כיצד למצוא ערכים עצמיים וקטורים עצמיים?
הערכים העצמיים נמצאים מייד, ומציאת ווקטורים עצמיים למטריצות אלה הופכת להרבה יותר קלה.
משוואת המטריצה Ax = b {\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}} כוללת מטריצה הפועלת על וקטור להפקת וקטור אחר. באופן כללי, האופן שבו A {\ displaystyle A} פועל על x {\ displaystyle \ mathbf {x}} הוא מורכב, אך ישנם מקרים מסוימים בהם הפעולה ממופה לאותו וקטור, כפול גורם סקלרי.
לערכי הביצוע ולווקטורים עצמיים יש יישומים עצומים במדעי הפיסיקה, במיוחד מכניקת הקוונטים, בין תחומים אחרים.
- 1להבין את הקובעים. הקובע של מטריצה detA = 0 {\ displaystyle \ det A = 0} כאשר A {\ displaystyle A} אינו הפיך. כאשר זה קורה, הרווח האפסי של A {\ displaystyle A} הופך להיות לא טריוויאלי - במילים אחרות, ישנם וקטורים שאינם אפסים העונים על המשוואה ההומוגנית Ax = 0. {\ displaystyle A \ mathbf {x} = 0. }
כיצד ניתן למצוא את הווקטורים העצמיים של מטריצה 3x3? - 2כתוב את משוואת הערך העצמי. כפי שהוזכר בהקדמה, הפעולה של A {\ displaystyle A} ב- x {\ displaystyle \ mathbf {x}} היא פשוטה, והתוצאה נבדלת רק על ידי קבוע כפול λ, {\ displaystyle \ lambda,} הנקרא הערך העצמי. וקטורים הקשורים לערך עצמי נקראים וקטורים עצמיים.
- Ax = λx {\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ lambda \ mathbf {x}}
- אנו יכולים להגדיר את המשוואה לאפס ולקבל את המשוואה ההומוגנית. למטה, אני {\ displaystyle I} היא מטריצת הזהות.
- (A − λI) x = 0 {\ displaystyle (A- \ lambda I) \ mathbf {x} = 0}
- 3הגדר את המשוואה האופיינית. על מנת של- (A − λI) x = 0 {\ displaystyle (A- \ lambda I) \ mathbf {x} = 0} יהיו פתרונות לא טריוויאליים, הרווח האפסי של A-λI {\ displaystyle A- \ lambda אני חייב להיות גם לא טריוויאלי.
- הדרך היחידה שזה יכול לקרות היא אם det (A − λI) = 0. {\ displaystyle \ det (A- \ lambda I) = 0.} זו המשוואה האופיינית.
- 4השג את הפולינום האופייני. det (A − λI) {\ displaystyle \ det (A- \ lambda I)} מניב פולינום של המידה n {\ displaystyle n} עבור מטריצות n × n {\ displaystyle n \ times n} .
- שקול את המטריצה A = (1432). {\ Displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \ end {pmatrix}}.}
- | 1 − λ432 − λ | = 0 (1 − λ) (2 − λ) −12 = 0 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} {\ התחל {vmatrix} 1- \ lambda & 4 \\ 3 & 2- \ lambda \ סוף {vmatrix}} & = 0 \\ (1- \ lambda) (2- \ lambda) -12 & = 0 \ end {align}}}
- שימו לב כי הפולינום נראה לאחור - הכמויות בסוגריים צריכות להיות משתנות מינוס המספר, ולא להפך. קל להתמודד עם זה על ידי הזזת 12 ימינה והכפלת ב- (−1) 2 {\ displaystyle (-1) ^ {2}} לשני הצדדים כדי להפוך את הסדר.
- (λ − 1) (λ − 2) = 12λ2−3λ − 10 = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} (\ lambda -1) (\ lambda -2) & = 12 \\\ lambda ^ {2} -3 \ lambda -10 & = 0 \ end {align}}}
אלה הם הווקטורים העצמיים המשויכים לערכים עצמיים שלהם. - 5פתור את הפולינום האופייני לערכים עצמיים. זהו, באופן כללי, צעד קשה למצוא ערכים עצמיים, כפי שיש קיים שום פתרון כללי עבור פונקציות quintic או פולינומי גבוה. עם זאת, עסקינן במטריצה של ממד 2, ולכן הריבוע נפתר בקלות.
- (λ − 5) (λ + 2) = 0λ = 5, −2 {\ displaystyle {\ begin {align} & (\ lambda -5) (\ lambda +2) = 0 \\ & \ lambda = 5, - 2 \ end {align}}}
- 6החלף את הערכים העצמיים למשוואת הערך העצמי, בזה אחר זה. בואו נחליף את λ1 = 5 {\ displaystyle \ lambda _ {1} = 5} תחילה.
- (A-5I) x = (- 443−3) {\ displaystyle (A-5I) \ mathbf {x} = {\ begin {pmatrix} -4 & 4 \\ 3 & -3 \ end {pmatrix}}}
- המטריצה המתקבלת תלויה כמובן בליניארית. אנחנו בדרך הנכונה כאן.
- 7הפחת בשורה את המטריצה שהתקבלה. עם מטריצות גדולות יותר, זה לא יכול להיות כל כך ברור שהמטריצה תלויה באופן ליניארי, ולכן עלינו להפחית בשורה. כאן, עם זאת, אנו יכולים לבצע באופן מיידי את פעולת השורה R2 → 4R2 + 3R1 {\ displaystyle R_ {2} \ to 4R_ {2} + 3R_ {1}} כדי להשיג שורה של 0.
- (−4400) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -4 & 4 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}
- המטריצה שלמעלה אומרת ש- 4x1 + 4x2 = 0. {\ Displaystyle -4x_ {1} + 4x_ {2} = 0.} פשוט ופרמטר מחדש x2 = t, {\ displaystyle x_ {2} = t,} כפי שהוא משתנה בחינם.
היזהר, עם זאת, שצורת צמצום השורה לצורת הדרגה והשגת מטריצה משולשת אינה נותנת לך את הערכים העצמיים, שכן צמצום השורה משנה את הערכים העצמיים של המטריצה באופן כללי. - 8השג את הבסיס למרחב העצמי. בשלב הקודם הוביל אותנו אל בסיס מקום ריק של A-5i {\ displaystyle A-5i} - במילים אחרות, eigenspace של השורה {\ a displaystyle} עם הערך העצמי 5.
- x1 = (11) {\ displaystyle \ mathbf {x_ {1}} = {\ התחל {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}}
- ביצוע שלבים 6 עד 8 עם λ2 = −2 {\ displaystyle \ lambda _ {2} = - 2} מביא לווקטור העצמי הבא המשויך לערך עצמי -2.
- x2 = (- 43) {\ displaystyle \ mathbf {x_ {2}} = {\ התחל {pmatrix} -4 \\ 3 \ end {pmatrix}}}
- אלה הם הווקטורים העצמיים המשויכים לערכים עצמיים שלהם. על בסיס כל המרחב העצמי של A, {\ displaystyle A,} אנו כותבים
- {(11), (- 43)}. {\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} -4 \\ 3 \ end {pmatrix }}\ימין\}.}
- קל למצוא את הקובע של מטריצה משולשת - הוא פשוט תוצר של האלמנטים האלכסוניים. הערכים העצמיים נמצאים מייד, ומציאת ווקטורים עצמיים למטריצות אלה הופכת להרבה יותר קלה.
- היזהר, עם זאת, שצורת צמצום השורה לצורת הדרגה והשגת מטריצה משולשת אינה נותנת לך את הערכים העצמיים, שכן צמצום השורה משנה את הערכים העצמיים של המטריצה באופן כללי.
- אנו יכולים לאלכסון מטריצה A {\ displaystyle A} באמצעות טרנספורמציית דמיון A = PDP − 1, {\ displaystyle A = PDP ^ {- 1},} כאשר P {\ displaystyle P} היא מטריצה בלתי הפיכה לשינוי בסיס. ו- D {\ displaystyle D} היא מטריצה עם אלמנטים אלכסוניים בלבד. עם זאת, אם A {\ displaystyle A} הוא מטריצה n × n {\ displaystyle n \ times n} , עליה להיות n {\ displaystyle n} ערכים עצמיים מובחנים כדי שיהיה ניתן לאלכסון.
- במקרה שלנו, A = (1−413) (500−2) (1−413) −1. {\ Displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & 3 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & 3 \ end {pmatrix}} ^ {- 1}.}
- יש כאן כמה דברים שיש לציין. ראשית, האלמנטים האלכסוניים של D {\ displaystyle D} הם הערכים העצמיים שמצאנו. שנית, העמודות של P {\ displaystyle P} הן המרחב העצמי של A. {\ Displaystyle A.} שלישית, D {\ displaystyle D} דומה ל- A {\ displaystyle A} במובן שיש להן אותו הקובע, ערכים עצמיים, ועקבות.
- כאשר באלכסון, בסיסי העצמיים ב- P {\ displaystyle P} המתאימים לערכים העצמיים שלהם חייבים להתיישר - במילים אחרות, עליכם להיות עקביים עם הסדר. בדוגמה שלעיל, אינך יכול להחליף את העמודות של P {\ displaystyle P} מבלי להחליף את המיקום של האלמנטים האלכסוניים ב- D. {\ displaystyle D.}
קרא גם: איך מתווים קואורדינטות קוטביות?
שאלות ותשובות
- מדוע אנו מחליפים את y ב- 1 ולא בשום מספר אחר בעת מציאת ווקטורים עצמיים?לצורך הפשטות. Eigenvectors מוגדרים רק עד קבוע כפול, ולכן הבחירה לקבוע את הקבוע שווה ל- 1 היא לעתים קרובות הפשוטה ביותר.
- כיצד ניתן למצוא את הווקטורים העצמיים של מטריצה 3x3?ראשית, מצא את הפתרונות x עבור det (A - xI) = 0, כאשר אני הוא מטריצת הזהות ו- x הוא משתנה. הפתרונות x הם הערכים העצמיים שלך. בואו נגיד ש, b, c הם הערכים שלכם. כעת פתר את המערכות [A - aI | 0], [A - bI | 0], [A - cI | 0]. הבסיס לקבוצות הפתרונות של מערכות אלו הם הווקטורים העצמיים.
