כיצד לחשב את הטרנספורמציה של הפונקציה?

נראה שההתמרה של Laplace של פונקציות כמו קוסינוס, סינוס, והפונקציה האקספוננציאלית פשוטה יותר מההתמרה של פונקציית הכוח.

טרנספורמציית Laplace היא טרנספורמה אינטגרלית המשמשת לפתרון משוואות דיפרנציאליות של מקדמים קבועים. טרנספורמציה זו שימושית ביותר גם בפיזיקה והנדסה.

עכשיו אנחנו פשוט הופכים באמצעות טרנספורמציה Laplace של פונקציית הכוח שאנחנו מכירים.

בעוד שטבלאות של טרנספורמציות Laplace זמינות באופן נרחב, חשוב להבין את המאפיינים של טרנספורמציית Laplace כך שתוכל לבנות שולחן משלך.

מקדים

תן ל- f (t) {\ displaystyle f (t)} $F (t)$ להיות פונקציה המוגדרת עבור t≥0. {\ Displaystyle t \ geq 0.} $T \ geq 0.$ ואז אנו מגדירים את הטרנספורמציה Laplace של f (t) {\ displaystyle f (t)} $F (t)$ כפונקציה הבאה לכל ערך של s {\ displaystyle s} $ס$ שבו האינטגרל מתכנס.
- $F (s) = {\ mathcal {l}} \ {f (t) \} = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t$
על ידי החלת טרנספורמציה Laplace לפונקציה, אנו הופכים פונקציה מתחום t (או תחום זמן) לתחום s (או לדומיין Laplace), כאשר $F (ים)$ הוא פונקציה מורכבת של משתנה מורכב. בכך אנו הופכים את הבעיה לתחום שקל לקוות לפתור בו.
ברור שהטרנספורמציה של Laplace היא אופרטור ליניארי, ולכן נוכל לשקול את השינוי של סכום מונחים על ידי ביצוע כל אינטגרל בנפרד.
- $\ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} [af (t) + bg (t)] e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t = a \ int _ {{0 }} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t + b \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} g (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t$
זכור שהטרנספורמציה של Laplace קיימת רק אם האינטגרל מתכנס. אם הפונקציה $F (t)$ אינה רציפה בכל מקום, עלינו להקפיד מאוד לוודא שאנחנו מפצלים את גבולות האינטגרל כדי למנוע פיצוץ.

טרנספורמציית Laplace היא טרנספורמה אינטגרלית המשמשת לפתרון משוואות דיפרנציאליות של מקדמים קבועים.

חלק 1 מתוך 3: היסודות

1
החלף את הפונקציה בהגדרת טרנספורמציית laplace. מבחינה רעיונית, חישוב טרנספורמציה של Laplace של פונקציה הוא קל ביותר. נשתמש בפונקציה לדוגמא f (t) = eat {\ displaystyle f (t) = e ^ {at}} $F (t) = e ^ {{at}}$ כאשר {\ displaystyle a} $א$ הוא קבוע (מורכב) כך ש Re⁡ (s) <Re⁡ (א). {\ displaystyle \ operatorname {Re} (s) <\ operatorname {Re} (a).} $\ operatorname {re} (s) <\ operatorname {re} (a).$
- ${\ mathcal {l}} \ {e ^ {{}} \} = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} e ^ {{at}} e ^ {{- st}} { \ mathrm {d}} t$
2
הערך את האינטגרל בכל האמצעים האפשריים. בדוגמה שלנו, ההערכה שלנו היא פשוטה ביותר, ועלינו להשתמש רק במשפט היסודי של החשבון. במקרים מסובכים אחרים, ניתן להשתמש בטכניקות כמו שילוב של חלקים או בידול תחת האינטגרל. האילוץ שלנו ש- Re⁡ (s) <Re⁡ (a) {\ displaystyle \ operatorname {Re} (s) <\ operatorname {Re} (a)} $\ operatorname {re} (s) <\ operatorname {re} (a)$ פירושו שהאינטגרנד מתכנס, כלומר הולך ל 0 כ t → ∞. {\ displaystyle t \ to \ infty.} $T \ to \ infty.$
- ${\ התחל {align} {\ mathcal {l}} \ {e ^ {{}} \} ו- = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} e ^ {{(as) t} } {\ mathrm {d}} t \\ and = {\ frac {e ^ {(as) t}}} {as}} {\ bigg |} _ {{0}} ^ {{\ infty}} \\ ו- = {\ frac {1} {sa}} \ end {align}}$
- שימו לב שהדבר נותן לנו שני טרנספורמציות Laplace עבור "חינם": פונקציות הסינוס והקוסינוס, אם ניקח בחשבון את הפונקציה הקשורה eiat {\ displaystyle e ^ {iat}} $E ^ {{iat}}$ באמצעות הנוסחה של אוילר. ואז, במכנה, היינו s − ia, {\ displaystyle s-ia,} $S-ia,$ וכל שנותר הוא לקחת את החלקים האמיתיים והדמיוניים של תוצאה זו. יכולנו פשוט להעריך ישירות, אבל זה ייקח קצת יותר עבודה.
  - ${\ mathcal {l}} \ {\ cos at \} = \ operatorname {re} \ left ({\ frac {1} {s-ia}} \ right) = {\ frac {s} {s ^ {{ 2}} + a ^ {{2}}}}$
  - ${\ mathcal {l}} \ {\ sin at \} = \ operatorname {im} \ left ({\ frac {1} {s-ia}} \ right) = {\ frac {a} {s ^ {{ 2}} + a ^ {{2}}}}$
3
הערך את הפיכת ה- laplace של פונקציית הכוח. לפני שעוברים הלאה, עלינו לקבוע את הטרנספורמציה של פונקציית הכוח, שכן תכונת הליניאריות מאפשרת לנו לקבוע את הטרנספורמציה לכל הפולינומים. פונקציה הכוח הוא פונקציה TN, {\ displaystyle t ^ {n},} $T ^ {{n}},$ שבו n {\ displaystyle n} $נ$ הוא כל מספר שלם חיובי. אנו יכולים להשתמש בשילוב לפי חלקים כדי לקבוע כלל רקורסיבי.
- ${\ mathcal {l}} \ {t ^ {{n}} \} = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} t ^ {{n}} e ^ {{- st}} { \ mathrm {d}} t = {\ frac {n} {s}} {\ mathcal {l}} \ {t ^ {{n-1}} \}$
- התוצאה שלנו לא נכתבה במפורש, אבל מן ההחלפה כמה ערכים של n, {\ displaystyle n,} $N,$ דפוס ברור עולה (נסה זאת בעצמך), שממנו אנו יכולים לקבוע את התוצאה הבאה.
  - ${\ mathcal {l}} \ {t ^ {{n}} \} = {\ frac {n!} {s ^ {{n + 1}}}}$
- אנו יכולים גם לקבוע טרנספורמציות Laplace של כוחות שבריים באמצעות פונקציית הגמא. זה מאפשר לנו למצוא טרנספורמציות של פונקציות כמו f (t) = t. {\ Displaystyle f (t) = {\ sqrt {t}}.} $F (t) = {\ sqrt {t}}.$
  - ${\ mathcal {l}} \ {t ^ {{n}} \} = {\ frac {\ gamma (n + 1)} {s ^ {{n + 1}}}}$
  - ${\ mathcal {l}} \ {t ^ {{0,5}} \} = {\ frac {\ gamma (1,5)} {s ^ {{1,5}}}} = {\ frac { {\ sqrt {\ pi}}} {2s {\ sqrt {s}}}}$
- למרות שפונקציות בעלות כוחות שבר חייבים להכיל חתכים בענף (זכור כי עבור כל המספרים המורכבים $ז$ ו- $\ אלפא,$ אנו $Z ^ {{\ alpha}}$ מחדש את $zα {\ displaystyle z ^ {\ alpha}}$ כ- $E ^ {{\ alpha \ operatorname {log} z}}$ ), תמיד נוכל להגדיר אותם כך שחתכי הענפים מונחים בחצי המישור השמאלי על מנת להימנע מבעיות אנליטיות.

חלק 2 מתוך 3: תכונות של טרנספורמציה

1
קבע את טרנספורמציית ה- laplace של פונקציה מוכפלת $e ^ {{at}}$ . התוצאות בסעיף הקודם אפשרו לנו להציץ בכמה תכונות מעניינות של טרנספורמציית Laplace. נראה שההתמרה של Laplace של פונקציות כמו קוסינוס, סינוס, והפונקציה האקספוננציאלית פשוטה יותר מההמרה של פונקציית הכוח. נראה כי הכפל על ידי אכילה {\ displaystyle e ^ {at}} $E ^ {{at}}$ בתחום ה- t מקביל לשינוי בתחום ה- s.
- ${\ mathcal {l}} \ {e ^ {{}} f (t) \} = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- (sa) t}} {\ mathrm {d}} t = f (sa)$
- מאפיין זה מאפשר לנו מיד למצוא טרנספורמציות של פונקציות כמו f (t) = e3tsin⁡2t {\ displaystyle f (t) = e ^ {3t} \ sin 2t} $F (t) = e ^ {{3t}} \ sin 2t$ מבלי להעריך ישירות את האינטגרל.
  - ${\ mathcal {l}} \ {e ^ {{3t}} \ sin 2t \} = {\ frac {2} {(s-3) ^ {{2}} + 4}}$
2
קבע את טרנספורמציית ה- laplace של פונקציה מוכפלת ב- $t ^ {{n}}$ . בואו נשקול להכפיל קודם ב- t {\ displaystyle t} $ט$ . ואז מההגדרה, נוכל להבדיל תחת האינטגרל כדי להשיג תוצאה נקייה באופן מפתיע.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {l}} \ {tf (t) \} ו- = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} tf (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \\ and = - \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f (t) {\ frac {\ partial} {\ partial s}} e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \\ and = - {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} s}} \ int _ {{0}} ^ {{ \ infty}} f (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \\ and = - {\ frac {{\ mathrm {d}} f} {{\ mathrm {d}} s}} \ end {align}}$
- על ידי חזרה על תהליך זה, אנו מגיעים לתוצאה הכללית.
  - ${\ mathcal {l}} \ {t ^ {{n}} f (t) \} = (- 1) ^ {{n}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {{n}} f} {{\ mathrm {d}} s ^ {{n}}}}$
- חילופי האינטגרל והמפעילים מבדילים גוזלים מעט הצדקה בכל הנוגע לקפדנות, אך לא נצדיק זאת כאן אלא לציין כי הפעולה מותרת כל עוד תשובתנו הסופית הגיונית. ניתן לחפש מעט נוחות בעובדה ש- $ס$ ו- $ט$ הם משתנים שאינם תלויים זה בזה.
- כמובן שבשימוש במאפיין זה, Laplace הופכת פונקציות כמו t2cos⁡2t {\ displaystyle t ^ {2} \ cos 2t} $T ^ {{2}} \ cos 2t$ נמצאות בקלות מבלי להשתמש שוב ושוב בשילוב על ידי חלקים.
  - ${\ mathcal {l}} \ {t ^ {{2}} \ cos 2t \} = {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {{2}}} {{\ mathrm {d}} s ^ {{2}}}} {\ frac {s} {s ^ {{2}} + 4}} = {\ frac {2s ^ {{3}} - 24s} {(s ^ {{2}} + 4) ^ {{3}}}}$
3
קבע את טרנספורמציית laplace של פונקציה נמתחת $שמן)$ . באמצעות ההגדרה, אנו יכולים גם לקבוע טרנספורמציה זו בקלות באמצעות החלפת u.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {l}} \ {f (at) \} ו- = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f (at) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t, \ \ u = at \\ and = {\ frac {1} {a}} \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f (u) e ^ { {-su / a}} {\ mathrm {d}} u \\ ו- = {\ frac {1} {a}} f \ left ({\ frac {s} {a}} \ right) \ end {align }}$
- בעבר מצאנו את טרנספורמציות ה- Laplace של $\ חטא ב-$ ו- $\ cos ב$ מהפונקציה האקספוננציאלית ישירות. אנו יכולים להשתמש במאפיין זה כדי להגיע לאותה תוצאה, החל ממציאת החלקים האמיתיים והדמיוניים של ${\ mathcal {l}} \ {e ^ {{}}} \} = {\ frac {1} {si}}$ .
4
קבע את טרנספורמציית laplace של נגזרת $f ^ {{\ prime}} (t)$ . בניגוד התוצאות הקודמות שלנו כי חסכו קצת עבודה מ אינטגרציה בחלקים, אנחנו חייבים להשתמש אינטגרציה בחלקים כאן.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {l}} \ {f ^ {{\ prime}} (t) \} ו- = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f ^ {{\ ראש}} (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t, \ \ u = e ^ {{- st}}, \ {\ mathrm {d}} v = f ^ {{ \ prime}} (t) {\ mathrm {d}} t \\ and = f (t) e ^ {{- st}} {\ big |} _ {{0}} ^ {{\ infty}} + s \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \\ and = sf (s) -f (0) \ סוף {מיושר}}$
- מכיוון שהנגזרת השנייה עולה ביישומים פיזיקליים רבים, אנו מציגים גם את טרנספורמציית Laplace של נגזרת שנייה.
  - ${\ mathcal {l}} \ {f ^ {{\ prime \ prime}} (t) \} = s ^ {{2}} f (s) -sf (0) -f ^ {{\ prime}} (0)$
- באופן כללי, מתברר שהטרנספורמציה של Laplace של הנגזרת ה- n ניתנת על ידי התוצאה הבאה. תוצאה זו חשובה בפתרון משוואות דיפרנציאליות באמצעות טרנספורמציות Laplace.
  - ${\ mathcal {l}} \ {f ^ {{(n)}} (t) \} = s ^ {{n}} f (s) - \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n -1}} s ^ {{nk-1}} f ^ {{(k)}} (0)$

אנו רואים שהטרנספורמציה של Laplace של פונקציה תקופתית קשורה לטרנספורמציה של Laplace של מחזור אחד של הפונקציה.

חלק 3 מתוך 3: שיטות סדרות

1
קבע את טרנספורמציית laplace של פונקציה תקופתית. פונקציה תקופתית היא פונקציה העונה על המאפיין f (t) = f (t + nT), {\ displaystyle f (t) = f (t + nT),} $F (t) = f (t + nt),$ כאשר T {\ displaystyle T} $ט$ היא תקופת ה- פונקציה ו- n {\ displaystyle n} $נ$ הוא מספר שלם חיובי. פונקציות תקופתיות מופיעות ביישומים רבים בעיבוד אותות ובהנדסת חשמל. בעזרת מעט מניפולציה אנו מגיעים לתשובה הבאה.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {l}} \ {f (t) \} ו- = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \\ and = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ int _ {{nt}} ^ {{(n + 1) t}} f (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \\ and = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ int _ {{0}} ^ {{ t}} f (t + nt) e ^ {{- s (t + nt)}} {\ mathrm {d}} t \\ and = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty} } e ^ {{- snt}} \ int _ {{0}} ^ {{t}} f (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \\ and = {\ frac {1} {1-e ^ {{- st}}}} \ int _ {{0}} ^ {{t}} f (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \ end {align}}$
- אנו רואים שהטרנספורמציה של Laplace של פונקציה תקופתית קשורה לטרנספורמציה של Laplace של מחזור אחד של הפונקציה.
2
ראה את המאמר על חישוב טרנספורמציית הלפליטים של הלוגריתם הטבעי. לא ניתן להעריך את האינטגרל הזה באמצעות משפט היסוד של החשבון מכיוון שלא ניתן לבטא את האנטי-נוירטיבי במונחים של פונקציות אלמנטריות. המאמר דן בטכניקה המשתמשת בפונקציה גאמא ובהרחבות הסדרות השונות שלה להערכת היומן הטבעי וכוחותיו הגבוהים יותר. די בנוכחות קבוע אוילר-מסצ'רוני γ {\ displaystyle \ gamma} $\ גמא$ כדי לרמוז שיש להעריך את האינטגרל בשיטות סדרות.
- ${\ mathcal {l}} \ {\ ln t \} = - {\ frac {\ gamma + \ ln s} {s}}$
3
הערך את טרנספורמציית ה- laplace של פונקציית הסינק (לא מנורמל). פונקציית ה- sinc⁡ (t) = sin⁡tt {\ displaystyle \ operatorname {sinc} (t) = {\ frac {\ sin t} {t}}} $\ operatorname {sinc} (t) = {\ frac {\ sin t} {t}}$ היא פונקציה המופיעה באופן נרחב בעיבוד אותות, וניתן לזהות אותה ממשוואות דיפרנציאליות כשוות ערך לפונקציית Bessel כדורית בסדר אפס $J _ {{0}} (x).$ מהסוג הראשון j0 (x). {\ displaystyle j_ {0} (x).} גם לא ניתן לחשב את הטרנספורמציה Laplace של פונקציה זו באופן הסטנדרטי. אנו נעזרים בהפיכת מונח אחר מונח, מותר מכיוון שהתנאים האינדיבידואליים הם פונקציות כוח ולכן טרנספורמציות שלהם בהחלט מתכנסות במרווח שנקבע.
- אנו מתחילים לכתוב את סדרת טיילור של פונקציה זו.
  - ${\ frac {\ sin t} {t}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {{n}} t ^ {{2n} }} {(2n + 1)!}}$
- עכשיו אנחנו פשוט הופכים באמצעות טרנספורמציה Laplace של פונקציית הכוח שאנחנו מכירים. המפעלים מבוטלים, ולאחר שבהינו בביטוי שלנו, אנו מזהים את סדרת טיילור של המשיק ההפוך, הסדרה המתחלפת שנראית כמו סדרת טיילור עבור פונקציית הסינוס אך ללא המלאכותיות.
  - ${\ begin {align} {\ mathcal {l}} \ left \ {{\ frac {\ sin t} {t}} \ right \} and = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty }} {\ frac {(-1) ^ {{n}} (2n)!} {(2n + 1)!}} {\ frac {1} {s ^ {{2n + 1}}}} \\ ו = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {{n}}} {2n + 1}} {\ frac {1} {s ^ { {2n + 1}}}} \\ ו- = \ tan ^ {{- 1}} {\ frac {1} {s}} \ end {align}}$