כיצד לורנץ להגביר את גלי המישור האלקטרומגנטי?

ביצוע טרנספורמציות לורנץ בגלי אלקטרומגנטיות (EM) הוא יישום פשוט של עקרונות היסוד של תורת היחסות המיוחדת ואלקטרומגנטיות.

במאמר זה נבחן את הבעיה בה אנו מקבלים את השדה החשמלי המתפשט בכיוון z $E _ {{x}} (z, t) = e _ {{0}} \ sin (k (z-ct)),$ כאשר $E _ {{0}}, ק$ הם קבועים חיוביים ו- $ג$ הוא מהירות האור.

צעדים

1
קשר את השדות החשמליים והמגנטיים. הגודל של שני השדות נבדל רק בקבוע דרך הקשר | E | = c | B |. {\ Displaystyle | \ mathbf {E} | = c | \ mathbf {B} |.} $| {\ mathbf {e}} | = c | {\ mathbf {b}} |.$ אנחנו גם יודעים שהשניים שדות וכיוון התפשטות חייבים להיות אורתוגונליים זה לזה באמצעות B = 1ck ^ × E, {\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ frac {1} {c}} {\ hat {\ mathbf {k}}} \ times \ mathbf {E},} ${\ mathbf {b}} = {\ frac {1} {c}} {\ hat {{\ mathbf {k}}}} \ times {\ mathbf {e}},$ כאשר k ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {k}}}} ${\ hat {{\ mathbf {k}}}}$ מצביע לכיוון התפשטות - במקרה שלנו, כיוון z. שתי התובנות הללו מצביעות על כך שניתן לכתוב את השדה המגנטי כך.
- $Cb _ {{y}} = e _ {{0}} \ sin (k (z-ct))$
נזכר בתמורות הלורנץ לשדות חשמליים ומגנטיים.
2
נזכר בתמורות לורנץ לכיוון z. מכיוון שאנו מתחזקים בכיוון אחד בלבד, אנו יכולים להתעלם משני הממדים האחרים בניצב לכיוון התפשטות.
- $Ct ^ {{\ prime}} = \ gamma (ct- \ beta z)$
- $Z ^ {{\ prime}} = \ gamma (z- \ beta ct)$
3
נזכר בתמורות הלורנץ לשדות חשמליים ומגנטיים. ניתן להפיק טרנספורמציות אלה על ידי הפיכת טנזור פאראדיי. יתכן שאתה מכיר דחיפה בכיוון x - במקרה של כיוון z, כל מה שנדרש הוא לבצע תמורה מחזורית של הרכיבים בתמורות, שכן ניתן לבחור באופן שרירותי את מערכת הקואורדינטות. יש לציין כאן את המורכבות בה קשורים שני התחומים תחת דחיפה של לורנץ.
- שדות חשמליים
  - $E _ {{z}} ^ {{\ prime}} = e _ {{z}}$
  - $E _ {{x}} ^ {{\ prime}} = \ gamma (e _ {{x}} - \ beta cb _ {{y}})$
  - $E _ {{y}} ^ {{\ prime}} = \ gamma (e _ {{y}} + \ beta cb _ {{x}})$
- שדה מגנטי
  - $Cb _ {{z}} ^ {{\ prime}} = cb _ {{z}}$
  - $Cb _ {{x}} ^ {{\ prime}} = \ gamma (cb _ {{x}} + \ beta e _ {{y}})$
  - $Cb _ {{y}} ^ {{\ prime}} = \ gamma (cb _ {{y}} - \ beta e _ {{x}})$
4
לורנץ מגביר את השדה החשמלי. הצעד הראשון לכתיבת ביטוי לשדה החשמלי המוגבר הוא פשוט לכתוב Ex '. {\ Displaystyle E_ {x} ^ {\ prime}.} $E _ {{x}} ^ {{\ prime}}.$
- ${\ begin {align} e _ {{x}} ^ {{\ prime}} ו- = \ gamma (e _ {{x}} - \ beta cb _ {{y}}) \\ ו- = \ gamma [e _ {{ 0}} \ sin (k (z-ct)) - \ beta e _ {{0}} \ sin (k (z-ct))] \\ and = \ gamma (1- \ beta) e _ {{0} } \ sin (k (z-ct)) \ end {align}}$
לכן ניתן לכתוב את השדות החשמליים והמגנטיים המועצמים ככאלה.
5
מצא את $z-ct$ מבחינת המסגרת המועצמת. אמנם השדה החשמלי הנ"ל נכון, אך הוא אינו שלם, מכיוון שאנו רוצים לכתוב את כל הכמויות במונחים של המסגרת המועצמת. שלב זה דורש שתכתוב את טרנספורמציות לורנץ משלב 2 בצורה הפוכה.
- $Ct = \ gamma (ct ^ {{\ prime}} + \ beta z ^ {{\ prime}})$
- $Z = \ gamma (z ^ {{\ prime}} + \ beta ct ^ {{\ prime}})$
- ${\ begin {align} z-ctand = \ gamma (z ^ {{\ prime}} + \ beta ct ^ {{\ prime}}) - \ gamma (ct ^ {{\ prime}} + \ beta z ^ {{\ prime}}) \\ ו- = \ gamma (z ^ {{\ prime}} + \ beta ct ^ {{\ prime}} - ct ^ {{\ prime}} - \ beta z ^ {{\ פריים}}) \\ ו- = \ gamma (z ^ {{\ prime}} (1- \ beta) + ct ^ {{\ prime}} (1- \ beta)) \\ ו- = \ gamma (1- \ beta) (z ^ {{\ prime}} - ct ^ {{\ prime}}) \ end {align}}$
6
החלף לביטוי לשדה החשמלי המוגבר. לפי מערכות היחסים שנקבעו בשלב 1, גודל הכמות למטה שווה גם לשדה המגנטי cBy ′. {\ Displaystyle cB_ {y} ^ {\ prime}.} $Cb _ {{y}} ^ {{\ prime}}.$
- $E _ {{x}} ^ {{\ prime}} = \ gamma (1- \ beta) e _ {{0}} \ sin [k \ gamma (1- \ beta) (z ^ {{\ prime}} - ct ^ {{\ prime}}]]$
7
כתוב במונחים של גורם הדופלר. ניתן לפשט את הכמות γ (1 − β) {\ displaystyle \ gamma (1- \ beta)} $\ gamma (1- \ beta)$ להדדיות של גורם הדופלר. אנו משתמשים ביחס γ = 11 − β2 {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}} $\ gamma = {\ frac {1} {{\ sqrt {1- \ beta ^ {{2}}}}}$ למטה.
- ${\ begin {align} \ gamma (1- \ beta) ו- = {\ frac {1- \ beta} {{\ sqrt {1- \ beta ^ {{}}}}}} \\ ו- = {\ frac {{\ sqrt {1- \ beta}} {\ sqrt {1- \ beta}}} {{\ sqrt {1+ \ beta}} {\ sqrt {1- \ beta}}} \\ {\ frac {1} {\ kappa}} ו- = {\ sqrt {{\ frac {1- \ beta} {1+ \ beta}}}} \ end {align}}$
- למעלה, κ = 1 + β1 − β {\ displaystyle \ kappa = {\ sqrt {\ frac {1+ \ beta} {1- \ beta}}}} $\ kappa = {\ sqrt {{\ frac {1+ \ beta} {1- \ beta}}}$ (שימו לב לשינויים בסימן) הוא גורם הדופלר - הגורם לפי אשר גל כפי שזוהה על ידי משקיף משתנה עם כבוד אל המקור. זה הגיוני באופן אינטואיטיבי בבעיה המתוארת במאמר זה, שכן עסקינן בגלי מישור, ולכן אין זה מפתיע שגורם הדופלר יעלה. לכן ניתן לכתוב את השדות החשמליים והמגנטיים המועצמים ככאלה.
  - $E _ {{x}} ^ {{\ prime}} = cb _ {{y}} ^ {{\ prime}} = {\ frac {1} {\ kappa}} e _ {{0}} \ sin \ left ({\ frac {k} {\ kappa}} (z ^ {{\ prime}} - ct ^ {{\ prime}}) \ ימין)$
- אנו רואים כעת בבירור כיצד השדות החשמליים והמגנטיים משתנים - האמפליטודות הולכות וקטנות (ירידה בעוצמה) והתדרים הולכים וקטנים, המתאימים לאורכי גל ארוכים יותר (הסטה אדומה).

אמנם השדה החשמלי הנ"ל נכון, אך הוא אינו שלם, מכיוון שאנו רוצים לכתוב את כל הכמויות במונחים של המסגרת המוגברת.

טיפים

אנו יכולים למצוא כמויות קשורות גם במסגרת ${\ mathbf {s}} ^ {{\ prime}} = {\ frac {1} {\ mu _ {{0}}}} ({\ mathbf {e}} ^ {{\ prime}} \ times { \ mathbf {b}} ^ {{\ prime}})$ , כגון הווקטור Poynting $S ′ = 1μ0 (E ′ × B ′) {\ displaystyle \ mathbf {S} ^ {\ prime} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} (\ mathbf {E} ^ {\ prime} \ times \ mathbf {B} ^ {\ prime})}$ וצפיפות האנרגיה $U _ {{em}} ^ {{\ prime}} = {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {{0}} e ^ {{\ prime 2}} + {\ frac {1} {2 \ mu _ {{0}}}} ב ^ {{\ פריים 2}},$ מכיוון שלא מועדפת מסגרת אינרציאלית. הערכת וקטור ה- Poynting במסגרת המועצמת אמורה להפיק תוצאה המסכימה עם כיוון התפשטות, שכן וקטור ה- Poynting מייצג צפיפות שטף אנרגיה.

קרא גם: איך מכינים קרח מזויף?