כיצד לשרטט פונקציה רציונלית?

מצא את יירוט ה- y. פשוט קבעו x = 0. הכל מלבד המונחים הקבועים נעלם ומשאיר y = 2,5. ביטוי זה כצמד קואורדינטות, (0, 2,5) הוא נקודה בגרף. תרשים נקודה זו.

מצא את האסימפטוטה האופקית. לחלק את המכנה לאורך זמן למונה כדי לקבוע את ההתנהגות של y לערכים מוחלטים גדולים של x. בדוגמה זו, החלוקה מראה ש y = (0,5) x - (1,75) + 17 / (8 x + 4). עבור ערכים חיוביים או שליליים גדולים של x, 17 / (8 x + 4) מתקרב לאפס, והגרף מקורב לקו y = (0,5) x - (1,75). בעזרת קו מקווקו או משורטט קלות, גרט קו זה.

• אם דרגת המונה קטנה ממידת המכנה, אין חלוקה לעשות, והאסימפטוטה היא y = 0.
• אם deg (N) = deg (D), האסימפטוטה היא קו אופקי ביחס המקדמים המובילים.
• אם deg (N) = deg (D) + 1, האסימפטוטה היא קו ששיפועו הוא היחס בין המקדמים המובילים.
• אם deg (N)> deg (D) + 1, אז לערכים גדולים של | x |, y עובר במהירות לאינסוף חיובי או שלילי כפולינום ריבועי, מעוקב או גבוה יותר. במקרה זה, כנראה שלא כדאי לשרטט במדויק את המרכיב של החלוקה.

מצא את האפסים. לפונקציה רציונלית יש אפס כאשר המונה הוא אפס, אז קבעו N ( x) = 0. בדוגמה, 2 x ² - 6 x + 5 = 0. ההבחנה של ריבוע זה היא b ² - 4 ac = 6 ² - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. מכיוון שהמבחן הוא שלילי, ל- N ( x), וכתוצאה מכך f ( x), אין שורשים אמיתיים. הגרף לעולם אינו חוצה אתצירה- x. אם נמצאו אפסים כלשהם, הוסף נקודות אלה לתרשים.

מצא את האסימפטוטות האנכיות. אסימפטוטה אנכית מתרחשת כאשר המכנה הוא אפס. הגדרת 4 x+ 2 = 0 נותנת את הקו האנכי x= -0,5. גרף כל אסימפטוטה אנכית בקו קל או מקווקו. אם ערך כלשהו של xהופך את שניהם ל- N (x) = 0 וגם ל- D (x) = 0, ייתכן שיש שם אסימפטוטה אנכית או לא. זה נדיר, אך עיין בטיפים כיצד להתמודד איתו אם זה קורה.

התבונן בשאר החלוקה בשלב 2. מתי היא חיובית, שלילית או אפסית? בדוגמה, המונה של השאר הוא 17 וזה תמיד חיובי. המכנה, 4 x + 2, חיובי מימין לאסימפטוטה האנכית ושלילי משמאל. המשמעות היא שהגרף מתקרב לאסימפטוטה הליניארית מלמעלה לערכים חיוביים גדולים של x ומלמטה לערכים שליליים גדולים של x. מכיוון ש 17 / (8 x + 4) לעולם לא יכול להיות אפס, גרף זה לעולם אינו חוצה את הקו y = (0,5) x - (1,75). אל תוסיף שום דבר לגרף כרגע, אך שים לב למסקנות אלה להמשך.

מצא את הקיצונית המקומית. אקסטרים מקומי עשוי להתרחש בכל פעם ש N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. בדוגמה, N '(x) = 4 x - 6 ו- D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x ² - 6 x + 5) * 4 = 0. מתרחב, המשלב מונחים, ומחלק ב -4 עלים x ² + x - 4 = 0. הנוסחה הריבועית מציגה שורשים ליד x = 1,5 ו- x = -2,5. (אלה נבדלים בערך ב -0,06 מהערכים המדויקים, אך הגרף שלנו לא יהיה מדויק מספיק בכדי לדאוג לרמת הפירוט. בחירת קירוב רציונלי ראוי מקלה על הצעד הבא).

מצא את הערכים y של כל קיצוני מקומי. חבר את הערכים x מהשלב הקודם לפונקציה הרציונאלית המקורית כדי למצוא את הערכים המקבילים y. בדוגמה, f (1,5) = 16 ו- f (-2,5) = -656. הוסף נקודות אלה, (1,5, 16) ו- (-2,5, -656), לתרשים. מכיוון שקירבנו בשלב הקודם, אלה אינם המינימום והמקסימום המדויקים, אלא ככל הנראה קרובים. (אנו יודעים (1,5, 16) קרוב מאוד למינימום המקומי. משלב 3 אנו יודעים כי y הוא תמיד חיובי כאשר x > -0,5 ומצאנו ערך קטן כמו 16, כך לפחות ב במקרה זה, השגיאה היא כנראה פחות מעובי הקו.)