כיצד להוכיח משולשים דומים?
ניתן להוכיח שני משולשים דומים על ידי משפט זווית הזווית הקובע: אם לשני משולשים יש שתי זוויות חופפות, אז המשולשים האלה דומים.
משולשים דומים הם שני משולשים בעלי אותן זוויות וצדדים תואמים בעלי פרופורציות שוות. הוכחת משולשים דומים מתייחסת אל תהליך גיאומטרי שבו אתה מספק ראיות כדי לקבוע כי שני יש משולשים מספיק במשותף כדי להיחשב דומה. באמצעות משפטים גיאומטריים פשוטים תוכלו להוכיח בקלות ששני משולשים דומים.
חלק 1 מתוך 4: שימוש במשפט הזווית
- 1הגדר את משפט הזווית-זווית (AA). ניתן להוכיח שני משולשים דומים על ידי משפט זווית הזווית הקובע: אם לשני משולשים יש שתי זוויות חופפות, אז המשולשים האלה דומים.
- משפט זה נקרא גם משפט זווית-זווית-זווית (AAA) מכיוון שאם שתי זוויות של המשולש חופפות, גם הזווית השלישית חייבת להיות הולמת. הסיבה לכך היא שזוויות המשולש חייבות להסתכם ב -180°.
- 2זהה את המידה של לפחות שתי זוויות באחד המשולשים. בעזרת מד זווית מדוד את מידת שתי הזוויות לפחות על המשולש הראשון. תייג את הזוויות על המשולש כדי לעקוב אחרין.
- בחר שתי זוויות על המשולש למדידה.
- דוגמה: למשולש ABC שתי זוויות המודדות 30° ו- 70°.
- 3מדוד לפחות שתיים מהזוויות במשולש השני. שוב, השתמש במד זווית כדי למדוד שתיים מהזוויות במשולש השני. אם שתי הזוויות זהות בשני המשולשים, אז המשולשים דומים זה לזה.
- זכרו, אם שתי זוויות של משולש שוות, אז שלושתן שוות.
- דוגמה: למשולש השני, DEF, יש גם שתי זוויות המודדות 30° ו- 70°.
- 4השתמש במשפט זווית הזווית לצורך הדמיון. לאחר שזיהיתם את הזוויות המתאימות, תוכלו להשתמש במשפט זה כדי להוכיח שהמשולשים דומים. קבע כי מידות הזוויות בין שני המשולשים זהות וציין את משפט זווית הזווית כהוכחה לדמיונם.
- יתכן שמשולש עם שלוש זוויות זהות יהיה גם תואם, אך יהיה עליהם גם להיות באורכי צד זהים .
- דוגמא: מכיוון שלשני המשולשים יש שתי זוויות זהות, הם דומים.
- הערה: אם לשני המשולשים לא היו זוויות זהות, הם לא היו דומים. לדוגמא: למשולש ABC יש זוויות המודדות 30° ו- 70° ולמשולש DEF יש זוויות המודדות 35° ו- 70°. מכיוון ש- 30° לא שווה ל- 35°, המשולשים אינם דומים.
אם שתי הזוויות זהות בשני המשולשים, אז המשולשים דומים זה לזה.
חלק 2 מתוך 4: שימוש במשפט צד-זווית-צד
- 1הגדר את משפט הצד-זווית-צד (SAS) לדמיון. כאשר למשולש שני צלעות הנמצאות באותו פרופורציה למשולש אחר והזווית הכלולה שלהם שווה, משולשים אלה דומים.
- היזהר לא לבלבל בין משפט זה לבין משפט הצד-זווית-צד לצורך התאמה. לצורך התאמה, שני הצדדים עם הזווית הכלולה שלהם חייבים להיות זהים; לצורך הדמיון, הפרופורציות של הצדדים חייבות להיות זהות והזווית חייבת להיות זהה.
- לדוגמא: משולש ABC ו- DEF דומים הוא זווית A = זווית D ו- AB / DE = AC / DF.
- 2מדוד את שני הצדדים של כל משולש. בעזרת סרגל, מדדו שני צדדים של המשולש ABC ותייגו אותם עם המידה הזו. ודא שמשולש DEF מכוון לאותו כיוון ומדד את אותם שני הצדדים. תייגו גם את הצדדים הללו.
- דוגמה: מדדי משולש ABC; צד AB = 4 ס"מ וצד AC = 8 ס"מ. מידות משולש DEF; צד DE = 2 ס"מ וצלע DF = 4 ס"מ.
- 3זהה את מדד הזווית בין שני הצדדים. בעזרת מד זווית מדוד את הזווית הכלולה, או את הזווית בין שני הצדדים שכבר מדדת. למשפט זה, מידת הזווית צריכה להיות זהה בשני המשולשים.
- דוגמה: זווית A במשולש ABC היא 26°. זווית D במשולש DEF היא גם 26°.
- 4חשב את חלק אורכי הצד בין שני המשולשים. כדי להשתמש במשפט SAS, צידי המשולשים חייבים להיות פרופורציונליים זה לזה. כדי לחשב זאת, פשוט השתמש בנוסחה AB / DE = AC / DF.
- דוגמה: AB / DE = AC / DF; 2 = 2; 2 = 2. הפרופורציות של שני המשולשים שוות.
- 5החל את משפט הצד-זווית-צד כדי להוכיח דמיון. לאחר שקבעת שהפרופורציות של שני צדדי משולש והזווית הכלולה שלהם שוות, תוכל להשתמש במשפט SAS כהוכחה שלך.
- דוגמה: מכיוון ש- AB / DE = AC / DF וזווית A = זווית D, המשולש ABC דומה למשולש DEF.
- הערה: אם זווית A לא הייתה שווה לזווית D, המשולשים לא היו דומים. כמו כן, אם הפרופורציות לא היו שוות, המשולשים לא היו דומים.
לאחר שזיהיתם את הזוויות המתאימות, תוכלו להשתמש במשפט זה כדי להוכיח שהמשולשים דומים.
חלק 3 מתוך 4: שימוש במשפט צד-צד-צד
- 1הגדר את משפט הצד-הצד-צד (SSS) לדמיון. שני משולשים ייחשבו דומים אם שלושת הצדדים של שני המשולשים הם באותו הפרופורציה. צדדים המדידים 2: 4: 6 ו -4: 8: 12 יספקו הוכחה לדמיון.
- הייה זהיר לא לבלבל משפט זה עם משפט Side-Side-Side עבור הלימה: כאשר שני יש משולשים משלושה צדדים זהים הם חופפים. משפט הדמיון עוסק בקפדנות בפרופורציות שלושת הצדדים.
- לדוגמא: במשולש ABC ו- DEF, המשולשים דומים אם AB / DE = AC / DF = BC / EF.
- 2מדוד את צדי כל משולש. למדוד בעזרת שליט את שלושת הצדדים של כל משולש. תייגו כל צד בכדי לעקוב אחר כל המדידות. הקפידו להשתמש באותן יחידות לכל מדידה של צדי המשולש.
- דוגמה: למשולש ABC צלעות AB = 10 ס"מ, BC = 15 ס"מ, AC = 20 ס"מ ומשולש DEF בעל צלעות DE = 2 ס"מ, EF = 3 ס"מ ו- DF = 4 ס"מ.
- 3חשב את הפרופורציות בין צדי כל משולש. כדי שמשפט SSS יחול, שלושת הצדדים של כל משולש חייבים להיות פרופורציונליים זה לזה. בעזרת המידות הצדדיות, חישבו את הפרופורציות באמצעות הנוסחה AB / DE = AC / DF = BC / EF.
- דוגמה: AB / DE = AC / DF = BC / EF; 10/2 = 20/4 = 11,67; 5 = 5 = 5.
- 4החל את משפט הצד-צד-הצד כדי להוכיח דמיון. אם קבעתם שהפרופורציות של שלושת צדי המשולשים שוות זו לזו, תוכלו להשתמש במשפט SSS כדי להוכיח שמשולשים אלה דומים.
- דוגמה: מכיוון ש- AB / DE = AC / DF = BC / EF, משולש ABC ומשולש DEF דומים.
- הערה: אם AB / DE ≠ AC / DF ≠ BC / EF אז המשולשים לא יהיו דומים.
הוכחת משולשים דומים מתייחסת לתהליך גיאומטרי שבאמצעותו אתה מספק ראיות כדי לקבוע שלשני משולשים יש די במשותף כדי שייחשבו דומים.
חלק 4 מתוך 4: כתיבת הוכחה
- 1עיין במתכונת של הוכחה רשמית. הוכחה מתחילה עם הצהרה של מידע נתון אשר ידוע בתור אמירת השערה. יהיה עליך לספק רשימה של מידע רלוונטי וכן הוכחות התומכות בכל הצהרה.
- 2פתח השערה לפתרון הבעיה, או השלם את ההוכחה. יהיה עליך ליצור תרשים, הכולל בדרך כלל שתי עמודות. טור ראשון זה יכיל את הצהרותיך, ואילו השני יספק את הראיות שלך.
- ודא שהשורה האחרונה בעמודת ההצהרה שלך תמיד תואמת את הצהרת ההשערה. השורות האמצעיות יהיו המקום בו תציג את עבודתך בזמן שאתה פותר את הבעיה. כל ההצהרות שאתה מספק, כמו גם הראיות התומכות שלך, צריכות תמיד להתייחס לדמויות המתוארות בהצהרת ההשערה.
- 3צייר תרשים של הדמויות המתוארות בהשערה, אם טרם הוצג איור. השתמש בכל הפרטים שמספקים ההשערה. הקפידו לצייר את הדמות מספיק גדולה כדי שתוכלו להבין בקלות את הפרטים הללו. תייג את כל הנקודות המתוארות והקפד לכלול מידע כלשהו מההצהרה בנוגע לקווים מקבילים או לזוויות תואמות.
- 4רשמו את המידע הנתון. בכל בעיה תינתן לך מידע על מידות הזוויות וצידי שני המשולשים שאתה מנסה להוכיח שהם דומים. השלב הראשון בזיהוי המשפט הנכון לשימוש הוא רישום המידע שאתה כבר מכיר.
- אם אין תרשים, צייר את המשולשים ואז תייג את הזוויות והצדדים שלהם במידע הנתון.
- 5בחר משפט שמתאים למידע הנתון. לאחר שרשמת את המידע הנתון שלך ולמדת את שלושת המשפטים האפשריים שיכולים לחול, בחר את התואמת למידע שניתן. זה בסדר אם מספר משפטים חלים, פשוט בחר אחד להוכחה שלך.
- אם אף אחד מהמשפטים הללו לא תואם את המידע הנתון, המשולשים אינם דומים.
- 6כתוב את ההוכחה. תכנן אסטרטגיה לפתרון ההוכחה. ישנם שלושה פוסטולטים שונים, או תיאוריות מתמטיות, החלים על משולשים דומים. כל אחד מאלה יספק ראיות מספקות כדי להוכיח כי המשולשים המדוברים דומים.
- אסוף את העניינים והמשפטים הרלוונטיים שלך וכתוב את ההוכחה בצורה צעד אחר צעד.
- צד-צד-זווית (SSA) וזווית-זווית-זווית (AAA) הם שני משפטים נפוצים שאינם מעידים למעשה על דמיון. היזהר מאלה.
קרא גם: איך מזהים צמחים?
שאלות ותשובות
- כיצד אוכל לחשב צד חסר?במקרה של משולשים דומים, זוג אחד של הצדדים המקבילים הוא בעל יחס אורך זהה לזה של שני הזוגות האחרים. אם אנו מתייגים את שלושת הצדדים של משולש אחד a, b ו- c, ואנחנו מתייגים את הצדדים המקבילים של משולש דומה a ', b' ו- c ', אנו יודעים ש- a הוא b או c כ-' הוא b 'או c', וגם ש- a הוא ל- 'כמו b הוא ל- b' וכ- c הוא ל- c '. אתה יכול להראות כל אחד מהקשרים הללו במשוואות שבר, תוך שימוש בצדדים הידועים בשלוש מעמדות השבר ופתרון לצד הרביעי הלא ידוע ("חסר"). לדוגמא, אם a = 3, a '= 4, b = 6 ו- b' אינו ידוע, הגדר את המשוואה כ a / a '= b / b', או 0,75 = 6 / b '. פתרון עבור b 'מעניק לצד הלא ידוע 8.
