כיצד לפשט ביטויים במתמטיקה?
כדי לפשט ביטויים במתמטיקה לפי סדר הפעולות, התחל בפתרון כל המונחים בסוגריים. לאחר מכן, פתר את המעריצים, ואז בצע כל כפל הכרחי. עוברים לפתרון חלוקה, ואז מסיימים עם הוספה ולבסוף, חיסור. מכיוון שסדר הפעולות הוא סוגריים, אקספוננטים, כפל, חלוקה, חיבור וחיסור, השתמש בראשי התיבות השימושיים "אנא סלח את דודה יקרה שלי סאלי" או "פמדאס" כדי לעזור לך לזכור! לקבלת טיפים לפתרון ביטויים מורכבים יותר, המשך לקרוא!
שים לב שבעוד שידע בסיסי על סדר הפעולות מאפשר לפשט את רוב הביטויים הבסיסיים, יש צורך בטכניקות מיוחדות כדי לפשט ביטויים משתנים רבים, כולל כמעט כל הפולינומים.
תלמידי מתמטיקה מתבקשים לרוב לתת את תשובתם ב"מונחים פשוטים ביותר "- במילים אחרות, לכתוב תשובות באלגנטיות ככל האפשר. אף על פי שביטוי ארוך ונטול רעה וקצרה ואלגנטית עשויים להיות שווים לאותו הדבר, לעתים קרובות, בעיה במתמטיקה אינה נחשבת ל"נעשתה "עד שהתשובה צומצמה למונחים הפשוטים ביותר. בנוסף, תשובות במונחים פשוטים ביותר הן כמעט תמיד הביטויים הקלים ביותר לעבודה. מסיבות אלה, ללמוד כיצד לפשט ביטויים הוא מיומנות מכרעת עבור מתמטיקאים שאפתנים.
שיטה 1 מתוך 2: שימוש בסדר הפעולות
- 1דע את סדר הפעולות. כאשר מפשטים ביטויים במתמטיקה, אתה לא יכול פשוט להמשיך משמאל לימין, להכפיל, להוסיף, לחסר וכן הלאה תוך כדי. יש פעולות מתמטיקה העדיפות על פני אחרות ויש לבצע אותן תחילה. למעשה, ביצוע פעולות שלא בסדר יכול לתת לך תשובה שגויה. סדר הפעולות הוא: מונחים בסוגריים, אקספוננטים, כפל, חלוקה, חיבור, ולבסוף, חיסור. ראשי תיבות שימושיים שתוכלו להשתמש בהם בכדי לזכור זאת הם "אנא סלחו לדודה יקרה שלי סאלי", או "פמדאס".
- שים לב שבעוד שידע בסיסי על סדר הפעולות מאפשר לפשט את רוב הביטויים הבסיסיים, יש צורך בטכניקות מיוחדות כדי לפשט ביטויים משתנים רבים, כולל כמעט כל הפולינומים. ראה שיטה שתיים למטה למידע נוסף.
- 2התחל על ידי פתרון כל המונחים בסוגריים. במתמטיקה, בסוגריים יש לחשב את המונחים בפנים בנפרד מהביטוי שמסביב. ללא קשר לפעולות המתבצעות בתוכם, הקפד להתמודד עם המונחים בסוגריים כמעשה הראשון שלך כשאתה מנסה לפשט ביטוי. שים לב, עם זאת, בתוך כל זוג סוגריים, סדר הפעולות עדיין חל. למשל, בסוגריים, עליך להכפיל לפני שתוסיף, תחסיר וכו '.
- לדוגמא, בואו ננסה לפשט את הביטוי 2x + 4 (5 + 2) + 32 - (3 + 2). בביטוי זה נפתור את המונחים בסוגריים, 5 + 2 ו- 3 + 2, תחילה. 5 + 2 = 7. 3 + 2 = 3 + 2 = 5.
- המונח הסוגרי השני מפשט ל -5 מכיוון שבשל סדר הפעולות אנו מחלקים את 2 כמעשה הראשון שלנו בסוגריים. אם פשוט נלך משמאל לימין, במקום זאת נוכל להוסיף תחילה 3 ו -4 ואז נחלק ב -2 ונתן את התשובה השגויה של 3,5.
- הערה - אם ישנם סוגריים מרובים המקוננים זה בזה, פתר תחילה את המונחים הפנימיים ביותר, מאשר את הפנימי השני, וכן הלאה.
- לדוגמא, בואו ננסה לפשט את הביטוי 2x + 4 (5 + 2) + 32 - (3 + 2). בביטוי זה נפתור את המונחים בסוגריים, 5 + 2 ו- 3 + 2, תחילה. 5 + 2 = 7. 3 + 2 = 3 + 2 = 5.
- 3לפתור את המעריכים. לאחר התמודדות עם סוגריים, לפתור, פתר את מעריכי הביטוי שלך. קל לזכור זאת מכיוון שבמעריכים מספר הבסיס והעוצמה ממוקמים זה ליד זה. מצא את התשובה לכל בעיה מעריכה, ואז החלף את התשובות בחזרה למשוואה שלך במקום המעריכים עצמם.
- לאחר התמודדות עם הסוגריים, ביטוי הדוגמה שלנו הוא כעת 2x + 4 (7) + 32 - 5. המעריך היחיד בדוגמה שלנו הוא 32, ששווה 9. הוסף זאת בחזרה למשוואה במקום 32 כדי לקבל 2x + 4 (7) + 9 - 5.
כדי לפשט ביטויים במתמטיקה לפי סדר הפעולות, התחל בפתרון כל המונחים בסוגריים. - 4פתור את בעיות הכפל בביטוי שלך. לאחר מכן בצע את כל הכפל הדרוש בביטוי שלך. זכרו כי ניתן לכתוב כפל בכמה דרכים. סמל ×, נקודה או כוכבית הם כל הדרכים להראות כפל. עם זאת, מספר המחבק בין סוגריים או משתנה (כמו 4 (x)) מציין גם כפל.
- ישנם שני מקרים של כפל בבעיה שלנו: 2x (2x הוא 2 × x) ו -4 (7). אנחנו לא יודעים את הערך של x, אז בואו נשאיר 2x כמו שהוא.. 4 (7) = 4 × 7 = 28. אנו יכולים לכתוב את המשוואה שלנו כ 2x + 28 + 9 - 5.
- 5עוברים לחלוקה. כשאתה מחפש בעיות חלוקה בביטוי שלך, זכור שכמו הכפל, ניתן לכתוב חלוקה במספר דרכים. הסמל הפשוט ÷ הוא אחד, אך זכור גם כי קו נטוי וסורגים בשבריר (כמו 0,75, למשל) מסמל חלוקה.
- מכיוון שכבר פתרנו בעיית חלוקה (2) כאשר התמודדנו עם המונחים בסוגריים, בדוגמה שלנו כבר אין שום חלוקה, ולכן נדלג על שלב זה. זה מעלה נקודה חשובה - אינך צריך לבצע כל פעולה בראשי התיבות PEMDAS כאשר אתה מפשט ביטוי, רק אלה שקיימים בבעיה שלך.
- 6הוסף. לאחר מכן בצע את כל בעיות ההוספה בביטוי שלך. אתה יכול פשוט להמשיך משמאל לימין דרך הביטוי שלך, אך ייתכן שיהיה לך הכי קל להוסיף קודם מספרים המשלבים בדרכים פשוטות וניתנות לניהול. למשל, בביטוי 49 + 29 + 51 +71, קל יותר להוסיף 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 ו- 100 + 100 = 200, במקום 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 ו- 129 + 71 = 200.
- ביטוי הדוגמה שלנו הופשט חלקית ל "2x + 28 + 9 - 5". עכשיו, עלינו להוסיף את מה שאנחנו יכולים - בואו נסתכל על כל בעיית תוספת משמאל לימין. אנחנו לא יכולים להוסיף 2x ו- 28 כי אנחנו לא יודעים את הערך של x, אז בואו נדלג עליו. 28 + 9 = 37, אז בוא נשכתב או נביע כמו "2x + 37 - 5".
- 7חיסור. השלב האחרון ביותר ב- PEMDAS הוא חיסור. המשך בבעיה שלך ופתור את כל בעיות החיסור שנותרו. אתה יכול לטפל בתוספת מספרים שליליים בשלב זה, או באותו שלב כמו בעיות התוספת הרגילות - זה לא ישפיע על תשובתך..
- בביטוי שלנו, "2x + 37 - 5", יש רק בעיית חיסור אחת. 37 - 5 = 32
פישוט ביטויים משתנים מחייב אותך למצוא את ערכי המשתנים שלך או להשתמש בטכניקות מיוחדות לפשט את הביטוי (ראה להלן). - 8סקור את הביטוי שלך. לאחר שתמשיך לפי סדר הפעולות, אתה צריך להישאר עם הביטוי שלך במילים הפשוטות ביותר. עם זאת, אם הביטוי שלך מכיל משתנה אחד או יותר, הבן כי מונחי המשתנה יישארו ללא פגע. פישוט ביטויים משתנים מחייב אותך למצוא את ערכי המשתנים שלך או להשתמש בטכניקות מיוחדות לפשט את הביטוי (ראה להלן).
- התשובה הסופית שלנו היא "2x + 32". איננו יכולים לטפל בבעיית התוספת הסופית הזו עד שנדע לערך של x, אך כאשר אנו עושים זאת, ביטוי זה יהיה הרבה יותר קל לפתרון מאשר הביטוי הארוך הראשוני שלנו.
שיטה 2 מתוך 2: פישוט ביטויים מורכבים
- 1הוסף מונחים משתנים דומים. כאשר עוסקים בביטויים משתנים, חשוב לזכור כי ניתן להוסיף מונחים עם אותו משתנה ומעריך (או "מונחים דומים") ולהחסיר אותם כמו מספרים רגילים. המונחים חייבים לא רק לאותו משתנה, אלא גם את אותם מעריך. לדוגמא, ניתן להוסיף 7x ו- 5x זה לזה, אך 7x ו- 5x 2 לא.
- כלל זה משתרע גם על מונחים עם מספר משתנים. למשל, 2xy 2 ניתן להוסיף -3xy 2, אבל לא -3x 2 y או -3y 2.
- בואו נסתכל על הביטוי x 2 + 3x + 6 - 8x. בביטוי זה אנו יכולים להוסיף את המונחים 3x ו- -8x מכיוון שהם דומים למונחים. פשוט יותר, הביטוי שלנו הוא x 2 - 5x + 6.
- 2לפשט שברים מספריים על ידי חלוקה או "ביטול" גורמים. ניתן לפשט שברים הכוללים מספרים בלבד (וללא משתנים) הן במונה והן במכנה. ראשית, ואולי הקלה ביותר, היא פשוט להתייחס לשבר כאל בעיית חלוקה ולחלק את המונה לפי המכנה. בנוסף,ניתן "לבטל"כל גורם מכפל המופיעהןבמונה והן במכנה, מכיוון שהם מתחלקים למספר 1. במילים אחרות, אם גם המונה וגם המכנה חולקים גורם, ניתן להסיר גורם זה מהשבר, משאיר תשובה פשוטה.
- לדוגמה, בואו ניקח בחשבון את השבר 310. אם יש לנו מחשבון שימושי, אנחנו יכולים לחלק כדי לקבל תשובה של 0,6. אולם אם לא נעשה זאת, עדיין ניתן לפשט על ידי הסרת גורמים נפוצים. דרך נוספת לחשוב על 310 היא (6 × 6) / (6 × 10). ניתן לשכתב את זה כ- 1 × 60. 1 = 1, כך שהביטוי שלנו הוא למעשה 1 × 60 = 60. עם זאת, עדיין לא סיימנו - גם 6 וגם 10 חולקים את הגורם 2. כשנחזור על ההליך לעיל נשאר לנו עם 0,6.
- 3בשברים משתנים, בטל גורמים משתנים. ביטויים משתנים בצורת שברים מציעים הזדמנויות ייחודיות לפשט. כמו שברים רגילים, שברים משתנים מאפשרים לך להסיר גורמים המשותפים הן למונה והן למכנה. עם זאת, בשברים משתנים, גורמים אלה יכולים להיות גם מספרים וגם ביטויים משתנים בפועל.
- בואו ניקח בחשבון את הביטוי (3x 2 + 3x) / (- 3x 2 + 15x). ניתן לשכתב את השבר הזה כ- (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x), 3x מופיע גם במניין וגם במכנה. הסרת גורמים אלו מעליית המשוואה (x + 1) / (5 - x). באופן דומה, בביטוי (2x 2 + 4x + 6) / 2, מכיוון שכל מונח מתחלק ב -2, אנו יכולים לכתוב את הביטוי כ- (2 (x 2 + 2x + 3)) / 2 וכך לפשט ל- x 2 + 2x + 3.
- שים לב שאתה לא יכול לבטל סתם מונח - אתה יכול לבטל רק גורמי ריבוי המופיעים במונה וגם במכנה. לדוגמא, בביטוי (x (x + 2)) / x, "x" מבטל גם מהמנהר וגם מהמכנה, ומשאיר (x + 2) / 1 = (x + 2). עם זאת, (x + 2) / x אינו מבטל ל -2 = 2.
איך מפשטים את הביטויים se a + a + a + a =? - 4הכפל מונחים סוגריים לפי קבועיהם. כאשר עוסקים במונחים משתנים בסוגריים עם קבוע סמוך, לפעמים הכפלת כל מונח בסוגריים בקבוע יכולה לגרום לביטוי פשוט יותר. זה נכון לגבי קבועים מספריים בלבד וקבועים הכוללים משתנים.
- לדוגמא, ניתן לפשט את הביטוי 3 (x 2 + 8) ל- 3x 2 + 24, בעוד שניתן לפשט 3x (x 2 + 8) ל- 3x 3 + 24x.
- שים לב שבמקרים מסוימים, כמו בשברים משתנים, הקבוע הסמוך לסוגריים נותן אפשרות לביטול ולכן אין להכפיל אותו בסוגריים. בשבר (3 (x 2 + 8)) / 3x, למשל, גורם 3 מופיע גם במונה וגם במכנה, כך שנוכל לבטל אותו ולפשט את הביטוי ל- (x 2 + 8) / x. זה פשוט וקל יותר לעבוד איתו מאשר (3x 3 + 24x) / 3x, זו תהיה התשובה שנקבל אם היינו מכפילים אותה.
- 5לפשט על ידי פקטורינג. פקטורינג היא טכניקה שבאמצעותה ניתן לפשט כמה ביטויים משתנים, כולל פולינומים. חשבו על פקטורינג כהפך משלב "הכפלת בסוגריים" למעלה - לעיתים ניתן לבטא ביטוי בפשטות יותר כשני מונחים המוכפלים זה בזה, ולא כביטוי מאוחד אחד. זה נכון במיוחד אם פקטורינג ביטוי מאפשר לך לבטל חלק ממנו (כפי שהיית עושה בשבריר). במקרים מיוחדים (לעיתים קרובות עם משוואות ריבועיות), פקטורינג אפילו מאפשר לך למצוא תשובות למשוואה.
- בואו ניקח בחשבון את הביטוי x 2 - 5x + 6 פעם נוספת. ביטוי זה יכול לגרום ל- (x - 3) (x - 2). לכן, אם x 2 - 5x + 6 הוא המונה של ביטוי מסוים עם אחד ממונחי הגורם הללו במכנה, כמו במקרה של הביטוי (x 2 - 5x + 6) / (2 (x - 2)), אולי נרצה לכתוב את זה בצורה מפוקסת כדי שנוכל לבטל את זה עם המכנה. במילים אחרות, עם (x - 3) (x - 2) / (2 (x - 2)), המונחים (x - 2) מבטלים, ומשאירים אותנו עם (x - 3) / 2.
- כפי שנרמז לעיל, סיבה נוספת שאולי תרצה להקטין את הביטוי שלך קשורה לעובדה שפקטורינג יכול לחשוף תשובות למשוואות מסוימות, במיוחד כאשר משוואות אלה נכתבות כביטויים שווים ל- 0. לדוגמה, בואו ניקח בחשבון את המשוואה x 2 - 5x + 6 = 0. פקטורציה גורמת לנו (x - 3) (x - 2) = 0. מכיוון שכל מספר שאפס הוא שווה לאפס, אנו יודעים שאם נוכל להשיג את אחד ממונחי הסוגריים לאפס, השלם הביטוי בצד שמאל של סימן השווה יהיה שווה גם לאפס. לפיכך, 3 ו- 2 הן שתי תשובות למשוואה.
שאלות ותשובות
- כיצד אוכל לפשט -3 (2a ^ 2-5) + 3a (4a-5)?-3 (2a² - 5) + 3a (4a - 5) = (-6a² + 15) + (12a² - 15a) = (-6a² + 12a²) + (15) + (-15a) = 6a² -15a + 15 = 3 (2a² -5a + 5).
- מה זה x / 4 + x / 3 = 1?כדי לחסל את המכנים, הכפל את שני צידי המשוואה ב- 12 (שזה 4x3): (3x) + (4x) = 12. שלבו מונחים דומים: 7x = 12. חלקו את שני הצדדים ב- 7: x = 10,29 = 1, 71.
- איך מפשטים את הביטויים se a + a + a + a =?בדיוק כמו 2 + 2 + 2 + 2 זהה ל- 2x4 a + a + a + זהה ל- ax4 או 4a. זכור כי הכפל הוא תוספת חוזרת בלבד.
- כיצד אוכל לפתור אחת בלי סוגריים?כדי לפשט ביטוי מתמטי ללא סוגריים, אתה עוקב אחר סדר הפעולות, שהוא PEMDAS (סוגריים, אקספוננטים, כפל, חלוקה, חיבור, חיסור). מכיוון שלביטוי אין סוגריים, אתה יכול להתחיל לבדוק את האקספונציות לביטוי. אם כן, יש לפשט זאת תחילה. לאחר מכן, תוכלו לעבור לכפל ולחלוקה, ואז לבסוף, חיבור וחיסור.
- מהו x + (-y) + 0,5 z כאשר x = -2, y = 3 ו- z = -2?החלף כל אות בביטוי בערכה הנתון: (-2) + [- (3)] + (0,5) (- 2) = (-2) - (3) + (- 1) = -2 - 3 -1 = -6.
- מהי פונקציית קובץ גרפי?הגרף האופייני לפונקציה מעוקבת נראה דומה לעקומת "S" שבמרכזה, כאשר מחצית אחת היא תמונת מראה הפוכה של השנייה.
- מעולם לא שמעתי על PEMDAS; למעשה, למדנו BODMAS, שאומר לחלק תחילה, ואז להכפיל. מה נכון?אין באמת הבדל בתוצאה הסופית בהתבסס על איזו שיטה מנמונית אתה משתמש. PEMDAS הוא באמת אותו דבר. P מייצג "סוגריים", כלומר BODMAS מכנה סוגריים. ה- M ו- D נמצאים יחד ויש להעריך אותם משמאל לימין. ה- A ו- S נמצאים יחד ויש להעריך אותם משמאל לימין.
- מהו hcf של 0,5, 0,67, 0,75 ו- 0,8?ראשית, כתוב את כל אותם שברים עם מכנה משותף: 30/60, 40/60, 40,830 ו- 41,330. הגורם המשותף (המספר השלם) הגבוה ביותר של אותם שברים הוא hcf של המונים שלהם על פני המכנה המשותף ההוא. Hcf של 30, 40, 45 ו- 48 הוא 1 (כמו תמיד כשמשתמשים במכנה המשותף הכי פחות), אז hcf של 0,5, 0,67, 0,75 ו- 0,8 הוא 0,170.
- כיצד אוכל לפתור פשטות עם מעריכים שליליים בחלוקה?חלוקה במספר שיש לו אקספוננט שלילי זהה להכפלת באותו מספר למעט עם אקספוננט חיובי. לדוגמה, 2 / (3 ^ -2) = (2) (3 ^ 2) = 18.
- מהו המקדם של 24x + 32 + 4x + 3?המקדמים הם 24 ו -4 (או שאתה יכול להתקשר אליהם +24 ו- +4).
שאלות ללא מענה
- כיצד אוכל לפשט זאת: [6 _ {(12 ÷ 3_2) × 4_7} +8]?
- איך יראה הפשט של x ^ 2-5x-14 / x ^ 2-9x + 14?
