוא a + b + c כאשר כל משתנה מציין צד אחד של המשולש.
- שטח המשולש הוא 0,5bh כאשר "b" הוא בסיס המשולש ו- "h" הוא הגובה האנכי.
- 5חשב את שטח הפנים והנפח של אובייקטים תלת-ממדיים. בדיוק כמו שתוכלו לחשב את ההיקף והשטח של אובייקט דו-ממדי, תוכלו למצוא את השטח הכולל ונפח האובייקט התלת - ממדי. לאובייקטים כמו כדורים, מנסרות מלבניות, פירמידות וגלילים יש משוואות מיוחדות לעשות זאת. שטח הפנים הוא השטח הכולל של כל משטח של האובייקט ואילו הנפח הוא כמות השטח הכוללת שהאובייקט תופס.
- שטח הפנים של כדור שווה 4πr 2, שבו "R" הוא הרדיוס של הכדור.
- נפח הכדור שווה ל- (1,33) πr 3, כאשר "r" הוא רדיוס הכדור.
- שטח הפנים של מנסרה מלבנית הוא 2lw + 2lh + 2hw, כאשר "l" הוא האורך, "w" הוא הרוחב, ו- "h" הוא הגובה.
- נפח המנסרה המלבנית הוא lxwxh, כאשר "l" הוא האורך, "w" הוא הרוחב, ו- "h" הוא הגובה.
- 6זהה זוגות זוויתיים. כאשר קו מצטלב בשני קווים אחרים, זה נקרא רוחבי. זוגות זווית נוצרים על ידי קווים אלה. זוויות תואמות הן שתי הזוויות בפינות תואמות לרוחב. זוויות פנים חלופיות הן שתי הזוויות שנמצאות בתוך שני הקווים אך בצדדים מנוגדים לרוחב. זוויות חיצוניות חלופיות הן שתי הזוויות שנמצאות מחוץ לשני הקווים, אך בצדדים מנוגדים לרוחב.
- זוגות זווית שווים זה לזה אם שניים מהקווים מקבילים.
- יש זוג זוויות רביעי: זוויות פנים רצופות. אלה שתי הזוויות בחלק הפנימי של הקווים ובאותו צד של הרוחב. כששני הקווים מקבילים, זוויות הפנים הרציפות תמיד מסתכמות ב -180°.
- 7הגדר את משפט פיתגורס. משפט פיתגורס הוא דרך נוחה כדי לקבוע את אורכי הצלעות של משולש ישר זווית. הוא מוגדר כ- 2 + b 2 = c 2, כאשר "a" ו- "b" הם אורך וגובה (קווים ישרים) של המשולש ו- "c" הוא ההיפוטנוזה (קו זוויתי). אם אתה מכיר שני צדדים של משולש, אתה יכול לחשב את הצד השלישי בעזרת משוואה זו.
- לדוגמא: אם יש לך משולש ימני עם צד a = 3 ו- b = 4, אתה יכול למצוא את ההיפוטנוזה:
- a 2 + b 2 = c 2
- 32 + 42 = c 2
- 9 + 16 = c 2
- 25 = c 2
- c = √25
- c = 25; ההיפוטנוזה של המשולש היא 5.
חלק 3 מתוך 3: פתרון בעיות גיאומטריה
- 1צייר את הדמויות. קרא את הבעיה ושרטט תרשים כדי להמחיש אותה. תייג את כל המידע הנתון כולל כל הזוויות, הקווים המקבילים או בניצב וקווים החוצים. יתכן שתצטרך לצייר הכל בפעם השנייה לאחר שיש לך סקיצה בסיסית של הבעיה. הציור השני יכול לתקן את קנה המידה של הכל ולוודא שכל הזוויות משורטטות בצורה נכונה בערך.
- תייגו גם את כל האלמונים.
- תרשים מצויר בבירור הוא הדרך הקלה ביותר להבין את הבעיה.
לבעיות רבות בגיאומטריה יהיו משולשים וידע על תכונות המשולשים יעזור לכם לפתור אותם. - 2ערוך תצפיות על סמך העניינים. אם נותנים לך קטע קו, אבל יש זוויות שיוצאות מקטע הקו, אתה יודע שהמידה של כל הזוויות חייבת להסתכם ב -180°. כתוב מידע זה בתרשים או בשוליים. זו דרך טובה לחשוב על מה השאלה שואלת.
- לדוגמא: זווית ABC וזווית DBE יוצרים קו, ABE. זווית ABC = 120°. מה המדד של זווית DBE?
- מכיוון שסכום הזווית ABC ו- DBE חייב להיות שווה ל- 180°, אז הזווית DBE = 180° - ABC הזווית.
- זווית DBE = 180° - 120° = 60°.
- 3החל משפטים בסיסיים כדי לענות על שאלות. ישנם משפטים פרטניים רבים המתארים את תכונות המשולשים, קווים מצטלבים ומקבילים, ומעגלים באמצעותם ניתן לפתור בעיה. זהה את הצורות הגיאומטריות בבעיה ומצא את המשפטים החלים. השתמש בהוכחות ובעיות ישנות כמדריך כדי לראות אם יש קווי דמיון ביניהם. להלן כמה מהמשפטים הגיאומטריים הכלליים שתזדקק להם:
- המאפיין הרפלקסיבי: משתנה שווה לעצמו. x = x.
- תנוחת התוספת: כאשר מתווספים משתנים שווים למשתנים שווים, כל הסכומים שווים. A + B + C = A + C + B.
- תנועת החיסור: זה דומה להנחת התוספת, לכל המשתנים המופחתים ממשתנים שווים יש הבדלים שווים. A - B - C = A - C - B.
- ההחלפה היא: אם שתי כמויות שוות, אתה יכול להחליף אחד את השני בכל ביטוי.
- תנאי המחיצה: כל שלם שווה לסכום כל חלקיו. קו ABC = AB + BC.
- 4למדו את המשפטים החלים על משולשים. לבעיות רבות בגיאומטריה יהיו משולשים וידע על תכונות המשולשים יעזור לכם לפתור אותם. השתמש במשפטים אלה כדי ליצור הוכחות גיאומטריות. להלן כמה מן החשובים ביותר למשולשים:
- CPCTC: חלקים תואמים במשולש המתאים הם חופפים
- SSS: צד-צד-צד: אם שלושה צדדים של משולש אחד חופפים לשלושה צדדים של משולש שני, אז המשולשים הם חופפים
- SAS: צד-זווית-צד: אם לשני משולשים יש צד-זווית-צד, אז שני המשולשים הם חופפים
- ASA: זווית-זווית-זווית: אם לשני משולשים יש זווית-זווית-צד-חופפת, אז שני המשולשים הם חופפים
- AAA: זווית-זווית-זווית: משולשים עם זוויות חופפות דומים, אך לא בהכרח חופפים
קרא גם: איך קונים חומצת לימון?
שאלות ותשובות
- כיצד אוכל להוכיח תואר 2?פוסטולים אינם כפופים להוכחה בשום מובן מעשי. מדובר בסך הכל בהצהרות מוסכמות.
- כיצד אוכל להוכיח שצורה היא מקבילית?נניח שלדמות יש ארבעה צדדים. ישנן מספר דרכים להוכיח שמדובר במקביל. שלושת הדרכים הפשוטות ביותר הן: (1) להוכיח שכל צד שווה באורכו לצד ההפוך; (2) להוכיח שכל זווית שווה לזווית ההפוכה שלה; ו (3) להוכיח שצדדים מנוגדים מקבילים זה לזה.
תגובות (2)
- למדתי משפטים המתייחסים למשולשים, דבר שאותו מתתי לדעת.
- הצעדים והטיפים על גיאומטריה עזרו.
