כיצד לפתור בעיות מתמטיות בקלות באמצעות הפרש ריבועים?
לדוגמא, אם המספר השווה שלך הוא 30, הנוסחה בהפרש הריבועים שלך תיראה כך.
הכפלת מספרים דו או שלוש ספרתיים באמצעות האלגוריתם הסטנדרטי דורשת עט ועיפרון ויכולה לקחת זמן מה. על ידי שימוש בנוסחת ההבדל בריבועים, נוסחה סטנדרטית המשמשת באלגברה בסיסית, הכפלת מספרים גדולים הופכת להיות קלה ומהירה יותר לביצוע, ולעתים קרובות ניתן לעשות זאת בראשכם. ניתן להשתמש בשיטה זו כאשר מכפילים שני מספרים שההפרש שלהם אחיד. בכמה צעדים נוספים תוכלו להשתמש בשיטה זו גם בעת הכפלת מספרים בהפרש מוזר.
שיטה 1 מתוך 2: שימוש בהפרש ריבועים לגורמים בעלי הבדל אחיד
- 1הגדר את הנוסחה של הפרש ריבועים. ההבדל בנוסחת הריבועים קובע כי (x − y) (x + y) = x2 − y2 {\ displaystyle (xy) (x + y) = x ^ {2} -y ^ {2}} . בנוסחה, x {\ displaystyle x} = המספר השווה משני הגורמים, ו- y {\ displaystyle y} = מחצית ההפרש בין שני הגורמים.
- 2גורע גורם אחד מהשני. קבע אם ההבדל ביניהם אחיד או מוזר. אם ההבדל שלהם הוא אחיד, זה אומר שהם נמצאים במרחק שווה ממספר אחר, ואתה יכול להשתמש בשיטת ההפרש בריבועים.
- גורם הוא מספר המוכפל במספר אחר.
- אם ההבדל בין הגורמים הוא מוזר, עדיין תוכל להשתמש בשיטת הפרש הריבועים כדי לפתור, אך יהיה עליך לתפעל את הבעיה, כמתואר בשיטה 2.
- לדוגמא, אם היית מכפיל 28 × 32 {\ displaystyle 28 \ פעמים 32} , אתה יכול להשתמש בשיטת הפרש הריבועים, כי 28−32 = −4 {\ displaystyle 28-32 = -4} ו- -4 הוא מספר זוגי.
- לא משנה אם ההבדל הוא חיובי או שלילי. הפרש של -4 זהה להפרש של 4. שניהם +/- 4 שווים.
- 3חלק את ההפרש בין שני הגורמים ב- 2. חבר את המספר הזה ל- y {\ displaystyle y} בנוסחת ההפרש של הריבועים.
- לדוגמא, כבר גילית שההפרש בין 28 ל -32 הוא 4. 4 ÷ 2 = 2 {\ displaystyle 4 \ div 2 = 2} . אז מחצית ההבדל בין שני הגורמים הוא 2. אם מחברים את המספר הזה ל- y {\ displaystyle y} , הנוסחה שלך הופכת ל (x − 2) (x + 2) = x2−22 {\ displaystyle (x-2) (x +2) = x ^ {2} -2 ^ {2}} .
- 4מצא את המספר המרוחק משני הגורמים. לשם כך, קח את הגורם הגדול יותר והחסר אותו במחצית ההפרש בין שני הגורמים ( y {\ displaystyle y} בנוסחת ההפרש של הריבועים שלך).
- לדוגמא, אם הגורם הגדול יותר הוא 32 ומחצית ההפרש בין הגורמים ( y {\ displaystyle y} ) הוא 2, אז היית מוצא את המספר השווה על ידי הפחתת 2 מ 32. 32−2 = 30 {\ displaystyle 32- 2 = 30} , אז המספר השווה הוא 30.
- אתה יכול גם למצוא את המספר השווה על ידי לקיחת הגורם הקטן יותר ולהוספת מחצית ההפרש.
לדוגמה, אם המספר השווה שלך הוא 40, נוסחת ההבדל בריבועים תיראה כך. - 5חבר את המספר השווה לנוסחת ההפרש של הריבועים. לשם כך, החלף את כל ה- x {\ displaystyle x} בנוסחה במספר השווה.
- לדוגמא, אם המספר השווה שלך הוא 30, נוסחת ההבדל בריבועים שלך תיראה כך: (30−2) (30 + 2) = 302−22 {\ displaystyle (30-2) (30 + 2) = 30 ^ {2} -2 ^ {2}} .
- שים לב ש (30−2) (30 + 2) {\ displaystyle (30-2) (30 + 2)} זהה ל- (28) (32) {\ displaystyle (28) (32)} , שהיה שלך בעיה מקורית.
- 6ריבוע את שני המספרים. חבר את המשבצות האלה למשוואה. זכרו, לריבוע משהו פירושו להכפיל אותו בפני עצמו.
- לדוגמא:
302−22 {\ displaystyle 30 ^ {2} -2 ^ {2}}
= 900−4 {\ displaystyle 900-4}
- לדוגמא:
- 7השלם את החיסור. התוצאה תשווה את התשובה לבעיית הכפל המקורית שלך.
- לדוגמה, 900−4 = 896 {\ displaystyle 900-4 = 896} , אז 28 × 32 = 896 {\ displaystyle 28 \ פעמים 32 = 896} .
- 8בדוק את עבודתך. אתה יכול לאמת את התשובה שלך באמצעות מחשבון, או על ידי פתרון באמצעות אלגוריתם הכפל הסטנדרטי.
שיטה 2 מתוך 2: שימוש בהפרש ריבועים לגורמים עם הבדל מוזר
- 1הגדר את הנוסחה של הפרש ריבועים. ההבדל בנוסחת הריבועים קובע כי (x − y) (x + y) = x2 − y2 {\ displaystyle (xy) (x + y) = x ^ {2} -y ^ {2}} . בנוסחה, x {\ displaystyle x} = המספר השווה משני הגורמים, ו- y {\ displaystyle y} = מחצית ההפרש בין שני הגורמים.
- 2מצא את ההבדל בין שני הגורמים המוכפלים. אם הגורמים אינם שווים ממספר אחר (כלומר, ההבדל הוא אי זוגי), עליך לבצע את ההוראות הבאות כדי לתפעל את שיטת ההפרש בריבועים.
- גורם הוא מספר המוכפל במספר אחר.
- לדוגמא, אם היית מכפיל 35 × 46 {\ displaystyle 35 \ פעמים 46} , יהיה עליך לתפעל את שיטת ההפרש בריבועים מכיוון ש- 35−46 = −11 {\ displaystyle 35-46 = -11} , ו- - 11 הוא מספר אי זוגי.
- אם ההבדל בין הגורמים הוא אחיד, השתמש בקיצור הדרך המתואר בשיטה 1.
לדוגמה, אם הגורם הגדול יותר הוא 45, ומחצית ההפרש בין הגורמים () הוא 5, אז היית מוצא את המספר השווה על ידי חיסור 5 מ- 45. - 3גרע 1 משני הגורמים. חיסור 1 ייתן לך שני גורמים שווים ממספר אחר, או שני מספרים שההפרש שלהם אחיד. תשתמש בגורם מניפולציה זה כדי לעקוב אחר שיטת ההבדל בריבועים.
- אל תגרע 1 משני הגורמים. גורע רק 1 מגורם אחד. לא משנה איזה מהם.
- לדוגמה, עבור 35 × 46 {\ displaystyle 35 \ פעמים 46} אתה יכול לחסר 46−1 = 45 {\ displaystyle 46-1 = 45} , כך שבעיית הכפל שלך הופכת ל 35 × 45 {\ displaystyle 35 \ פעמים 45} .
- 4גורע גורם אחד מהשני. ודא שאתה משתמש בגורם המנוהל. ההבדל אמור להיות שווה.
- לדוגמא, אם הבעיה החדשה שלך, עם הגורם המנוצל, היא 35 × 45 {\ displaystyle 35 \ times 45} , ההבדל בין הגורמים הוא 10, מכיוון ש- 35−45 = −10 {\ displaystyle 35-45 = -10} .
- לא משנה אם ההבדל הוא חיובי או שלילי. ההפרש של -10 זהה להפרש של 10. שניהם +/- 10 שווים.
- 5חלק את ההפרש בין שני הגורמים ב- 2. חבר את המספר הזה ל- y {\ displaystyle y} בנוסחת ההפרש של הריבועים.
- שוב, וודא שאתה משתמש בגורם המניפולטיבי.
- לדוגמא, כבר גילית שההפרש בין 35 ל 45 הוא 10. 10 ÷ 2 = 5 {\ displaystyle 10 \ div 2 = 5} . אז חצי מההבדל בין שני הגורמים הוא 5. אם מחברים את המספר הזה ל- y {\ displaystyle y} , הנוסחה שלך הופכת ל (x − 5) (x + 5) = x2−52 {\ displaystyle (x-5) (x +5) = x ^ {2} -5 ^ {2}}
- 6מצא את המספר המרוחק משני הגורמים. לשם כך, קח את הגורם הגדול יותר, וחסר אותו במחצית ההפרש בין שני הגורמים ( y {\ displaystyle y} בנוסחת ההפרש של הריבועים שלך).
- לדוגמא, אם הגורם הגדול יותר הוא 45 ומחצית ההפרש בין הגורמים ( y {\ displaystyle y} ) הוא 5, אז היית מוצא את המספר השווה על ידי חיסור 5 מ- 45. 45−5 = 40 {\ displaystyle 45- 5 = 40} , אז המספר השווה הוא 40.
- אתה יכול גם למצוא את המספר השווה על ידי לקיחת הגורם הקטן יותר ולהוספת מחצית ההפרש.
- 7חבר את המספר השווה לנוסחת ההפרש של הריבועים. לשם כך, החלף את כל ה- x {\ displaystyle x} בנוסחה במספר השווה.
- לדוגמא, אם המספר השווה שלך הוא 40, נוסחת ההבדל בריבועים שלך תיראה כך: (40−5) (40 + 5) = 402−52 {\ displaystyle (40-5) (40 + 5) = 40 ^ {2} -5 ^ {2}} .
- שימו לב ש (40−5) (40 + 5) {\ displaystyle (40-5) (40 + 5)} זהה ל- (35) (45) {\ displaystyle (35) (45)} , בעיית הכפל נוצר לאחר מניפולציה על אחד הגורמים.
- 8ריבוע את שני המספרים. חבר את המשבצות האלה למשוואה. זכרו, לריבוע משהו פירושו להכפיל אותו בפני עצמו.
- לדוגמא:
402−52 {\ displaystyle 40 ^ {2} -5 ^ {2}}
= 1600−25 {\ displaystyle 1600-25}
לדוגמא, אם הגורם הגדול יותר הוא 32, ומחצית ההפרש בין הגורמים () הוא 2, אז היית מוצא את המספר השווה על ידי הפחתת 2 מ- 32. - לדוגמא:
- 9השלם את החיסור. התוצאה תשווה את התשובה לבעיית הכפל עם הגורם המניפולטיבי.
- לדוגמה, 1600−25 = 1575 {\ displaystyle 1600-25 = 1575} , אז 35 × 45 = 1575 {\ displaystyle 35 \ פעמים 45 = 1575} .
- 10הוסף את הערך החסר לתשובה. זכור, היית צריך לשנות את הבעיה הראשונית כדי לגרום להבדל בשיטת הריבועים לעבוד. כדי למצוא את התשובה לבעיה המקורית, עליך להוסיף בחזרה את הערך שהחסרת מבעיית הכפל המקורית.
- אתה לא מוסיף 1 לבעיה. כשחיסרת 1, באמת חיסרת קבוצה אחת, מכיוון שאתה עובד עם כפל.
- לדוגמא, אם הבעיה המקורית הייתה 35 × 46 {\ displaystyle 35 \ פעמים 46} , זה אומר שניסית למצוא את הערך של 46 שלושים וחמש. כאשר גרעת 1, הפחתת קבוצה אחת של שלושים וחמש, או 35. עכשיו עליך להוסיף את הקבוצה חזרה פנימה. מאז 1575 + 35 = 1610 {\ displaystyle 1575 + 35 = 1610} , אתה יודע עכשיו ש 35 × 46 = 1610 {\ displaystyle 35 \ פעמים 46 = 1610} .
- 11בדוק את עבודתך. אתה יכול לאמת את התשובה שלך באמצעות מחשבון, או על ידי פתרון באמצעות אלגוריתם הכפל הסטנדרטי.
שאלות ותשובות
- מספר גדול פי 8 ממספר אחר. כיצד אוכל לחשב את המספרים אם ההפרש הוא 42?תן למספר הקטן יותר להיות x. ואז המספר הגדול יותר הוא 8x. 8x - x = 7x = 42. אז x = 6 ו- 8x = 48.
