כיצד למצוא את הערך המקסימלי או המינימלי של פונקציה ריבועית בקלות?

לבסוף, חבר את ערך x לפונקציה כדי למצוא את הערך של f (x), שהוא הערך המינימלי או המקסימלי של הפונקציה.

מסיבות שונות, ייתכן שיהיה עליך להגדיר את הערך המקסימלי או המינימלי של פונקציה ריבועית שנבחרה. תוכל למצוא את המקסימום או המינימום אם הפונקציה המקורית שלך נכתבת בצורה כללית, $F (x) = ax ^ {2} + bx + c$ , או בצורה סטנדרטית, $F (x) = a (xh) ^ {2} + k$ . לבסוף, ייתכן שתרצה להשתמש בחשבון בסיסי כלשהו כדי להגדיר את המקסימום או המינימום של כל פונקציה ריבועית.

שיטה 1 מתוך 3: החל מהצורה הכללית של הפונקציה

1
הגדר את הפונקציה בצורה כללית. פונקציה ריבועית היא פונקציה שיש לה מונח x2 {\ displaystyle x ^ {2}} $X ^ {2}$ . יתכן שהוא מכיל מונח x {\ displaystyle x} או $איקס$ לא, ללא אקספוננט. לא יהיו מעריצים גדולים מ- 2. הצורה הכללית היא f (x) = ax2 + bx + c {\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c} $F (x) = ax ^ {2} + bx + c$ . במידת הצורך, שלבו מונחים דומים וסידרו מחדש כדי להגדיר את הפונקציה בצורה כללית זו.
- לדוגמה, נניח שתתחיל עם f (x) = 3x + 2x − x2 + 3x2 + 4 {\ displaystyle f (x) = 3x + 2x-x ^ {2} + 3x ^ {2} +4} $F (x) = 3x + 2x-x ^ {2} + 3x ^ {2} +4$ . שלב את המונחים x2 {\ displaystyle x ^ {2}} $X ^ {2}$ ואת המונחים x {\ displaystyle x} $איקס$ כדי לקבל את הדברים הבאים בצורה כללית:
  - $F (x) = 2x ^ {2} + 5x + 4$
2
קבע את כיוון הגרף. פונקציה ריבועית תוצאות על הגרף של פרבולה. הפרבולה נפתחת כלפי מעלה או מטה. אם המונח {\ displaystyle a} $א$ , המקדם של המונח x2 {\ displaystyle x ^ {2}} $X ^ {2}$ , חיובי, הפרבולה נפתחת כלפי מעלה. אם {\ displaystyle a} $א$ שלילי, הפרבולה נפתחת כלפי מטה. עיין בדוגמאות הבאות:
- עבור $F (x) = 2x ^ {2} + 4x-6$ , $A = 2$ כך שהפרבולה נפתחת כלפי מעלה.
- עבור $F (x) = - 3x ^ {2} + 2x + 8$ , $A = -3$ כך שהפרבולה נפתחת כלפי מטה.
- עבור $F (x) = x ^ {2} +6$ , $A = 1$ כך שהפרבולה נפתחת כלפי מעלה.
- אם הפרבולה נפתחת כלפי מעלה, תמצא את הערך המינימלי שלה. אם הפרבולה נפתחת כלפי מטה, תמצא את הערך המרבי שלה.
3
חשב -b / 2a. הערך של −b2a {\ displaystyle - {\ frac {b} {2a}}} $- {\ frac {b} {2a}}$ אומר לך את הערך x {\ displaystyle x} $איקס$ של קודקוד הפרבולה. כאשר הפונקציה הריבועית נכתבת בצורה הכללית של ax2 + bx + c {\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c} $גרזן ^ {2} + bx + c$ , השתמש במקדמי x {\ displaystyle x} $איקס$ ו- x2 {\ displaystyle x ^ {2 }} $X ^ {2}$ במונחים כדלקמן:
- לפונקציה f (x) = x2 + 10x − 1 {\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 10x-1} $F (x) = x ^ {2} + 10x-1$ , a = 1 {\ displaystyle a = 1} $A = 1$ ו- b = 10 {\ displaystyle b = 10} $B = 10$ . לכן, מצא את ערך ה- x של קודקוד כ:
  - $X = - {\ frac {b} {2a}}$
  - $X = - {\ frac {10} {(2) (1)}}$
  - $X = - {\ frac {10} {2}}$
  - $X = -5$
- כדוגמה שנייה, שקול את הפונקציה f (x) = - 3x2 + 6x − 4 {\ displaystyle f (x) = - 3x ^ {2} + 6x-4} $F (x) = - 3x ^ {2} + 6x-4$ . בדוגמה זו, a = −3 {\ displaystyle a = -3} $A = -3$ ו- b = 6 {\ displaystyle b = 6} $B = 6$ . לכן, מצא את ערך ה- x של קודקוד כ:
  - $X = - {\ frac {b} {2a}}$
  - $X = - {\ frac {6} {(2) (- 3)}}$
  - $X = - {\ frac {6} {- 6}}$
  - $X = - (- 1)$
  - $X = 1$
הערך המינימלי או המקסימלי של הפונקציה יהיה הערך עבור במיקום שנבחר.
4
מצא את הערך f (x) המתאים. הכנס לפונקציה את הערך של x שזה עתה חישבת כדי למצוא את הערך המקביל של f (x). זה יהיה המינימום או המקסימום של הפונקציה.
- לדוגמא הראשונה שלמעלה, f (x) = x2 + 10x − 1 {\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 10x-1} $F (x) = x ^ {2} + 10x-1$ , חישבת את ערך ה- x עבור קודקוד להיות x = −5 {\ displaystyle x = -5} $X = -5$ . הזן −5 {\ displaystyle -5} $-5$ במקום x {\ displaystyle x} $איקס$ בפונקציה כדי למצוא את הערך המרבי:
  - $F (x) = x ^ {2} + 10x-1$
  - ${\ displaystyle f (-5) = (- 5) ^ {2} +10 (-5) -1}$
  - ${\ displaystyle f (-5) = 25-50-1}$
  - ${\ displaystyle f (-5) = - 26}$
- לדוגמא השנייה לעיל, f (x) = - 3x2 + 6x − 4 {\ displaystyle f (x) = - 3x ^ {2} + 6x-4} $F (x) = - 3x ^ {2} + 6x-4$ , גיליתם שהקודקוד יהיה ב- x = 1 {\ displaystyle x = 1} $X = 1$ . הכנס 1 {\ displaystyle 1} $1$ במקום x {\ displaystyle x} $איקס$ לפונקציה כדי למצוא את הערך המרבי:
  - $F (x) = - 3x ^ {2} + 6x-4$
  - ${\ displaystyle f (1) = - 3 (1) ^ {2} +6 (1) -4}$
  - ${\ displaystyle f (1) = - 3 + 6-4}$
  - $F (1) = - 1$
5
דווח על התוצאות שלך. עיין בשאלה שנשאלת. אם מבקשים ממך את הקואורדינטות של קודקוד, עליך לדווח על הערכים x {\ displaystyle x} $איקס$ ו- y {\ displaystyle y} $י$ (או f (x) {\ displaystyle f (x)} $F (x)$ ). אם מבקשים ממך רק את המקסימום או המינימום, עליך לדווח רק על הערך y {\ displaystyle y} $י$ (או f (x) {\ displaystyle f (x)} $F (x)$ ). חזור לערך של מקדם {\ displaystyle a} $א$ כדי להיות בטוח אם יש לך מקסימום או מינימום.
- לדוגמא הראשונה, $F (x) = x ^ {2} + 10x-1$ , הערך של $א$ הוא חיובי, כך שתהיה דיווח על הערך המינימלי. הקודקוד הוא ב- $(-5, -26)$ , והערך המינימלי הוא $-26$ .
- לדוגמא השנייה, $F (x) = - 3x ^ {2} + 6x-4$ , הערך של $א$ הוא שלילי, אז אתה יהיה דיווח הערך המקסימאלי. הקודקוד הוא ב $(1, -1)$ , והערך המרבי הוא $-1$ .

שיטה 2 מתוך 3: שימוש בצורה סטנדרטית או קודקוד

1
כתוב את הפונקציה הריבועית שלך בצורה רגילה או קודקוד. הצורה הסטנדרטית של פונקציה ריבועית כללית, שיכולה להיקרא גם צורת קודקוד, נראית כך:
- $F (x) = a (xh) ^ {2} + k$
- אם הפונקציה שלך כבר ניתנה לך בצורה זו, עליך רק לזהות את המשתנים $א$ , $ה$ ו- $ק$ . אם הפונקציה שלך מתחילה בצורה כללית $F (x) = ax ^ {2} + bx + c$ , יהיה עליך להשלים את הריבוע כדי לכתוב אותו מחדש בצורת קודקוד..
- לסקירת אופן השלמת הריבוע, ראה השלמת הריבוע.
2
קבע את כיוון הגרף. בדיוק כמו בפונקציה ריבועית שנכתבה בצורתה הכללית, תוכלו לדעת את כיוון הפרבולה על ידי התבוננות במקדם a {\ displaystyle a} $א$ . אם {\ displaystyle a} $א$ בצורה סטנדרטית זו חיובי, הפרבולה נפתחת כלפי מעלה. אם {\ displaystyle a} $א$ שלילי, הפרבולה נפתחת כלפי מטה. עיין בדוגמאות הבאות:
- עבור $F (x) = 2 (x + 1) ^ {2} -4$ , $A = 2$ , שהוא חיובי, כך שהפרבולה נפתחת כלפי מעלה.
- עבור $F (x) = - 3 (x-2) ^ {2} +2$ , $A = -3$ , שהוא שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה.
- אם הפרבולה נפתחת כלפי מעלה, תמצא את הערך המינימלי שלה. אם הפרבולה נפתחת כלפי מטה, תמצא את הערך המרבי שלה.
3
זהה את הערך המינימלי או המקסימלי. כאשר הפונקציה נכתבת בצורה סטנדרטית, מציאת הערך המינימלי או המקסימלי היא פשוטה כמו ציון הערך של המשתנה k {\ displaystyle k} $ק$ . עבור שתי הפונקציות לדוגמא שהובאו לעיל, ערכים אלה הם:
- עבור $F (x) = 2 (x + 1) ^ {2} -4$ , $K = -4$ . זהו הערך המינימלי של הפונקציה מכיוון שפרבולה זו נפתחת כלפי מעלה.
- עבור $F (x) = - 3 (x-2) ^ {2} +2$ , $K = 2$ . זהו הערך המרבי של הפונקציה, מכיוון שפרבולה זו נפתחת כלפי מטה.
מסיבות שונות, ייתכן שיהיה עליך להגדיר את הערך המרבי או המינימלי של פונקציה ריבועית שנבחרה.
4
מצא את קודקוד. אם מבקשים ממך את הקואורדינטות של הערך המינימלי או המרבי, הנקודה תהיה (h, k) {\ displaystyle (h, k)} $(h, k)$ . שים לב, עם זאת, בצורה הסטנדרטית של המשוואה, המונח בסוגריים הוא (x − h) {\ displaystyle (xh)} $(xh)$ , אז אתה צריך את הסימן ההפוך של המספר העוקב אחרי x {\ displaystyle x} $איקס$ .
- עבור $F (x) = 2 (x + 1) ^ {2} -4$ , המונח בסוגריים הוא (x + 1), שהוא ניתן לשכתב כ (x - (- 1)). לפיכך, $H = -1$ . לכן, הקואורדינטות של קודקוד לפונקציה זו הן $(-1, -4)$ .
- עבור $F (x) = - 3 (x-2) ^ {2} +2$ , המונח בסוגריים הוא (x-2). לכן, $H = 2$ . הקואורדינטות של הקודקוד הן (2, 2).

שיטה 3 מתוך 3: שימוש בחשבון כדי להפיק את המינימום או המקסימום

1
התחל עם הטופס הכללי. כתוב את הפונקציה הריבועית שלך בצורה כללית, f (x) = ax2 + bx + c {\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c} $F (x) = ax ^ {2} + bx + c$ . במידת הצורך, ייתכן שיהיה עליך לשלב מונחים דומים ולארגן מחדש כדי לקבל את הטופס המתאים.
- התחל עם פונקציית הדוגמה $F (x) = 2x ^ {2} -4x + 1$ .
2
השתמש בכלל הכוח כדי למצוא את הנגזרת הראשונה. באמצעות חשבון בסיסי לשנה ראשונה, תוכל למצוא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה הריבועית הכללית להיות f '(x) = 2ax + b {\ displaystyle f ^ {\ prime} (x) = 2ax + b} $F ^ {{\ prime}} (x) = 2ax + b$ .
- לפונקציה לדוגמה f (x) = 2x2−4x + 1 {\ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} -4x + 1} $F (x) = 2x ^ {2} -4x + 1$ , מצא את הנגזרת כ:
  - $F ^ {{\ prime}} (x) = 4x-4$
3
הגדר את הנגזרת שווה לאפס. זכור שנגזרת של פונקציה אומרת לך את שיפוע הפונקציה בנקודה שנבחרה. המינימום או המקסימום של פונקציה מתרחשים כאשר השיפוע הוא אפס. לכן, כדי למצוא היכן המינימום או המקסימום מתרחשים, הגדר את הנגזרת שווה לאפס. המשך בבעיית הדוגמה מלמעלה:
- $F ^ {{\ prime}} (x) = 4x-4$
- $0 = 4x-4$
4
לפתור x. השתמש בכללים בסיסיים של אלגברה כדי לסדר מחדש את הפונקציה ולפתור את הערך עבור x, כאשר הנגזרת שווה לאפס. פתרון זה יגיד לך את קואורדינטת ה- x של קודקוד הפונקציה, שם יתרחש המקסימום או המינימום.
- $0 = 4x-4$
- $4 = פי 4$
- $1 = x$
כדי למצוא את הערך המקסימלי או המינימלי של פונקציה ריבועית, התחל עם הצורה הכללית של הפונקציה ושלב כל מונח דומה.
5
הכנס את הערך הפתור של x לפונקציה המקורית. הערך המינימלי או המקסימלי של הפונקציה יהיה הערך עבור f (x) {\ displaystyle f (x)} $F (x)$ במיקום x {\ displaystyle x} $איקס$ שנבחר. הכנס את הערך של x {\ displaystyle x} $איקס$ לפונקציה המקורית ופתור כדי למצוא את המינימום או המקסימום.
- לפונקציה f (x) = 2x2−4x + 1 {\ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} -4x + 1} $F (x) = 2x ^ {2} -4x + 1$ ב- x = 1 {\ displaystyle x = 1} $X = 1$ ,
  - $F (1) = 2 (1) ^ {2} -4 (1) +1$
  - $F (1) = 2-4 + 1$
  - $F (1) = - 1$
6

דווח על הפתרון שלך. הפתרון נותן לך את קודקוד הנקודה המקסימלית או המינימלית. עבור פונקציית דוגמה זו, $F (x) = 2x ^ {2} -4x + 1$ , קודקודו מופיע ב $(1, -1)$ . המקדם $א$ חיובי, ולכן הפונקציה נפתחת כלפי מעלה. לכן, הערך המינימלי של הפונקציה הוא קואורדינטת y של קודקוד, שהוא $-1$ .