כיצד ניתן לגזור את חוק הביוט-סארט?
חוק ביוט-סווארט הוא ביטוי לשדה המגנטי שנוצר על ידי זרם חשמלי יציב.
חוק ביוט-סווארט הוא ביטוי לשדה המגנטי שנוצר על ידי זרם חשמלי יציב. גזירת חוק זה כוללת התחלה מהמשוואות של מקסוול, השגת ופתרון משוואת פואסון לכל שלושת המרכיבים של פוטנציאל הווקטור A, {\ displaystyle \ mathbf {A},} ולקיחת תלתל התוצאה.
- 1התחל עם הגדרת הפוטנציאל הווקטורי. חוק המגנט של גאוס אומר לנו ששדות מגנטיים הם תמיד ללא הפרדות , דרך ∇⋅B = 0. {\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0.} מחשבון וקטורי, אנו מכירים גם בזהות ∇⋅ (∇ × F) = 0, {\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {F}) = 0,} לכל שדה וקטורי F. {\ displaystyle \ mathbf {F}.} במילים אחרות, ההבדל בין תלתל הוא תמיד אפס. לכן, אנו יכולים לכתוב שדה ללא סטייה במונחים של סלסול של שדה וקטורי אחר, הנקרא פוטנציאל וקטורי.
- B = ∇ × A {\ displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}}
כעת אנו רוצים להשיג את חוק ביוט-סווארט, החוק המתאר מגנטוסטטיקה. - 2שכתב את חוק האמפר במונחים של פוטנציאלים להשגת משוואת פויסון. בכך, יש לנו מידה מסוימת של חופש באופן בו אנו כותבים זאת. הפוטנציאלים אינם ייחודיים, ובמקרה של הפוטנציאל הווקטורי, אנו יכולים להוסיף באופן שרירותי שיפוע של שדה סקלרי מבלי להשפיע על השדה המגנטי, מכיוון שתלתל השיפוע הוא תמיד אפס. זה נקרא טרנספורמציית מד. המשמעות היא שנוכל לבחור בפוטנציאל הנוח לנו. כאן נבחר את מד הקולומב, כאשר ∇⋅A = 0. {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0.}
- ∇ × B = μ0J∇ × (∇ × A) = μ0J {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J} \\\ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = \ mu _ {0} \ mathbf {J} \ end {align}}}
- זהות לפשט את המוצר המשולש הווקטורי היא BAC-CAB. עבור תלתלים זה ∇ × (∇ × A) = ∇ (∇⋅A) ∇∇A. {\ Displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) - \ nabla ^ {2} \ mathbf {A}.} כעת, אנו זוכרים שבחרנו ב- ∇⋅A = 0. {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0.}
- ∇2A = −μ0J {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}
- זו המשוואה של פואסון לפוטנציאל הווקטורי. למרות שהביטוי לעיל הוא למעשה שלוש משוואות, אנו יכולים לפתור את כל שלושת המרכיבים בו זמנית מכיוון שהמשוואות אינן מצומדות.
לכן, אנו יכולים לכתוב שדה נטול סטייה במונחים של סלסול של שדה וקטורי אחר, הנקרא פוטנציאל וקטורי. - 3לפתור משוואת פואסון. אחת הדרכים לעשות זאת היא באמצעות טרנספורמציות פורייה. ראה את המאמר המקושר לפרטים נוספים. בהנחה שהפכתם נכון, עליכם להשיג את הפיתרון הכללי שלהלן.
- A = μ04π∫J (x ') | x − x' | d3x '{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {x} ^ {\ prime})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} ^ {\ prime} |}} \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf { x} ^ {\ prime}}
- שימו לב כי זה דומה מאוד בצורה לפיתרון לפוטנציאל הסקלרי, אשר צפיפות המטען ρ {\ displaystyle \ rho} הקשורה במטען נקודה נייח מאפשרת לנו להפחית את הפתרון לחוק קולומב, החוק המתאר אלקטרוסטטיקה. כעת אנו רוצים להשיג את חוק ביוט-סווארט, החוק המתאר מגנטוסטטיקה.
- 4קח את התלתל של {\ displaystyle \ mathbf {a}} . פעולה זו מחזירה את השדה המגנטי. שים לב שכל המשתנים עם ראשונים בתוכם הם משתנים דמה, ולכן התלתל נלקח ביחס ל- x, {\ displaystyle \ mathbf {x},} המאפשר לנו לשים את אופרטור ה- del מתחת לאינטגרל.
- ∇ × A = μ04π∫∇ × (J (x ') | x − x' |) d3x '{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {A} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int \ nabla \ times \ left ({\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {x} ^ {\ prime})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} ^ {\ ראש} |}} \ ימין) \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {x} ^ {\ prime}}
גזירת חוק זה כוללת התחלה ממשוואות מקסוול, השגת ופתרון משוואת פואסון לכל שלושת המרכיבים של הפוטנציאל הווקטורי ולקיחת סלסול התוצאה. - 5השתמש בכלל המוצר ∇ × (fv) = ∇f × v + (∇ × v) f {\ displaystyle \ nabla \ times (f \ mathbf {v}) = \ nabla f \ times \ mathbf {v} + (\ nabla \ times \ mathbf {v}) f} כדי לפשט את הביטוי הנ"ל. מכיוון ש- J (x ′) {\ displaystyle \ mathbf {J} (\ mathbf {x} ^ {\ prime})} אינו תלוי ב- x, {\ displaystyle \ mathbf {x},} המונח הזה נעלם. שימו לב לכלל השרשרת בעת לקיחת שיפוע.
- B (x) = ∇ × A = μ04π∫∇ (1 | x − x ′ |) × J (x ′) d3x ′ = μ04π∫− (x − x ′) | x − x ′ | 3 × J (x ′) D3x ′ = μ04π∫J (x ′) × (x − x ′) | x − x ′ | 3d3x ′ {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {B} (\ mathbf {x}) & = \ nabla \ times \ mathbf {A} \\ & = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int \ nabla \ left ({\ frac {1} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} ^ {\ prime} |}} \ right) \ times \ mathbf {J} (\ mathbf {x} ^ {\ prime}) \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {x} ^ {\ prime} \\ & = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {- (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} ^ {\ prime})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} ^ {\ prime} | ^ {3}}} \ times \ mathbf {J} (\ mathbf {x} ^ {\ prime}) \ mathrm {d } ^ {3} \ mathbf {x} ^ {\ prime} \\ & = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {x} ^ {\ prime}) \ times (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} ^ {\ prime})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} ^ {\ prime} | ^ {3}}} \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {x} ^ {\ prime} \ end {align}}}
- הביטוי הנ"ל הוא חוק ביוט-סווארט. זה לוקח בחשבון את עובי המוליך דרכו עובר הזרם. למרות שהוא מופיע כחוק קוביות הפוך, נוכחותו של וקטור העקירה x − x ′ {\ displaystyle \ mathbf {x} - \ mathbf {x} ^ {\ prime}} במונה מבטיחה שהשדה המגנטי נופל כ ריבוע המרחק ומצביע לכיוון הראוי.
- עבור חוט צר לאין שיעור, אנו יכולים להזניח את העובי ולהחליף את J (x ') d3x' {\ displaystyle \ mathbf {J} (\ mathbf {x} ^ {\ prime}) \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {x} ^ {\ הממשלה}} עם IDL {\ displaystyle לי \ mathrm {ד} \ mathbf {יב}} ו להמיר אינטגרל ל אינטגרלי קו. אם נותנים r = x − x ′ {\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {x} - \ mathbf {x} ^ {\ prime}} להיות וקטור העקירה, אנו משחזרים את הצורה המוכרת של חוק ביו-סווארט.
- B = μ04π∫Idl × r | r | 3 {\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {I \ mathrm {d} \ mathbf {l} \ times \ mathbf {r}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}}}
קרא גם: איך מכינים בקבוק גל?
