כיצד לוודא את עקרון אי הוודאות של מתנד הרמוני קוונטי?
באמצעות הפתרון של מצב קרקע, אנו לוקחים את ערכי ציפיות המיקום והתנופה ומאמתים את עקרון אי הוודאות באמצעותם.
מתנד ההרמוני הקוונטים הוא אנלוגי קוונטי מתנד ההרמוני הקלסי פשוט. באמצעות הפתרון של מצב קרקע, אנו לוקחים את ערכי ציפיות המיקום והתנופה ומאמתים את עקרון אי הוודאות באמצעותם.
חלק 1 מתוך 3: פתרון מצב קרקע
- 1זוכר את משוואת שרדינגר. משוואה דיפרנציאלית חלקית זו היא משוואת התנועה הבסיסית במכניקת הקוונטים המתארת כיצד מצב קוונטי ψ {\ displaystyle \ psi} מתפתח בזמן. H ^ {\ displaystyle {\ hat {H}}} מציין את המילטוניאן, מפעיל האנרגיה המתאר את האנרגיה הכוללת של המערכת.
- iℏ∂ψ∂t = H ^ ψ {\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = {\ hat {H}} \ psi}
- 2כתוב את המילטונין למתנד ההרמוני. בעוד שמשתני המיקום והמומנטום הוחלפו במפעילים המתאימים שלהם, הביטוי עדיין דומה לאנרגיות הקינטיות והפוטנציאליות של מתנד הרמוני קלאסי. מכיוון שאנו עובדים במרחב הפיזי, אופרטור המיקום ניתן על ידי x ^ = x, {\ displaystyle {\ hat {x}} = x,} ואילו אופרטור המומנטום ניתן על ידי p ^ = - iℏ∂∂x. { \ displaystyle {\ hat {p}} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}}.}
- H ^ = p ^ 22m + 12mω2x ^ 2 {\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {1} {2 }} m \ omega ^ {2} {\ hat {x}} ^ {2}}
- 3כתוב את משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן. אנו רואים שהמילטוניאן אינו תלוי במפורש בזמן, ולכן הפתרונות למשוואה יהיו מצבים נייחים. משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, היא משוואת ערך עצמי, ולכן פתרון זה אומר שאנחנו מוצאים את ערכי האנרגיה ואת פונקציות העצמיים המקבילות להם - פונקציות הגל.
- −ℏ22md2ψdx2 + 12mω2x2ψ = Eψ {\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ psi} {\ mathrm {d} x ^ { 2}}} + {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} x ^ {2} \ psi = E \ psi}
- 4לפתור את משוואת הדיפרנציאל. למשוואה דיפרנציאלית זו מקדמים משתנים ולא ניתן לפתור אותם בקלות בשיטות אלמנטריות. עם זאת, לאחר הנורמליזציה, ניתן לכתוב את הפיתרון למצב הקרקע כך. זכרו כי פיתרון זה מתאר רק מתנד חד מימדי.
- ψ (x) = (mωπℏ) 0,25exp (−mω2ℏx2) {\ displaystyle \ psi (x) = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right) ^ {0, 25} \ exp \ left (- {\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}} x ^ {2} \ right)}
- זהו גאוס שבמרכזו x = 0. {\ Displaystyle x = 0.} נשתמש בעובדה שהפונקציה הזו היא אפילו כדי לפשט את החישובים שלנו בחלק הבא.
נזכיר את עקרון אי הוודאות של הייזנברג לגבי העמדה והמומנטום.
חלק 2 מתוך 3: ערכי ציפייה
- 1זוכר את הנוסחה לאי הוודאות. חוסר הוודאות של תצפית כמו מיקום היא מתמטית סטיית התקן. כלומר, אנו מוצאים את הערך הממוצע, לוקחים כל ערך ומחסירים מהממוצע, מרובעים את הערכים והממוצע ואז נוטלים את שורש הריבוע.
- σx = ⟨x2⟩ − ⟨x⟩2 {\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ sqrt {\ langle x ^ {2} \ rangle - \ langle x \ rangle ^ {2}}}}
- 2מצא את ⟨x⟩ {\ displaystyle \ langle x \ rangle} . מכיוון שהפונקציה אחידה, ניתן להסיק מסימטריה ש- ⟩x⟩ = 0. {\ displaystyle \ langle x \ rangle = 0.}
- אם תגדיר את האינטגרל הדרוש להערכה, תגלה שהאינטגרנד הוא פונקציה אי-זוגית, מכיוון שפונקציה אי-זוגית כפולת פונקציה זוגית היא אי-זוגית.
- ⟨X⟩ = ∫ − ∞∞x | ψ (x) | 2dx {\ displaystyle \ langle x \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x | \ psi (x) | ^ {2} \ mathrm {d} x}
- מאפיין אחד של פונקציה מוזרה הוא שלכל ערך חיובי של הפונקציה קיים דופלנגר - ערך שלילי תואם - שמבטל אותם. מכיוון שאנו מעריכים על כל ערכי x {\ displaystyle x} , אנו יודעים שהאינטגרל מעריך ל 0 מבלי לבצע את החישובים בפועל.
- אם תגדיר את האינטגרל הדרוש להערכה, תגלה שהאינטגרנד הוא פונקציה אי-זוגית, מכיוון שפונקציה אי-זוגית כפולת פונקציה זוגית היא אי-זוגית.
- 3חשב ⟨x2⟩ {\ displaystyle \ langle x ^ {2} \ rangle} . מכיוון שהפתרון שלנו כתוב כפונקציית גל רציפה, עלינו להשתמש באינטגרל שלמטה. האינטגרל מתאר את ערך הציפייה של x2 {\ displaystyle x ^ {2}} המשולב בכל החלל.
- ⟨X2⟩ = ∫ − ∞∞x2 | ψ (x) | 2dx {\ displaystyle \ langle x ^ {2} \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} | \ psi (x) | ^ {2} \ mathrm {d} x}
- 4החלף את פונקציית הגל לאינטגרל ופשט. אנו יודעים שתפקוד הגל הוא שווה. הריבוע של פונקציה שווה הוא גם כן, כך שנוכל לשלוף גורם 2 ולשנות את הגבול התחתון ל -0.
- ⟨X2⟩ = 2 (mωπℏ) 0,5∫0∞x2exp (−mωℏx2) dx {\ displaystyle \ langle x ^ {2} \ rangle = 2 \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right) ^ {0,5} \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {2} \ exp \ left (- {\ frac {m \ omega} {\ hbar}} x ^ { 2} \ right) \ mathrm {d} x}
- 5להעריך. ראשית, תן ל- α = mωℏ. {\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}.} לאחר מכן, במקום להשתלב לפי חלקים, נשתמש בפונקציית הגמא.
- ⟨X2⟩ = 2 (mωπℏ) 0,5∫0∞x2e − αx2dx, u = αx2 = 2 (mωπℏ) 0,5∫0∞uαe − udu12αx, x = uα = (mωπℏ) 0,5α − 1,5 ∫0∞u0,5e − udu = (mωπℏ) 0,5 (mωℏ) −1,5Γ (32), Γ (32) = π2 = ℏmω1ππ2 = ℏ2mω {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} \ langle x ^ { 2} \ rangle & = 2 \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right) ^ {0,5} \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {2} e ^ {- \ alpha x ^ {2}} \ mathrm {d} x, \ \ u = \ alpha x ^ {2} \\ & = 2 \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right) ^ {0,5} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {u} {\ alpha}} e ^ {- u} \ mathrm {d} u {\ frac { 1} {2 \ alpha x}}, \ \ x = {\ sqrt {\ frac {u} {\ alpha}}} \\ & = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar} } \ right) ^ {0,5} \ alpha ^ {- 1,5} \ int _ {0} ^ {\ infty} u ^ {0,5} e ^ {- u} \ mathrm {d} u \ \ & = \ שמאל ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ ימין) ^ {0,5} \ שמאל ({\ frac {m \ omega} {\ hbar}} \ ימין) ^ {-1,5} \ Gamma \ left ({\ frac {3} {2}} \ right), \ \ \ Gamma \ left ({\ frac {3} {2}} \ right) = {\ frac { \ sqrt {\ pi}} {2}} \\ &= {\ frac {\ hbar} {m \ omega}} {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \\ & = {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}} \ end {align}}}
- 6להגיע לאי הוודאות בעמדה. באמצעות היחס שכתבנו בשלב 1 של חלק זה, σx {\ displaystyle \ sigma _ {x}} נובע מיד מהתוצאות שלנו.
- σx = ℏ2mω {\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}}}}
- 7מצא את ⟨p⟩ {\ displaystyle \ langle p \ rangle}
. כמו במיקום הממוצע, ניתן לבצע טיעון סימטרי שמוביל ל ⟨p⟩ = 0. {\ displaystyle \ langle p \ rangle = 0.}
- 8חשב ⟨p2⟩ {\ displaystyle \ langle p ^ {2} \ rangle} . במקום להשתמש בתפקוד הגל לחישוב ערך ציפייה זה ישירות, אנו יכולים להשתמש באנרגיה של פונקציית הגל כדי לפשט את החישובים הדרושים. האנרגיה של מצב הקרקע של המתנד ההרמוני מובאת להלן.
- E0 = 12ℏω {\ displaystyle E_ {0} = {\ frac {1} {2}} \ hbar \ omega}
- 9קשר את אנרגיית מצב הקרקע עם האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של החלקיק. אנו מצפים שיחס זה יחזיק לא רק לכל עמדה ומומנטום, אלא גם עבור ערכי הציפייה שלהם.
- 12ℏω = ⟨p2⟩2m + 12mω2⟨x2⟩ {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ hbar \ omega = {\ frac {\ langle p ^ {2} \ rangle} {2m}} + {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} \ langle x ^ {2} \ rangle}
- 10פתר עבור ⟨p2⟩ {\ displaystyle \ langle p ^ {2} \ rangle}.
- mℏω = ⟨p2⟩ + m2ω2ℏ2mω {\ displaystyle m \ hbar \ omega = \ langle p ^ {2} \ rangle + m ^ {2} \ omega ^ {2} {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}} }
- ⟨P2⟩ = mℏω2 {\ displaystyle \ langle p ^ {2} \ rangle = {\ frac {m \ hbar \ omega} {2}}}
- 11להגיע לחוסר הוודאות במומנטום.
- σp = mℏω2 {\ displaystyle \ sigma _ {p} = {\ sqrt {\ frac {m \ hbar \ omega} {2}}}}
המתנד ההרמוני הקוונטי הוא האנלוג הקוונטי למתנד ההרמוני הקלאסי.
חלק 3 מתוך 3: אימות עקרון אי הוודאות
- 1נזכיר את עקרון אי הוודאות של הייזנברג לגבי העמדה והתנופה. עקרון אי הוודאות הוא גבול מהותי לדיוק שבאמצעותו אנו יכולים למדוד זוגות מסוימים של תצפיות, כגון מיקום ומומנטום. עיין בטיפים לקבלת רקע נוסף על עקרון אי הוודאות.
- σxσp≥ℏ2 {\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}}
- 2החלף את אי הוודאות של המתנד ההרמוני הקוונטי.
- ℏ2mωmℏω2≥ℏ2ℏ2≥ℏ2 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}}} {\ sqrt {\ frac {m \ hbar \ omega} {2}}} & \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \\ {\ frac {\ hbar} {2}} & \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \ end {align}}}
- התוצאות שלנו נמצאים הסכם עם עקרון אי הוודאות. למעשה, יחס זה משיג רק שוויון במצב הקרקע - אם משתמשים במצבי אנרגיה גבוהים יותר, אזי אי הוודאות במצב ובמומנטום רק הולכים וגדלים.
עקרון אי הוודאות הוא גבול מהותי לדיוק שבאמצעותו אנו יכולים למדוד זוגות מסוימים של תצפיות, כגון מיקום ומומנטום.
- ישנם שני רקעים מדוע קיים עקרון אי הוודאות.
- מנקודת מבט של מכניקת גל, הביטויים של פונקציית הגל מבחינת המיקום ומבחינת המומנטום הם טרנספורמציות פורייה זו של זו. מאפיין אחד של טרנספורמציית הפורייה הוא שלא ניתן למקם בצורה חדה פונקציה ותמורת פורייה שלה.
- דוגמה פשוטה היא טרנספורמציית הפורייה של הפונקציה המלבנית. ככל שרוחב הפונקציה פוחת (הופך למקומי יותר), טרנספורמציית פורייה (עקומת סינק) הופכת שטוחה יותר ויותר. דוגמה קיצונית היא פונקציית הדלתא של Dirac, שם הרוחב הוא אינסופי (יישוב מושלם). טרנספורמציית הפורייה שלו היא קבוע (אי-ודאות אינסופית).
- הדרך האחרת להסתכל עליו היא ממכניקת מטריקס. למפעילי המיקום והמומנטום יש יחס מעבר לאפס. אם שני אופרטורים נוסעים, יחס הקומוטציה שלהם, כפי שמסומן בסוגריים למטה, יהיה 0.
- [x ^, p ^] = x ^ p ^ −p ^ x ^ = iℏ {\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = {\ hat {x}} {\ hat {p}} - {\ hat {p}} {\ hat {x}} = i \ hbar}
- מתברר כי יחס קומיטציה זה חייב לרמוז על עקרון אי וודאות מהותי. כאשר אופרטור x ^ {\ displaystyle {\ hat {x}}} פועל על מצב, אז פונקציית הגל קורסת למצב העצמי של x ^ {\ displaystyle {\ hat {x}}} עם מדידה ייחודית (הערך העצמי). עם זאת, המצב העצמי של x ^ {\ displaystyle {\ hat {x}}} לא צריך להיות מצב עצמי של אופרטור אחר p ^. {\ Displaystyle {\ hat {p}}.} אם כן, אז אין מדידה ייחודית. עבור p נצפה , {\ displaystyle p,} שמשמעותה שניתן לכתוב את המדינה רק כשילוב לינארי של מדינות בסיס מומנטום. (כאשר שני אופרטורים נוסעים, יש להם קבוצה משותפת של מצבים עצמיים (זה מכונה ניוון) ואת שתי התצפיות ניתן למדוד בו זמנית בדיוק שרירותי. זה תמיד המקרה במכניקה הקלאסית.)
- זה המקור לעקרון אי הוודאות. זה לא נובע ממגבלות המכשירים שלנו שאיננו יכולים למדוד את מיקום חלקו ואת המומנטום שלו לדיוק שרירותי. במקום זאת, זהו מאפיין יסודי של החלקיקים עצמם.
![[{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = {\ hat {x}} {\ hat {p}} - {\ hat {p}} {\ hat {x}} = i \ hbar](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5c41604e9e57dd75dc8e6ed8abe77a732ae341)
