כיצד למצוא את סכום הרצף האריתמטי?

אם הרצף החשבוני השלישי הוא -12 והרצף החשבוני השביעי הוא 8, מה סכום המונח העשירי הראשון?

רצף חשבון הוא סדרת מספרים בה כל מונח גדל בכמות קבועה. לסיכום המספרים ברצף חשבון, ניתן להוסיף ידנית את כל המספרים. זה לא מעשי, עם זאת, כאשר הרצף מכיל כמות גדולה של מספרים. במקום זאת, תוכל למצוא במהירות את סכום כל רצף חשבוני על ידי הכפלת הממוצע של המונח הראשון והאחרון במספר המונחים ברצף.

חלק 1 מתוך 3: הערכת הרצף שלך

1
וודאו שיש לכם רצף חשבון. רצף חשבוני הוא סדרה מסודרת של מספרים, בה השינוי במספרים הוא קבוע. שיטה זו עובדת רק אם קבוצת המספרים שלך היא רצף חשבון.
- כדי לקבוע אם יש לך רצף חשבון, מצא את ההבדל בין המספרים הראשונים למספרים האחרונים. ודא שההבדל תמיד זהה.
- לדוגמא, הסדרה 10, 15, 20, 25, 30 היא רצף חשבון, מכיוון שההפרש בין כל מונח הוא קבוע (5).
2
זהה את מספר המונחים ברצף שלך. כל מספר הוא מונח. אם רק כמה מונחים מפורטים, אתה יכול לספור אותם. אחרת, אם אתה יודע את המונח הראשון, המונח האחרון וההבדל הנפוץ (ההבדל בין כל מונח) אתה יכול להשתמש בנוסחה כדי למצוא את מספר המונחים. תן למספר זה להיות מיוצג על ידי המשתנה n {\ displaystyle n} $נ$ .
- לדוגמה, אם אתה מחשב את סכום הרצף 10, 15, 20, 25, 30, $N = 5$ , מכיוון שיש 5 מונחים ברצף.
כדי למצוא את סכום הרצף החשבוני, התחל בזיהוי המספר הראשון והאחרון ברצף.
3
זהה את המונחים הראשונים והאחרונים ברצף. עליכם לדעת את שני המספרים הללו על מנת לחשב את סכום הרצף האריתמטי. לעתים קרובות המספרים הראשונים יהיו 1, אך לא תמיד. תן למשתנה a1 {\ displaystyle a_ {1}} $_ {{1}}$ להיות המונח הראשון ברצף, ו- {\ displaystyle a_ {n}} יהיה $_ {{N}}$ שווה למונח האחרון ברצף.
- לדוגמא, ברצף 10, 15, 20, 25, 30 $A {{1}} = 10$ ו- $A {{n}} = 30$ .

חלק 2 מתוך 3: חישוב הסכום

1
הגדר את הנוסחה למציאת סכום הרצף האריתמטי. הנוסחה היא Sn = n (a1 + an2) {\ displaystyle S_ {n} = n ({\ frac {a_ {1} + a_ {n}} {2}})} $S _ {{n}} = n ({\ frac {a _ {{1}} + a _ {{n}}} {2}})$ , כאשר Sn {\ displaystyle S_ {n }} $S _ {{n}}$ שווה לסכום הרצף.
- שים לב שנוסחה זו מציינת כי סכום הרצף האריתמטי שווה לממוצע של המונח הראשון והאחרון, כפול מספר המונחים.
2
חבר את הערכים של n {\ displaystyle n} $נ$ , a1 {\ displaystyle a_ {1}} $א {{1}}$ ו- {\ displaystyle a_ {n}} $_ {{n}}$ לנוסחה. הקפד לבצע את ההחלפות הנכונות.
- לדוגמה, אם יש לך 5 מונחים ברצף שלך, ו- 10 הוא המונח הראשון, ו- 30 הוא המונח האחרון, הנוסחה שלך תיראה כך: $S _ {{n}} = 5 ({\ frac {10 + 30} {2}})$ .
במקום זאת, תוכל למצוא במהירות את סכום כל רצף חשבוני על ידי הכפלת הממוצע של המונח הראשון והאחרון במספר המונחים ברצף.
3
חשב את הממוצע של הקדנציה הראשונה והשנייה. לשם כך הוסף את שני המספרים וחלק ב -2.
- לדוגמא:
  $S _ {{n}} = 5 ({\ frac {40} {2}}$
  $S _ {{n}} = 5 (20)$
4
הכפל את הממוצע במספר המונחים בסדרה. זה ייתן לך את סכום הרצף האריתמטי.
- לדוגמא:
  $S _ {{n}} = 5 (20)$
  $S _ {{n}} = 100$
  אז סכום הרצף 10, 15, 20, 25, 30 זה 100.

חלק 3 מתוך 3: השלמת בעיות לדוגמא

1
מצא את סכום המספרים שבין 1 ל -500. שקול את כל המספרים השלמים העוקבים.
- קבע את מספר המונחים ( $נ$ ) ברצף. מכיוון שאתה שוקל את כל המספרים השלמים העוקבים ל -500, $N = 500$ .
- קבע את המונחים הראשונים ( $_ {{1}}$ ) והאחרונים ( $_ {{N}}$ ) ברצף. מכיוון שהרצף הוא 1 עד 500, $A {{1}} = 1$ ו- $A {{n}} = 500$ .
- מצא את הממוצע של $_ {{1}}$ ו- $_ {{N}}$ : $1 + 5002 = 250,5 {\ displaystyle {\ frac {1 + 500} {2}} = 250,5 }$ .
- הכפל את הממוצע ב- $נ$ : $250,5 \ פעמים 500 = 125250$ .
שים לב שנוסחה זו מציינת כי סכום הרצף האריתמטי שווה לממוצע של המונח הראשון והאחרון, כפול מספר המונחים.
2
מצא את סכום הרצף החשבתי המתואר. המונח הראשון ברצף הוא 3. המונח האחרון ברצף הוא 24. ההבדל הנפוץ הוא 7.
- קבע את מספר המונחים ( $נ$ ) ברצף. מכיוון שאתה מתחיל עם 3, מסיים עם 24 ועולה ב 7 בכל פעם, הסדרה היא 3, 10, 17, 24. (ההבדל הנפוץ הוא ההבדל בין כל מונח ברצף.) המשמעות היא $N = 4$
- קבע את המונחים הראשונים ( $_ {{1}}$ ) והאחרונים ( $_ {{N}}$ ) ברצף. מכיוון שהרצף הוא 3 עד 24, $A {{1}} = 3$ ו- $A {{n}} = 24$ .
- מצא את הממוצע של $_ {{1}}$ ו- $_ {{N}}$ : ${\ frac {3 + 24} {2}} = 13,5$ .
- הכפל את הממוצע ב- $נ$ : $13,5 \ פעמים 4 = 54$ .
3
פתר את הבעיה הבאה. מארה חוסך 5 דולר בשבוע הראשון של השנה. בשאר ימות השנה היא מגדילה את החיסכון השבועי שלה ב -5 דולר בכל שבוע. כמה כסף חוסכת מארה עד סוף השנה?
- קבע את מספר המונחים ( $נ$ ) ברצף. מכיוון שמארה חוסכת 52 שבועות (שנה), $N = 52$ .
- קבע את המונחים הראשונים ( $_ {{1}}$ ) והאחרונים ( $_ {{N}}$ ) ברצף. הסכום הראשון שהיא חוסכת הוא 5 דולר, אז $A {{1}} = 5$ . כדי לברר את הסכום שהיא חוסכת בשבוע האחרון של השנה, חישבו $5 \ פעמים 52 = 260$ . אז $A {{n}} = 260$ .
- מצא את הממוצע של $_ {{1}}$ ו- $_ {{N}}$ : ${\ frac {5 + 260} {2}} = 132,5$ .
- הכפל את הממוצע ב- $נ$ : ${\ displaystyle 132,5 \ פעמים 52 = 6890}$ . אז היא חוסכת 5140 אירו עד סוף השנה.