כיצד להשתמש בכלל הקוסינוס?

כדי למצוא את הזווית החסרה של משולש באמצעות הכלל הקוסינוס, עליך לדעת את אורך שלושת צלעות המשולש.

הכלל הקוסינוס הוא כלל נפוץ בטריגונומטריה. בעזרתו ניתן לחקור את המאפיינים של משולשים שאינם נכונים וכך מאפשר לך למצוא מידע חסר, כגון אורכי צד ומדידות זווית. הנוסחה דומה למשפט פיתגורס וקל יחסית לשינון. הכלל הקוסינוס קובע כי עבור כל משולש, $C ^ {{2}} = a ^ {{2}} + b ^ {{2}} - 2ab \ cos {c}$ .

שיטה 1 מתוך 3: מציאת אורך צד חסר

1
העריך אילו ערכים אתה מכיר. כדי למצוא את אורך הצד החסר של משולש, עליך לדעת את אורכי שני הצדדים האחרים, כמו גם את גודל הזווית ביניהם.
- לדוגמה, ייתכן שיהיה לך משולש XYZ. אורך צד YX 5 ס"מ. אורך הצד YZ 9 ס"מ. זווית Y היא 89 מעלות. כמה זמן הוא הצד XZ?
2

הגדר את הנוסחה לכלל הקוסינוס. זה נקרא גם חוק הקוסינוסים. הנוסחה היא $C ^ {{2}} = a ^ {{2}} + b ^ {{2}} - 2ab \ cos {c}$ . בנוסחה זו, $ג$ שווה לאורך הצד החסר, ו- $\ cos {c}$ שווה לקוסינוס של הזווית הנגדית לאורך הצד החסר. המשתנים $א$ ו- $ב$ הם אורכם של שני הצדדים הידועים.
3
חבר את הערכים הידועים לנוסחה. המשתנים a {\ displaystyle a} $א$ ו- b {\ displaystyle b} $ב$ הם שני אורכי הצד הידועים. המשתנה C {\ displaystyle C} $ג$ הוא הזווית הידועה, שצריכה להיות הזווית שבין {\ displaystyle a} $א$ ו- b {\ displaystyle b} $ב$ .
- לדוגמה, מכיוון שאורך הצד XZ חסר, אורך הצד הזה יעמוד על $ג$ בנוסחה. מכיוון שצדדים YX ו- YZ ידועים, שני אורכי הצד הללו יהיו $א$ ו- $ב$ . לא משנה איזה צד הוא איזה משתנה. המשתנה $ג$ הוא זווית Y. לכן, הנוסחה שלך צריכה להיראות כך: $C ^ {{2}} = 5 ^ {{2}} + 9 ^ {{2}} - 2 (5) (9) \ cos {89}$ .
4
מצא את הקוסינוס של הזווית הידועה. עשו זאת באמצעות פונקציית הקוסינוס של המחשבון. כל שעליך לעשות הוא להקליד את מדידת הזווית ואז ללחוץ על כפתור COS {\ displaystyle COS} $חסת עלים$ . אם אין לך מחשבון מדעי, תוכל למצוא באינטרנט טבלה של קוסינוס, כמו זו שנמצאת באתר מעבדת הפיזיקה. אתה גם יכול פשוט להקליד "קוסינוס x מעלות" לגוגל, (החלפת זווית עבור x), ואת מנוע החיפוש יהיה להחזיר את החישוב.
- לדוגמא, הקוסינוס 89 הוא בערך 0,01745. לכן, חבר ערך זה לנוסחה שלך: $C ^ {{2}} = 5 ^ {{2}} + 9 ^ {{2}} - 2 (5) (9) (0,01745)$ .
הכלל הקוסינוס קובע כי לכל משולש.
5
השלם את הכפל הדרוש. אתה מכפיל את 2ab {\ displaystyle 2ab} בקוסינוס של הזווית הידועה.
- לדוגמא:
  $C ^ {{2}} = 5 ^ {{2}} + 9 ^ {{2}} - 2 (5) (9) (0,01745)$
  $C ^ {{2}} = 5 ^ {{2}} + 9 ^ {{2}} - 1,5707$
6
הוסף את הריבועים של הצדדים הידועים. זכור שכשאתה מרובע מספר, אתה מכפיל אותו בעצמו. ריבוע תחילה את שני המספרים ואז הוסף אותם.
- לדוגמא:
  $C ^ {{2}} = 5 ^ {{2}} + 9 ^ {{2}} - 1,5707$
  $C ^ {{2}} = 25 + 81-1,5707$
  $C ^ {{2}} = 106-1,5707$
7
מחסרים את שני הערכים. זה ייתן לך את הערך של c2 {\ displaystyle c ^ {2}} $C ^ {{2}}$ .
- לדוגמא:
  $C ^ {{2}} = 106-1,5707$
  $C ^ {{2}} = 104,4293$
8
קח את שורש הריבוע של ההבדל. סביר להניח שתרצה להשתמש במחשבון לשלב זה, מכיוון שלמספר שאתה מוצא את השורש הריבועי יהיו בו מספרים עשרוניים רבים. השורש הריבועי שווה לאורכו של הצד החסר של המשולש.
- לדוגמא:
  $C ^ {{2}} = 104,4293$
  ${\ sqrt {c ^ {{2}}}} = {\ sqrt {104,4293}}$
  $C = 10,2191$
  אז, אורך הצד החסר, $ג$ , הוא 10,2191 ס"מ.

שיטה 2 מתוך 3: מציאת זווית חסרה

1
העריך אילו ערכים אתה מכיר. כדי למצוא את הזווית החסרה של משולש באמצעות הכלל הקוסינוס, עליך לדעת את אורך שלושת צלעות המשולש.
- לדוגמה, יכול להיות שיש לך משולש RST. אורך ה- SR הצדדי 8 ס"מ. אורך צד ST הוא 10 ס"מ. אורך ה- RT הצדדי 12 ס"מ. מהי מדידת הזווית S?
2

הגדר את הנוסחה לכלל הקוסינוס. הנוסחה היא $C ^ {{2}} = a ^ {{2}} + b ^ {{2}} - 2ab \ cos {c}$ . בנוסחה זו, $\ cos {c}$ שווה לקוסינוס של הזווית שאתה מנסה למצוא. המשתנה $ג$ שווה לצד שמול הזווית החסרה. המשתנים $א$ ו- $ב$ הם אורכם של שני הצדדים האחרים.

הכלל הקוסינוס הוא כלל נפוץ בטריגונומטריה.
3
קבע את הערכים של $א$ , $ב$ ו- $ג$ . חבר ערכים אלה לנוסחה.
- לדוגמא, מכיוון שצד RT נמצא מול הזווית החסרה, זווית S, הצד RT יהיה שווה ל- $ג$ בנוסחה. שני אורכי הצד האחרים יהיו $א$ ו- $ב$ . לא משנה איזה צד הוא איזה משתנה. לכן, הנוסחה שלך צריכה להיראות כך: $12 ^ {{2}} = 8 ^ {{2}} + 10 ^ {{2}} - 2 (8) (10) \ cos {c}$ .
4
השלם את הכפל הדרוש. אתה הכפלת 2AB {\ displaystyle 2AB} פעמים הקוסינוס של הזווית החסרה, שבו אתה לא יודע עדיין. לכן, המשתנה צריך להישאר.
- לדוגמה, $12 ^ {{2}} = 8 ^ {{2}} + 10 ^ {{2}} - 160 \ cos {c}$ .
5
מצא את הריבוע של $ג$ . זכור שכדי למספר ריבוע אתה מכפיל את המספר בפני עצמו.
- לדוגמה, $144 = 8 ^ {{2}} + 10 ^ {{2}} - 160 \ cos {c}$
6
הוסף את הריבועים של $א$ ו- $ב$ . ודא שאתה מרובע כל מספר קודם ואז הוסף אותם יחד.
- לדוגמא:
  $144 = 64 + 100-160 \ cos {c}$
  $144 = 164-160 \ cos {c}$
7
בידוד את הקוסינוס של הזווית החסרה. לשם כך יש להפחית את סכום a2 {\ displaystyle a ^ {2}} $A ^ {{2}}$ ו- b2 {\ displaystyle b ^ {2}} $ב ^ {{2}}$ משני צידי המשוואה. לאחר מכן, חלק את כל צד המשוואה במקדם הקוסינוס של הזווית החסרה.
- לדוגמה, כדי לבודד את הקוסינוס של הזווית החסרה, חיסר את 164 משני צידי המשוואה, ואז חלק את כל הצד ב- -160:
  $144-164 = 164-164-160 \ cos {c}$
  $-20 = -160 \ cos {c}$
  ${\ frac {-20} {- 160}} = {\ frac {-160 \ cos {c}} {- 160}}$
  $0,125 = \ cos {c}$
8
מצא את הקוסינוס ההפוך. זה ייתן לך את המדידה של הזווית החסרה. במחשבון, מפתח הקוסינוס ההפוך מסומן על ידי COS − 1 {\ displaystyle COS ^ {- 1}} $Cos ^ {{- 1}}$ .
- לדוגמא, הקוסינוס ההפוך של 0,0125 הוא 82,8192. לכן, הזווית החסרה, זווית S, היא 82,8192 מעלות.

בנוסחה זו, שווה לאורך הצד החסר, ושווה לקוסינוס של הזווית הנגדית לאורך הצד החסר.

שיטה 3 מתוך 3: פתרון בעיות לדוגמא

1
מצא את אורך הצד החסר של משולש. שני אורכי הצד הידועים הם באורך 20 ו -17 ס"מ. הזווית בין שני הצדדים הללו היא 68 מעלות.
- מכיוון שאתה יודע שני אורכי צד, והזווית ביניהם, אתה יכול להשתמש בכלל הקוסינוס. הגדר את הנוסחה: $C ^ {{2}} = a ^ {{2}} + b ^ {{2}} - 2ab \ cos {c}$ .
- אורך הצד החסר הוא $ג$ . חבר את הערכים האחרים לנוסחה: $C ^ {{2}} = 20 ^ {{2}} + 17 ^ {{2}} - 2 (20) (17) \ cos {68}$ .
- השתמש בסדר הפעולות כדי למצוא $C ^ {{2}}$ :
  $C ^ {{2}} = 20 ^ {{2}} + 17 ^ {{2}} - 2 (20) (17) \ cos {68}$
  $C ^ {{2}} = 20 ^ {{2}} + 17 ^ {{2}} - 2 (20) (17) (0,3746)$
  $C ^ {{2}} = 20 ^ {{2}} + 17 ^ {{2}} - 254,7325$
  $C ^ {{2}} = 400 + 289-254,7325$
  $C ^ {{2}} = 689-254,7325$
  $C ^ {{2}} = 434,2675$
- קח את השורש הריבועי של שני צידי המשוואה. זה ייתן לך את אורך הצד החסר:
  ${\ sqrt {c ^ {{2}}}} = {\ sqrt {434,2675}}$
  $C = 20,8391$
  אז אורך הצד החסר הוא 20,8391 ס"מ.
2
מצא זווית H במשולש GHI. אורך שני הצדדים הסמוכים לזווית H 22 ו -16 ס"מ. הזווית הנגדית הצדדית H היא 13 ס"מ (5,1 אינץ ').
- מכיוון שאתה יודע את כל שלושת אורכי הצד, אתה יכול להשתמש בכלל הקוסינוס. הגדר את הנוסחה: $C ^ {{2}} = a ^ {{2}} + b ^ {{2}} - 2ab \ cos {c}$ .
- הצד שמול הזווית החסרה הוא $ג$ . חבר את כל הערכים לנוסחה: $13 ^ {{2}} = 22 ^ {{2}} + 16 ^ {{2}} - 2 (22) (16) \ cos {c}$ .
- השתמש בסדר הפעולות כדי לפשט את הביטוי:
  $13 ^ {{2}} = 22 ^ {{2}} + 16 ^ {{2}} - 704 \ cos {c}$
  $13 ^ {{2}} = 484 + 256-704 \ cos {c}$
  $169 = 484 + 256-704 \ cos {c}$
  $169 = 740-704 \ cos {c}$
- בידוד את הקוסינוס:
  $169-740 = 740-740-704 \ cos {c}$
  $-571 = -704 \ cos {c}$
  ${\ frac {-571} {- 704}} = {\ frac {-704 \ cos {c}} {- 704}}$
  $0,8111 = \ cos {c}$
- מצא את הקוסינוס ההפוך. זה ייתן לך את הזווית החסרה:
  $0,8111 = \ cos {c}$
  $35,7985 = cos ^ {{- 1}}$ .
  אז זווית H היא כ- 35,7985 מעלות.
3
מצא את אורך השביל החסר. חולית, רכס ושביל בוג יוצרים משולש. אורך שביל חולית 3 קילומטרים. אורך שביל הרכס הוא 5 קילומטרים. שביל חולית ושביל רכס נפגשים בקצהו הצפוני בזווית של 135 מעלות. שביל בוג מחבר בין שני קצוות השבילים האחרים. כמה זמן בוג טרייל?
- השבילים יוצרים משולש, ואתה מתבקש למצוא אורך שביל חסר, שהוא כמו הצד של המשולש. מכיוון שאתה יודע את אורך שני השבילים האחרים, ואתה יודע שהם נפגשים בזווית של 135 מעלות, אתה יכול להשתמש בכלל הקוסינוס.
- הגדר את הנוסחה: $C ^ {{2}} = a ^ {{2}} + b ^ {{2}} - 2ab \ cos {c}$ .
- אורך הצד החסר (שביל Bog) הוא $ג$ . חבר את הערכים האחרים לנוסחה: $C ^ {{2}} = 3 ^ {{2}} + 5 ^ {{2}} - 2 (3) (5) \ cos {135}$ .
- השתמש בסדר הפעולות כדי למצוא $C ^ {{2}}$ :
  $C ^ {{2}} = 3 ^ {{2}} + 5 ^ {{2}} - 2 (3) (5) \ cos {135}$
  $C ^ {{2}} = 3 ^ {{2}} + 5 ^ {{2}} - 2 (3) (5) (- 0,7071)$
  $C ^ {{2}} = 3 ^ {{2}} + 5 ^ {{2}} - (- 21,2132)$
  $C ^ {{2}} = 9 + 25 + 21,2132$
  $C ^ {{2}} = 55,2132$
- קח את השורש הריבועי של שני צידי המשוואה. זה ייתן לך את אורך הצד החסר:
  ${\ sqrt {c ^ {{2}}}} = {\ sqrt {55,2132}}$
  $C = 7,4306$
  אז, שביל בוג אורך כ- 7,4306 קילומטרים.