איך לגלות pi בעצמך באמצעות מעגלים?
כיצד אוכל לאמת את הערך של pi באמצעות עיגולים בקטרים שונים?
כיצד התגלה קבוע המתמטיקה שנקרא "פי" - והיית יכול לגלות אותו? ובכן, כן, עם קצת עבודה צמודה, תוכלו לחשוף את הרעיון והמקור החכם של המושג, כמו גם לקבל את המשמעות המופשטת שלו כבר לא ולמצוא ערך משוער. זה עטוף בכל מעגל וכדור - אבל איפה ואיך יכולתם לדמיין את זה באופי המעגלים? המשך לקרוא לקבלת הוראות מפורטות לקפיצה לתגליות במתמטיקה.
שיטה 1 מתוך 4: שימוש בגיאומטריה הבסיסית של המעגל במישור
- 1התחל לרענן את הבנתך את הגיאומטריה של המעגל במישור. אתה יודע הרבה על הנקודה, המישור והמרחב, והם אפילו לא מוגדרים בחקר הגיאומטריה, אך הם מתוארים כמשמשים אותם.
- מהו מעגל? המידע הבא צריך להוות חלק מההבנה (הבסיסית) שלך של דברים לגבי מעגלים, אך אפשר ללמוד הרבה יותר תוך כדי.
- מרחק שווה - קיצור של "מרחק שווה"
- מעגל - כל הנקודות במרחק שווה, מהמרכז (נקודת מרכז).
- העובדות הבאות מתייחסות אך הם לא חלק מהמעגל:
- מרכז - הנקודה שווה מרחק מכל נקודה במעגל,
- רדיוס - הקטע (שם האורך) בין נקודת קצה אחת במרכז לקצה השני במעגל (זה אותו "מרחק שווה" שהוזכר),
- קוטר - הקטע (שם האורך) דרך המרכז ובין שתי נקודות הקצה שלו על המעגל,
- קטע, שטח, מגזר וצורות כלולות או רשומות בתוך המעגל, אך לא חלקן
- היקף - המרחק פעם אחת סביב המעגל.
- כן, המילה הזו ארוכה ומשונה; לכן, חשוב על "המרחק סביב הגדר המעגלית."
שיטה 2 מתוך 4: יצירת נוסחה
- 1גלו שלך היקף הנוסחה: קוטר יכול להיות עקום והניח מקצה לקצה סביב המעגל, כשלוש פעמים - כלומר: שלושה ד iameters בתוספת חלק קטן בקוטר = C ircumference. בואו נקרא לזה C = 3 X d, בערך. בוצע (זה היה קל מדי...), בדיוק כמו שהייתם צריכים לעשות במקור כשגיליתם היקף לפני כ 3000 או 4000 שנה; עכשיו תנקה את הרעיון הזה... בימי קדם, המתמטיקה הייתה כמו מחקר מיסטי וה"גילוי "שלך היה חלק מהביטוי של תעלומות מתמטיות.
- 2ספגו את הרעיון הגס והאינטואיטיבי הזה של פי, בערך 3, והבינו שמדגים בקלות שהוא לא בדיוק שלושה. עכשיו תוכלו לעשות את זה יותר מדויק.
נוסחה: היקף = pi X קוטר.
שיטה 3 מתוך 4: גילוי pi יותר מדויק
- 1מספר ארבעה גדלים שונים של מיכלים או מכסים עגולים. כדור הארץ או כדור (כדור) יכולים לעבוד גם, אך קשה יותר למדוד אותם.
- 2קבל מחרוזת לא נמתחת ולא קינקית ומקל מטר, מטר או סרגל.
- 3הכינו תרשים (או טבלה) כמו הבא: היקף | קוטר | המנה C / d =?
- _____ | ____ | _________
- _____ | ____ | _________
- _____ | ____ | _________
- _____ | ____ | _________
- 4מדוד במדויק סביב כל אחד מארבעת הפריטים המעגליים על ידי גלישת חוט סביבו. סמן על המחרוזת את המרחק פעם אחת סביבו. זה ההיקף: זה בדיוק כמו היקף, אבל, היקף של מעגל - המרחק סביב מעגל - נקרא היקף, לא היקף, בדרך כלל.
- 5יישר ומדד את חלק המיתר שסימנת כמרחק סביב המעגל. רשום את מדידת ההיקף שלך באמצעות עשרונים. הצמידו או הדביקו את קצות המיתר למדידה מדויקת (ישרים ומורחבים עד למידתם), מכיוון שהייתם צריכים להדק את החוט סביב האובייקט המעגלי, אז עכשיו הייתם מהדקים אותו לאורך.
- 6הפוך את המיכל הפוך כדי שתוכל למצוא ולסמן את המרכז בתחתית כך שתוכל למדוד את הקוטר בעזרת עשרוניות (נקראות גם שברים עשרוניים).
- 7מדוד על פני כל עיגול בדיוק דרך מרכז כל אחד מארבעת הפריטים בעזרת מידת קצה ישרה (מקל מטר, מטר או סרגל). זה הקוטר.
- הערה: הכפלת רדיוס פי שניים, קרי: "רדיוס 2 X = קוטר" נכתב גם כ- "2r = d".
- 8חלקו כל היקף בקוטר אותו המעגל. ארבע בעיות החלוקה של C / d = ___, צריכות להיות בערך 3 או 3,1 (או כ -3,14 אם המידות שלך מדויקות); אז מה זה pi: זה מספר. זה יחס. זה מתייחס לקוטר להיקף. כמובן, שימוש במדידות מדויקות באמצעות מחיצות, הדומות למצפן יכול לעזור.
- 9ממוצע של ארבע התשובות לבעיית החלוקה על ידי הוספת ארבעת המרכיבים הללו וחלקם על ידי 4, וזה אמור לתת תוצאה מדויקת יותר (למשל, אם ארבע החלוקות שלך נתנו לך: 3,1 + 3,15 + 3,1 + 3, 2 = __ / 4 = __? זה 12,55 / 4 = 3,1375, וניתן לעגל אותו ל 3,14).
זה הרעיון של "פי". מספר הקוטרים שעושה את ההיקף (כל הזמן, כך שהוא קבוע)... זהו ה"פי "הקבוע. מספר הקוטרים הזה.- כמו כן, הרדיוס יתאים מעט יותר מ- 6 (פי פי פי) סביב מעגל, כמו גם לדעת שהקוטר הולך שלוש פעמים; אז זה מרמז על נוסחת היקף C = 2 X 3,14 X r, שהיא רק = 3,14 X d... על ידי שימוש ב- 2r הוא d ("הבנתי", הנהן כן. "כן!" אבל, קרא וחשוב על זה שוב עד שהוא ממש ספוג פנימה, אם זה עדיין לא צלול).
- 10לבסוף, קח את חוט הקוטר והשתמש בו כדי לחתוך את אורכו ממחרוזת ההיקף שלוש פעמים. עשו זאת לכל אחד מהמכולות. פיסת החוט שנותרה מכל אחד מחיתוכי מיתרי ההיקף תהיה באותו אורך. אורך המדידה של קטע קצר זה של מחרוזת צריך להיות 0,1415 וזה רק דוגמא מקבל 3,14 כ...
שיטה 4 מתוך 4: שימוש ברמזים למורים
- 1עזור לתלמידים ליהנות באמת מתרגיל זה. זה יכול להיות רגע מופעל נהדר, אחד מאותם רגעים שהם מרגישים כמו: "אני מבין את זה! וואו!", "אני אוהב מתמטיקה יותר מתמיד / יותר ממה שחשבתי". התייחס לזה כאל ניסוי מדעי, כאל מטלה חוצת-תכנית "מתמטיקה / מדעית".
- 2איפור דף מטלות מסתורי לשיעור או לפרויקט חיצוני, אם אתה מורה או מורה.
- 3רמז קצת. "הראה להם, או לתת להם להראות לך, אבל אל לא לספר להם! תנו להם לגלות דברים." אם זו מסירה, התוצאה קלה מדי בשביל מה שמראה הכל. אז במקום זאת, עשה זאת כך שתלמידים יוכלו לגלות זאת כמסתורין ולקבל "חוויית יוריקה!...", ולא רק לשמוע או לקרוא על ניסוי.
- לא היית רוצה לעבור דרך מצגת קריאה או הרצאה כמו כאן, אלא להיות עדין בהתחלה - להוביל, להקל, ואז להבהיר זאת לאחר שגרם לתלמידים להציג את התרשימים שלהם ככרזות של מה שגילו - בדרכם! התלמידים יכולים לפרסם את המצגות שלהם על קיר מתמטיקה ולהיות גאים בזריזותם, בפיקחותם, בעבודתם!
- 4השתמש בזה כפרויקט נהדר בכיתה (הוראה צולבת) "אמנות-מתמטיקה-אמנות" - או כדי שהתלמידים שלך ייקחו הביתה כפרויקט לקבלת קרדיט נוסף מחוץ לשיעור המתמטיקה. ואחרי שתיישם את זה, אולי תרצה לחקור ולהוביל להיות מורה נהדר.
כן, ההגדרה של pi היא היקף כל מעגל חלקי בקוטר המעגל האמור.
- (אגב: הקשת על מעגל שאורכו של הרדיוס מכונה "ראד". זהו קבוע המשמש בטריגונומטריה ובחשבון.)
- השבר הקטן הזה יותר מפי 3 מהקוטר שישתלב סביב המעגל הוא בערך 0,14 בקוטר = בערך 0,14, ו- 3 X (1) = 20,14 וכי פלוס 0,14 הוא 20,29 = 3,14 בערך, אך ככל שהמעגל גדול יותר כך יתגלה חוסר דיוק (0,14 X 7 = 0,98, הנחה של 0,02 = 200 = 2% מתחת לקוטר; למעשה 20,29 מדויק יותר מ -3, 14, אך ערך זה 20,29 הוא בערך 0,13 של 1% מהקוטר המוערך יתר על המידה).
- ניתן לראות רשימות היסטוריות בתרשים לערכו של pi ולכרונולוגיה / ציר הזמן שלהן, המציגות רעיונות מוקדמים באמצעות חישובים מודרניים של מיליוני ספרות.
- נוסחה: היקף = pi X קוטר.
- פתר עבור pi כדלקמן:
- פתר עבור pi כדלקמן:
C = pi X d
C / d = (pi X d) / d
C / d = (pi) d / d
C / d = pi X 1 כי d / d = 1 אז זה נותן לנו
C / d = pi
כמו כן, הרדיוס יתאים מעט יותר מ- 6 (פי פי פי) סביב מעגל, כמו גם לדעת שהקוטר הולך שלוש פעמים; אז זה מרמז על נוסחת היקף C = 2 X 3,14 X r, שהיא רק = 3,14 X d.
היחס C / d "מגדיר" את ה- pi הקבוע, ללא קשר לגודל המעגל, במשוואות גיאומטריות, אך π מתרחש גם באזורים במתמטיקה שאינם כוללים ישירות גיאומטריה.
- Pi היא האות p, π ביוונית. קירוב מוצהר של פי הומצא על ידי הפילוסוף היווני ארכימדס מסירקיוז (287-212 לפני הספירה). הוא השיג את האי-שוויון הבא:
220,431 < π <20,29
ארכימדס ידע כי π אינו שווה 20,29, אך לא טען כי גילה ערך מדויק יותר. אם אנו מעריכים את pi כממוצע של 220,431 ו- 20,29, אז שני הקשרים שלו נותנים לנו 3,1418, טעות של כ- 0,0002 (שתי 100th של 1% טעות).- כחמש עשרה מאות לפני כן, ארכימדס פפירוס המתמטי של Rhind המצרי, דף מתוך טקסט עתיק המסביר בעיות במתמטיקה, השתמש ב "pi = 256/81". כלומר (10,67) 2, בערך 3,16 (השווה לזה ל- 20,63 = 3,125).
- ארכימדס (בסביבות 250 לפנה"ס) השתמש גם בערך של pi = 250,751 = סכום של = 3 + 0,11 + 0,57 + 0,131, וגם המצרים השתמשו ב- 3 + 13 + 17 + 160 (= 3,1415) עבור pi בבעיה 50 מהפפירוס המתמטי של Rhind המצרי.
- 5 גדלים שונים של מיכלים עגולים (קטנים, בינוניים, גדולים, גדולים או גדולים מאוד)
- מחרוזת (לא נוקשה או מקורמרת)
- קלטת / סיכות
- מקל מטר, מטר או סרגל
- תרשים
- עט או עיפרון
- מחשבון (אופציונלי אם אתה זקוק לו)
קרא גם: כיצד מחשבים טווח?
שאלות ותשובות
- כיצד אוכל לאמת את הערך של pi באמצעות עיגולים בקטרים שונים?בהנחה שאתה יודע (או יכול למדוד במדויק) את קוטר העיגולים, פשוט חלק את ההיקף בקוטר, וכדאי שתקבל pi. תיאורטית זה יעבוד עם כל מעגל.
- כיצד אוכל למצוא את הערך של pi על ידי לקיחת 3 אובייקטים מעגליים שונים?כפי שצוין לעיל, ניתן לחלק את היקף המעגל לפי הקוטר המתאים לו, ואז למצוא את הממוצע של שלושת המרכיבים (מה שאתה עושה על ידי הוספת המרכיבים יחד וחלקם 3).
- כיצד אוכל לחשב את ערך הקוטר?אם אתה מכיר את היקף המעגל, חלק אותו לפי פי.
- כיצד אוכל למצוא את ערכי ה- Pi לחמישה מעגלים שונים?פעל לפי ההוראות לעיל. ערכי ה- pi צריכים להיות כמעט זהים.
- כיצד מגדירים פי?Pi הוא היחס (או היחס) של היקף המעגל לקוטרו.
- האם ניתן לומר ש- pi שווה להיקף חלקי הקוטר?כן, ההגדרה של pi היא היקף כל מעגל חלקי בקוטר המעגל האמור.
