כיצד לכתוב פונקציה מעריכית בהתחשב בקצב ובערך התחלתי?
כדי לכתוב פונקציה מעריכית בהתחשב בשיעור ובערך התחלתי, התחל בקביעת הערך ההתחלתי ושיעור הריבית. לדוגמא אם נפתח חשבון בנק עם 750 אירו בריבית שנתית של 3%, הערך הראשוני הוא 1000 והשיעור הוא 0,03. לאחר מכן, כתוב מחדש את משתנה הזמן של t / h כ- t / 12, מכיוון שהכסף גדל ב -3% כל 12 חודשים. לבסוף, חבר את הערכים וכתב את הפונקציה האקספוננציאלית שלך כ- f (t) = 1000 (1,03) t / 12. למידע נוסף, כולל כיצד למצוא את קצב הצמיחה הרציף מפונקציה מעריכית, גלול מטה.
הצורה למשוואה מעריכית היא f (t) = aekt כאשר a הוא הערך ההתחלתי, e הוא הבסיס, k הוא קצב הצמיחה הרציף, ו- t הוא משתנה הזמן.
פונקציות אקספוננציאליות יכולות לדגמן את קצב השינוי במצבים רבים, כולל גידול אוכלוסין, ריקבון רדיואקטיבי, גידול חיידקים, ריבית מורכבת ועוד. בצע את הצעדים הבאים כדי לכתוב משוואה אקספוננציאלית אם אתה יודע את קצב הצמיחה או הפירוק של הפונקציה ואת הערך הראשוני של הקבוצה.
שיטה 1 מתוך 2: שימוש בשיעור כבסיס
- 1שקול דוגמה. נניח שחשבון בנק מתחיל בהפקדה של 750 אירו ושיעור הריבית הוא 3% מורכב מדי שנה. מצא משוואה אקספוננציאלית המודל את הפונקציה הזו.
- 2דע את הצורה הבסיסית. הטופס למשוואה מעריכית הוא f (t) = P 0 (1 + r) t / h כאשר P 0 הוא הערך ההתחלתי, t הוא משתנה הזמן, r הוא הקצב ו- h הוא המספר הדרוש כדי להבטיח את היחידות של לא תואמים לשיעור.
- 3חבר את הערך ההתחלתי עבור P ואת השיעור עבור r. יהיה לך f (t) = 1000 (1,03) t / h.
- 4מצא את ח. חשוב על המשוואה שלך. בכל שנה הכסף עולה ב -3%, כך שכל 12 חודשים הכסף עולה ב -3%. מכיוון שאתה צריך לתת t בחודשים, עליך לחלק את t ל- 12, אז h = 12. המשוואה שלך היא f (t) = 1000 (1,03) t / 12. אם היחידות זהות לקצב ולמדרגות t, h הוא תמיד 1.
שיטה 2 מתוך 2: שימוש בבסיס "e"
- 1להבין מהו e. כאשר אתה משתמש בערך e כבסיס, אתה משתמש ב"בסיס הטבעי ". השימוש בבסיס הטבעי מאפשר לך למשוך את קצב הצמיחה הרציף ישירות מהמשוואה.
- 2שקול דוגמה. נניח שלמדגם של 500 גרם של איזוטופ של פחמן יש מחצית חיים של 50 שנה (מחצית החיים היא פרק הזמן של חומר להתפורר ב -50%).
- 3דע את הצורה הבסיסית. הצורה למשוואה אקספוננציאלית היא f (t) = ae kt כאשר a הוא הערך ההתחלתי, e הוא הבסיס, k הוא קצב הצמיחה הרציף, ו- t הוא משתנה הזמן.
- 4חבר את הערך ההתחלתי. הערך היחיד שקיבלת שאתה זקוק למשוואה הוא קצב הצמיחה הראשוני. אז חבר אותו כדי ש- f (t) = 500e kt יקבל
- 5מצא את קצב הצמיחה הרציף. קצב הצמיחה הרציף הוא כמה מהר הגרף משתנה ברגע מסוים. אתה יודע שבעוד 50 שנה הדגימה תתפורר ל -250 גרם. זה יכול להיחשב כנקודה בגרף שתוכל לחבר. אז t הוא 50. חבר אותו כדי לקבל f (50) = 500e 50k. אתה גם יודע ש f (50) = 250, אז החלף 250 f (50) בצד שמאל כדי להשיג את המשוואה האקספוננציאלית 250 = 500e 50k. עכשיו כדי לפתור את המשוואה, ראשית חלק את שני הצדדים ב- 500 כדי לקבל: 0,5 = e 50k. ואז קח את הלוגריתם הטבעי של שני הצדדים כדי להשיג: ln (0,5) = ln (e 50k. השתמש בתכונות של לוגריתמים כדי להוציא את האקספוננט מהטיעון של היומן הטבעי והכפל אותו ביומן. התוצאה היא ln (0,5) = 50k (ln (e)). נזכיר כי ln הוא אותו דבר כמו יומן e וכי המאפיינים של לוגריתמים אומרים שאם הבסיס והטיעון של הלוגריתם זהים, הערך הוא 1. לכן ln (e) = 1. אז המשוואה מפשטת ל- ln (0,5) = 50k, ואם מחלקים ב- 50, אתה לומד ש- k = (ln (0,5)) / 50. השתמש במחשבון שלך כדי למצוא את הקירוב העשרוני של k להיות בערך - 0,01386. שימו לב שערך זה הוא שלילי. אם קצב הצמיחה הרציף הוא שלילי, יש לך ריקבון מעריכי, אם הוא חיובי, יש לך צמיחה מעריכית.
- 6חבר את ערך k. המשוואה שלך היא 500e - 0,01386 ט.
הערך היחיד שקיבלת שאתה זקוק למשוואה הוא קצב הצמיחה הראשוני.
- כדאי לאחסן את ערך k שלך במחשבון שלך כדי שתוכל לחשב את הערכים שלך במדויק יותר מאשר בקירוב עשרוני. X הוא משתנה נגיש לשימוש, מכיוון שאינך צריך ללחוץ על "אלפא" כדי להגיע אליו, אך אם ברצונך לשרטט את המשוואה, הקפד להשתמש במשתנה שמוגדר כקבוע או שתכניס משתנים נוספים.
- תלמד במהירות מתי להשתמש בכל שיטה. בדרך כלל, בעיות קלות יותר בשיטה הראשונה, אך ישנם מקרים שבהם אתה יודע ששימוש בבסיס הטבעי יקל על החישובים שלך בהמשך.
שאלות ותשובות
- אתה יכול לעזור לי לפתור את הבעיה הזו? "המחיר החציוני P של בית עלה מ 74600 € בשנת 1990 ל 261000 € בשנת 2010 לא יכול להיות מספר שנים מאז 1990 למצוא משוואה בצורה P = P0a ^ t"אתה יודע שכאשר t = 0, המחיר, P, הוא 74600 € אז P0 חייב להיות 100000. עכשיו השתמש בנקודת הנתונים השנייה, כאשר t = 20. 350000 = 100000xa ^ 20 (חלקו ב- 100000) 3,5 = a ^ 20 (לוקח את השורש ה -20) a = 3,5 ^ (0,50) = 1,0646 שניתן לפרש כעלייה ממוצעת של 6,46% לשנה.
שאלות ללא מענה
- כיצד אוכל למצוא קצב צמיחה בעיר?
