כיצד לחשב את הטרנספורמציה של ארבעה פונקציות?

כמו עם טרנספורמציית Laplace, ניתן לבצע חישוב טרנספורמציית פורייה של פונקציה ישירות באמצעות ההגדרה.

טרנספורמציית פורייה היא טרנספורמציה אינטגרלית שנמצאת בשימוש נרחב בפיזיקה והנדסה. הם נמצאים בשימוש נרחב בניתוח אותות ומצוידים היטב לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות מסוימות.

קריטריוני ההתכנסות של טרנספורמציית פורייה (כלומר, שהפונקציה תהיה אינטגרלית לחלוטין בקו האמיתי) הם חמורים למדי בגלל היעדר מונח הריקבון האקספוננציאלי כפי שנראה בתמורה של לפלס, וזה אומר שתפקודים כמו פולינומים, אקספוננציאלים, ו פונקציות טריגונומטריות כל אין התמרות פורייה במובן הרגיל. עם זאת, אנו יכולים להשתמש בפונקציית הדלתא של Dirac להקצות פונקציות אלה טרנספורמציות פורייה באופן הגיוני.

טרנספורמציית הפורייה של פונקציה אחידה היא גם שווה, מכיוון שהאינטגרל נובע אפילו מכך שהיתר, אם הוא אמיתי, אז גם טרנספורמציית הפורייה שלו אמיתית.

כי גם את הפונקציות הפשוטות ביותר, כי הם נתקלו עשוי להזדקק זה סוג של טיפול, היא המליצה כי אתה מכיר את המאפיינים של התמרת לפלס לפני שעבר. יתר על כן, זה מלמד יותר להתחיל בתכונות של טרנספורמציית פורייה לפני שעוברים לדוגמאות קונקרטיות יותר.

מקדים

אנו מגדירים את טרנספורמציית פורייה של f (t) {\ displaystyle f (t)} $F (t)$ כפונקציה הבאה, בתנאי שהאינטגרל מתכנס.
- ${\ hat {f}} (\ omega) = {\ mathcal {f}} \ {f (t) \} = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t$
הפוך התמרה מוגדרת באופן דומה. שימו לב לסימטריה הקיימת בין טרנספורמציית פורייה להופכיה, סימטריה שאינה קיימת בתמורת לפלס.
- $F (t) = {\ mathcal {f}} ^ {{- 1}} \ {{\ hat {f}} (\ omega) \} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} {\ hat {f}} (\ omega) e ^ {{i \ omega t}} {\ mathrm {d}} \ omega$
ישנן הגדרות רבות אחרות של טרנספורמציית פורייה. ההגדרה לעיל המשתמשת בתדר זוויתי היא אחת מהן, ונשתמש במוסכם זה במאמר זה. עיין בטיפים לשתי הגדרות נפוצות אחרות.
טרנספורמציית פורייה וההפך שלה הם אופרטורים לינאריים, ולכן שניהם מצייתים לסופרפוזיציה ולמידתיות.
- $\ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} [af (t) + bg (t)] e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t = a \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t + b \ int _ {{- \ infty} } ^ {{\ infty}} g (t) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t$

טרנספורמציית הפורייה של פונקציה אי-זוגית היא גם מוזרה, מכיוון שהאינטגרל מוזר בשל מעבר לכך. אם הוא אמיתי, אזי טרנספורמציית הפורייה שלו היא דמיונית לחלוטין.

חלק 1 מתוך 3: מאפייני טרנספורמציית הארבעה

1
קבעו טרנספורמציה של ארבעה נגזרים. שילוב פשוט על ידי חלקים, יחד עם התצפית ש- f (t) {\ displaystyle f (t)} $F (t)$ חייב להיעלם בשני האינסופי, מניב את התשובה למטה.
- ${\ התחל {align} {\ mathcal {f}} \ {f ^ {{\ prime}} (t) \} ו- = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f ^ { {\ prime}} (t) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t, \ \ u = e ^ {{- i \ omega t}}, \ v = f ^ { {\ prime}} (t) {\ mathrm {d}} t \\ and = i \ omega {\ hat {f}} (\ omega) \ end {align}}$
- באופן כללי, אנו יכולים לקחת נגזרות n {\ displaystyle n} $נ$ .
  - ${\ mathcal {f}} \ {f ^ {{(n)}} (t) \} = (i \ omega) ^ {{n}} {\ hat {f}} (\ omega)$
- זה מניב הנכס המעניין, כאמור להלן, אשר עשוי להיות מוכר ב מכניקת קוונטים כצורה כי מפעיל המומנטום לוקח ב שטח עמדה (מהשמאל) ומרחב מומנטום (מימין).
  - $-i {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} \ to \ omega$
2
קבע את הטרנספורמציה הארבעית של פונקציה מוכפלת ב- $t ^ {{n}}$ . הסימטריה של טרנספורמציית פורייה נותנת את המאפיין האנלוגי במרחב התדרים. תחילה נעבוד עם n = 1 {\ displaystyle n = 1} $N = 1$ ואז נכליל.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {tf (t) \} ו- = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} tf (t) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t \\ and = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} i {\ frac {\ partial} {\ partial \ omega}} (e ^ {{- i \ omega t}}) f (t) {\ mathrm {d}} t \\ and = i {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} \ אומגה}} {\ hat {f}} (\ omega) \ end {align}}$
- באופן כללי, אנו יכולים להכפיל ב- tn. {\ Displaystyle t ^ {n}.} $T ^ {{n}}.$
  - ${\ mathcal {f}} \ {t ^ {{n}} f (t) \} = i ^ {{n}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {{n}}} {{ \ mathrm {d}} \ omega ^ {{n}}}} {\ hat {f}} (\ omega)$
- אנו מיד משיגים את התוצאה שלהלן. זוהי סימטריה שלא מתממשת במלואה עם טרנספורמציית Laplace בין המשתנים t {\ displaystyle t} $ט$ ו- s. {\ Displaystyle s.} $ש.$
  - $אני {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} \ omega}} \ to t$
3
קבע את הטרנספורמציה הארבעית של פונקציה המוכפלת ב- $e ^ {{iat}}$ . הכפל באמצעות eiat {\ displaystyle e ^ {iat}} $E ^ {{iat}}$ בתחום הזמן מתאים לשינוי בתחום התדרים.
- ${\ mathcal {f}} \ {e ^ {{iat}} f (t) \} = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- i (\ omega -a) t}} {\ mathrm {d}} t = {\ hat {f}} (\ omega -a)$
4
קבע את הטרנספורמציה הארבעית של פונקציה מוסטת $f (tc)$ . שינוי בתחום הזמן מתאים לכפל באמצעות e − iωc {\ displaystyle e ^ {- i \ omega c}} $E ^ {{- i \ omega c}}$ בתחום התדרים, שממחיש שוב את הסימטריה בין t {\ displaystyle t} $ט$ ו- ω. {\ Displaystyle \ אומגה.} $\אומגה.$ אנו יכולים להעריך זאת בקלות באמצעות החלפה פשוטה.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {f (tc) \} ו- = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (tc) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t \\ and = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- i \ omega (t + c)}} {\ mathrm {d}} t \\ and = e ^ {{- i \ omega c}} {\ hat {f}} (\ omega) \ end {align}}$
5
קבע את הטרנספורמציה הארבעית של פונקציה נמתחת $f (ct)$ . למאפיין המתיחה שנראה בתמרת Laplace יש גם אנלוגי בתמורת פורייה.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {f (ct) \} ו- = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (ct) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t, \ quad u = ct \\ and = {\ frac {1} {| c |}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty }} f (u) e ^ {{- i \ omega u / c}} {\ mathrm {d}} u \\ and = {\ frac {1} {| c |}} {\ hat {f}} \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) \ end {align}}$
6
קבע את הטרנספורמציה הארבעית של התכנסות של שתי פונקציות. כמו עם טרנספורמציית Laplace, קונבולציה במרחב האמיתי מתאימה לריבוי במרחב הפורייה.
- ${\ התחל {מיושר} {\ mathcal {f}} \ {f (t) * g (t) \} ו- = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (ty) g (y) {\ mathrm {d}} y, \ quad u = ty \\ and = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} e ^ {{- i \ omega (u + y)}} {\ mathrm {d}} u \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (u) g (y) {\ mathrm {d}} y \\ and = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty} } f (u) e ^ {{- i \ omega u}} {\ mathrm {d}} u \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} g (y) e ^ {{- i \ omega y}} {\ mathrm {d}} y \\ and = {\ hat {f}} (\ omega) {\ hat {g}} (\ omega) \ end {align}}$
7
קבע את הטרנספורמציה הארבעית של פונקציות שוות ומשונות. לפונקציות אחידות ומשונות יש סימטריות מסוימות. אנו מגיעים לתוצאות אלה באמצעות הנוסחה של אוילר ומבינים כיצד פונקציות שוות ומשונות מתרבות.
- הטרנספורמציה של פורייה של פונקציה אחידה fe (t) {\ displaystyle f_ {e} (t)} $F _ {{e}} (t)$ היא גם שווה, מכיוון שהאינטגרל נמצא אפילו ב- ω {\ displaystyle \ omega} $\אומגה$ בשל הקושט. {\ Displaystyle \ cos \ omega t.} $\ cos \ omega t.$ יתר על כן, אם fe (t) {\ displaystyle f_ {e} (t)} $F _ {{e}} (t)$ אמיתי, אז גם הטרנספורמציה של פורייה שלה אמיתית.
  - ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {f _ {{e}} (t) \} ו- = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f _ {{e} } (t) \ left (\ cos \ omega ti \ sin \ omega t \ right) {\ mathrm {d}} t \\ and = 2 \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f_ { {e}} (t) \ cos \ omega t {\ mathrm {d}} t \ end {align}}$
- טרנספורמציית פורייה של פונקציה מוזרה fo (t) {\ displaystyle f_ {o} (t)} $F _ {{o}} (t)$ היא גם מוזרה, מכיוון שהאינטגרל מוזר ב- ω {\ displaystyle \ omega} $\אומגה$ בגלל הסינוט. {\ Displaystyle \ sin \ omega t.} $\ sin \ omega t.$ יתר על כן, אם fo (t) {\ displaystyle f_ {o} (t)} $F _ {{o}} (t)$ הוא אמיתי, אזי טרנספורמציית הפורייה שלו היא דמיונית לחלוטין.
  - ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {f _ {{o}} (t) \} ו- = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f _ {{o} } (t) \ left (\ cos \ omega ti \ sin \ omega t \ right) {\ mathrm {d}} t \\ and = -2i \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f_ {{o}} (t) \ sin \ omega t {\ mathrm {d}} t \ end {align}}$

חלק 2 מתוך 3: טרנספורמציות פורייה

1
החלף את הפונקציה בהגדרת הטרנספורמציה. כמו עם טרנספורמציית Laplace, חישוב טרנספורמציית פורייה של פונקציה יכול להיעשות ישירות באמצעות ההגדרה. נשתמש בפונקציה לדוגמא f (t) = 1t2 + 1, {\ displaystyle f (t) = {\ frac {1} {t ^ {2} +1}},} $F (t) = {\ frac {1} {t ^ {{2}} + 1}},$ העונה בהחלט על קריטריוני ההתכנסות שלנו.
- ${\ mathcal {f}} \ left \ {{\ frac {1} {t ^ {{2}} + 1}} \ right \} = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty} } {\ frac {e ^ {{- i \ omega t}}} {t ^ {{2}} + 1}} {\ mathrm {d}} t$
2
הערך את האינטגרל בכל האמצעים האפשריים. אינטגרל זה מתנגד לטכניקות של חשבון היסודי, אך במקום זאת אנו יכולים להשתמש בתיאוריית השאריות.
- כדי להשתמש בשאריות, אנו יוצרים קו מתאר γ {\ displaystyle \ gamma} $\ גמא$ המורכב משרשור של הקו האמיתי וקשת חצי מעגלית במישור החצי התחתון המעגל בכיוון השעון. המטרה היא להראות כי האינטגרל האמיתי שווה לאינטגרל המתאר בכך שהוא מראה כי אינטגרל הקשת נעלם.
  - $\ oint _ {{\ gamma}} {\ frac {e ^ {{- i \ omega t}}} {t ^ {{2}} + 1}} {\ mathrm {d}} t = \ int _ { {- \ infty}} ^ {{\ infty}} {\ frac {e ^ {{- i \ omega t}}} {t ^ {{2}} + 1}} {\ mathrm {d}} t + \ int _ {{{\ text {arc}}}} {\ frac {e ^ {{- i \ omega t}}} {t ^ {{2}} + 1}} {\ mathrm {d}} t$
- אנו עשויים לגרום למכנה להראות שלפונקציה יש קטבים פשוטים ב- t ± = ± i. {\ Displaystyle t _ {\ pm} = \ pm i.} $T _ {{\ pm}} = \ pm אני.$ מכיוון שרק t - {\ displaystyle t _ {-}} $T _ {{-}}$ כלוא, אנו יכולים להשתמש במשפט השאריות כדי לחשב את ערך אינטגרל המתאר.
  - $\ operatorname {res} (f (t); - i) = {\ frac {e ^ {{- \ omega}}} {- 2i}}$
- שימו לב כי מכיוון שהמתאר שלנו הוא בכיוון השעון, יש סימן שלילי נוסף.
  - $\ משחה _ {{\ gamma}} {\ frac {e ^ {{- i \ omega t}}} {t ^ {{2}} + 1}} {\ mathrm {d}} t = -2 \ pi i \ cdot {\ frac {e ^ {{- \ omega}}} {- 2i}} = \ pi e ^ {{- \ omega}}$
- לא פחות חשוב הוא התהליך להראות כי אינטגרל הקשת נעלם. הלמה של ירדן מסייעת להערכה זו. הלמה אמנם לא אומרת שהאינטגרל נעלם, אך הוא מחייב את ההבדל בין אינטגרל המתאר לאינטגרל האמיתי. אנו מיישמים את הלמה במישור החצי התחתון למטה לפונקציה f (t) = e − iωtg (t), {\ displaystyle f (t) = e ^ {- i \ omega t} g (t),} $F (t) = e ^ {{- i \ omega t}} g (t),$ איפה ω > 0. {\ $\ אומגה> 0.$ Displaystyle $C = re ^ {{- i \ phi}}$ \ omega> 0.} ניתן פרמטרציה C = Re − iϕ {\ displaystyle C = Re ^ {- i \ phi}} כאשר ϕ∈ [0, π], {\ displaystyle \ phi \ in [0, \ pi],} $\ phi \ ב- [0, \ pi],$ אז הלמה של ירדן קובעת את הגבול הבא של האינטגרל:
  - ${\ bigg |} \ int _ {{c}} f (t) {\ mathrm {d}} t {\ bigg |} \ leq {\ frac {\ pi} {\ omega}} \ max _ {{\ phi \ ב [0, \ pi]}} g (re ^ {{- i \ phi}})$
- כעת, כל שעלינו לעשות הוא להראות ש- g (t) {\ displaystyle g (t)} $G (t)$ נעלם בגבול R {\ displaystyle R} הגדול $ר$ , וזה טריוויאלי כאן מכיוון שהפונקציה נופלת כ -1 / R2. {\ תצוגת תצוגה 1 / R ^ {2}.} $1 / r ^ {{2}}.$
  - $\ lim _ {{r \ to \ infty}} {\ frac {1} {(re ^ {{- i \ phi}}) ^ {{2}} + 1}} = 0$
- מה התחום של ω {\ displaystyle \ omega} $\אומגה$ בתוצאה זו? כאמור קודם, הלמה של ירדן חלה רק על ω> 0. {\ displaystyle \ omega> 0.} $\ אומגה> 0.$ עם זאת, כאשר חוזרים על חישוב זה על ידי סגירת מישור החצי העליון, מציאת השאריות בקוטב השני והחלת הלמה של ירדן על להבטיח את נעלמת אינטגרלי קשת, התוצאה תהיה πeω {\ displaystyle \ pi e ^ {\ omega}} $\ pi e ^ {{\ omega}}$ בעוד תחום של ω {\ displaystyle \ אומגה} $\אומגה$ יהיה ריאל שלילית. אז התשובה הסופית נכתבה למטה.
  - ${\ mathcal {f}} \ left \ {{\ frac {1} {t ^ {{2}} + 1}} \ right \} = \ pi e ^ {{- | \ omega |}}$
3
הערך את השינוי הארבע של הפונקציה המלבנית. הפונקציה המלבנית rect⁡ (t), {\ displaystyle \ operatorname {rect} (t),} $\ operatorname {rect} (t),$ או דופק היחידה, מוגדרת כפונקציה חלקית השווה ל -1 אם −12 <t <12, {\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} <t <{\ frac {1} {2}},} $- {\ frac {1} {2}} <t <{\ frac {1} {2}},$ ו- 0 בכל מקום אחר. ככזה, אנו יכולים להעריך את האינטגרל רק על גבולות אלה. התוצאה היא פונקציית הסינוס הקרדינלי.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {\ operatorname {rect} (t) \} and = \ int _ {{- 0,5}} ^ {{0,5}} e ^ {{ -i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t \\ and = {\ frac {1} {i \ omega}} \ left (e ^ {{i \ omega / 2}} - e ^ {{ -i \ omega / 2}} \ right) \\ and = {\ frac {2} {\ omega}} \ sin {\ frac {\ omega} {2}} \ end {align}}$
- אם דופק היחידה מוסט כך שהגבולות הם 0 ו- 1, אז קיים גם רכיב דמיוני, כפי שנראה על ידי הגרף שלמעלה. זאת בשל העובדה שהפונקציה כבר אינה אחידה.
  - $\ int _ {{0}} ^ {{1}} e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t = {\ frac {\ sin \ omega} {\ omega}} + i \ left ({\ frac {\ cos \ omega -1} {\ omega}} \ right)$
4
הערך את השינוי הארבע של הפונקציה הגאוסית. פונקצית גאוס היא אחד התפקידים הבודדים הוא הפורה משלה לשנות. אנו משתלבים על ידי השלמת הריבוע.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {e ^ {{- t ^ {{2}}}} \} ו- = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} e ^ {{- t ^ {{2}}}} e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t \\ and = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{ \ infty}} e ^ {{- (t ^ {{2}} + i \ omega t- \ omega ^ {{2}} / 4+ \ omega ^ {{2}} / 4)}} {\ mathrm {d}} t \\ and = e ^ {{- \ omega ^ {{2}} / 4}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} e ^ {{- (t + i \ omega / 2) ^ {{2}}}} {\ mathrm {d}} t \\ and = {\ sqrt {\ pi}} e ^ {{- \ omega ^ {{2}} / 4 }} \ end {align}}$

למאפיין המתיחה שנראה בתמרת לאפלייס יש אנלוגיה בממורת פורייה.

חלק 3 מתוך 3: הפצות

1
הערך את השינוי $e ^ {{iat}}$ של $eiat {\ displaystyle e ^ {iat}}$ . אם הייתה לך חשיפה כלשהי לפני טרנספורמציות של Laplace, אתה יודע שהפונקציה האקספוננציאלית היא הפונקציה "הפשוטה ביותר" שיש לה טרנספורמציה של Laplace. במקרה של טרנספורמציית פורייה, פונקציה זו אינה מתנהגת היטב מכיוון שהמודול של פונקציה זו אינו נוטה ל- 0 כ- t → ∞. {\ Displaystyle t \ to \ infty.} $T \ to \ infty.$ עם זאת, התמורה של פורייה שלה ניתנת כ- פונקציית דלתא.
- ${\ mathcal {f}} \ {e ^ {{iat}} \} = 2 \ pi \ delta (\ omega -a)$
- נעתי מעריכים הדמיוניים סביב המעגל היחיד, למעט כאשר $T = 0,$ שבו המעריכים שווים 1. אתה יכול לחשוב על התרומות על ידי התנודות כמו מבטל את עצמם עבור כל $T \ neq 0.$ לאחר $T = 0,$ נפרד הפונקציה. פונקציית הדלתא משמשת אז למודל התנהגות זו.
- תוצאה זו נותנת לנו טרנספורמציה של פורייה משלוש פונקציות אחרות בחינם. טרנספורמציית הפורייה של הפונקציה הקבועה מתקבלת כאשר אנו קובעים a = 0. {\ displaystyle a = 0.} $A = 0.$
  - ${\ mathcal {f}} \ {1 \} = 2 \ pi \ delta (\ omega)$
- טרנספורמציית פורייה של פונקציית הדלתא היא פשוט 1.
  - ${\ mathcal {f}} \ {\ delta (t) \} = 1$
- בעזרת הנוסחה של אוילר, אנו מקבלים את טרנספורמציות פורייה של פונקציות הקוסינוס והסינוס.
  - ${\ mathcal {f}} \ {\ cos at \} = \ pi (\ delta (\ omega -a) + \ delta (\ omega + a))$
  - ${\ mathcal {f}} \ {\ sin at \} = - i \ pi (\ delta (\ omega -a) - \ delta (\ omega + a))$
2
הערך את השינוי $t ^ {{n}} ה ^ {{iat}}$ של $tneiat {\ displaystyle t ^ {n} e ^ {iat}}$ . אנו יכולים להשתמש במאפיין המשמרת כדי לחשב טרנספורמציות פורייה של כוחות, ולכן את כל הפולינומים. שים לב שזה כולל נגזרות מחשוב של פונקציית הדלתא.
- ${\ mathcal {f}} \ {t ^ {{n}} e ^ {{iat}} \} = 2 \ pi i ^ {{n}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {{ n}}} {{\ mathrm {d}} \ omega ^ {{n}}}} \ delta (\ omega -a)$
3
הערך את הטרנספורמציה של ארבעת הפונקציות של שלב ההימור. הפונקציה Heaviside Θ (t) {\ displaystyle \ Theta (t)} $\ תטא (t)$ היא הפונקציה ששווה 0 {\ displaystyle 0} ${\ displaystyle 0}$ עבור t $ט$ שלילי {\ displaystyle t} ו- 1 {\ displaystyle 1} $1$ עבור t $ט.$ חיובי . {\ Displaystyle t.} כמו בפונקציית הדלתא, ל- Θ (t) {\ displaystyle \ Theta (t)} $\ תטא (t)$ אין טרנספורמציה של פורייה במובן הרגיל מכיוון ש- t (t) {\ displaystyle \ Theta (t)} $\ תטא (t)$ אינו לגמרי אינטגרלי. בהתעלם מאזהרה זו, אנו יכולים לכתוב את התמורה של פורייה על ידי תמימות עושה את האינטגרל.
- ${\ mathcal {f}} \ {\ theta (t) \} = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t = {\ frac {e ^ {{- i \ omega t}}} {- i \ omega}} {\ bigg |} _ {{0}} ^ {{\ infty}} = {\ frac {1} {i \ omega}}$
- על מנת להבין את התשובה הזו, אנו פונים להתפתלויות. הנגזרת של התכנסות של שתי פונקציות מובאת להלן. שים לב שזה לא כלל המוצר של נגזרים רגילים.
  - ${\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} (f (t) * g (t)) = f '* g = f * g'$
- לאחר מכן אנו רואים כי ניתן לכתוב באופן הבא את פיתול הנגזרת של פונקציה אינטגרלית לחלוטין f (t) {\ displaystyle f (t)} $F (t)$ עם Θ (t) {\ displaystyle \ Theta (t)} $\ תטא (t)$ . זה גם מרמז על היחס החשוב Θ ′ (t) = δ (t). {\ Displaystyle \ Theta '(t) = \ delta (t).} $\ תטא '(t) = \ דלתא (t).$
  - ${\ התחל {מיושר} f '(t) * \ תטא (t) ו- = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f' (y) \ theta (ty) {\ mathrm { d}} y \\ ו- = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{t}} f '(y) {\ mathrm {d}} y = f (t) \ end {align}}$
  - ${\ mathcal {f}} \ {f '(t) * \ theta (t) \} = {\ hat {f}} (\ omega) = {\ hat {f}}' (\ omega) {\ hat {\ theta}} (\ omega) = i \ omega {\ hat {f}} (\ omega) {\ hat {\ theta}} (\ omega)$
- במובן זה, נוכל להסיק ש- ${\ mathcal {f}} \ {\ theta (t) \} = {\ frac {1} {i \ omega}}.$

קרא גם: כיצד להמיר יחידות?

טיפים

ישנן שתי מוסכמות נפוצות נוספות לשינוי פורייה.
- יש מחברים שמגדירים את טרנספורמציית הפורייה כדי לפצל את הגורם של $2 \ pi$ באופן שווה בין האינטגרלים.
- התוצאה היא סימטריה גדולה יותר בין התמורות.
  - ${\ hat {f}} (\ omega) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t$
  - $F (t) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} {\ hat {f}} (\ omega) e ^ {{i \ omega t}} {\ mathrm {d}} \ omega$
- אחרים משתמשים במשתנה התדר הרגיל ξ, {\ displaystyle \ xi,} $\ xi,$ שקשור לתדר הזוויתי לפי ω = 2πξ. {\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi \ xi.} $\ אומגה = 2 \ pi \ xi.$
  - ${\ hat {f}} (\ xi) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- i2 \ pi \ xi t}} {\ mathrm { ד}} ט$
  - $F (t) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} {\ hat {f}} (\ xi) e ^ {{i2 \ pi \ xi t}} {\ mathrm {d }} \ xi$