כיצד להוסיף מספרים שלמים עוקבים מ -1 עד 100?

ראה סכום המספרים השלמים מ -1 עד N. מהם המספרים העוקבים המצטברים עד 100?

על פי אגדת המתמטיקה, המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס, בגיל 8, העלה שיטה להוספת מהירה של המספרים העוקבים בין 1 ל 100. השיטה הבסיסית היא זיווג מספרים בקבוצה, ואז הכפלת הסכום של כל זוג. לפי מספר הזוגות. משיטה זו אנו יכולים לגזור נוסחה להוספת מספרים עוקבים $_ {{1}}$ דרך $_ {{N}}$ : $S _ {{n}} = n ({\ frac {a _ {{1}} + a _ {{n}}} {2}})$ . ניתן ליישם שיטות אלה על כל סדרת מספרים עוקבים, ולא רק על 1 עד 100.

שיטה 1 מתוך 2: שימוש בנוסחה לסכום של סדרה

1

כתוב את הנוסחה למציאת סכום סדרת חשבון. הנוסחה היא $S _ {{n}} = n ({\ frac {a _ {{1}} + a _ {{n}}} {2}})$ , כאשר $נ$ שווה מספר המונחים בסדרה, $_ {{1}}$ הוא המספר הראשון בסדרה, $_ {{N}}$ הוא המספר האחרון בסדרה, ו- $S _ {{n}}$ שווה לסכום של $נ$ מספרים.
2
חבר את הערכים לנוסחה. פירוש הדבר להחליף את המונח הראשון בסדרה ב- a1 {\ displaystyle a_ {1}} $_ {{1}}$ , ואת המונח האחרון בסדרה ב- {\ displaystyle a_ {n}} $_ {{N}}$ . בעת הוספת מספרים עוקבים 1 עד 100, a1 = 1 {\ displaystyle a_ {1} = 1} $A {{1}} = 1$ ו- = 100 {\ displaystyle a_ {n} = 100} $_ {{N}} = 100$ .
- לפיכך, הנוסחה שלך תיראה כך: $S _ {{100}} = n ({\ frac {1 + 100} {2}})$ .
3

הוסף את הערכים במניין השבר ואז חלק עם 2. מכיוון ש $100 + 1 = 101$ , תחלק את 101 ב- 2: ${\ frac {101} {2}} = 50,5$ .
4
הכפל ב- $נ$ . זה ייתן לך את הסכום המספר העוקב בסדרה. במקרה זה, מכיוון שאתה מוסיף מספרים עוקבים ל- 100, n = 100 {\ displaystyle n = 100} $N = 100$ . אז היית מחשב 100 (50,5) = 5050 {\ displaystyle 100 (50,5) = 5050} $100 (50,5) = 5050$ . לפיכך, סכום המספרים העוקבים בין 1 ל 100 הוא 5050.
- כדי להכפיל מספר במהירות ב 100, הזז את הנקודה העשרונית שני מקומות ימינה.

ניתן ליישם שיטות אלה על כל סדרת מספרים עוקבים, ולא רק על 1 עד 100.

שיטה 2 מתוך 2: שימוש בטכניקה של גאוס

1
חלק את הסדרה לשתי קבוצות שוות. כדי לברר כמה מספרים יש בכל קבוצה, חלק את מספר המספרים ב- 2. במקרה זה, מכיוון שהסדרה היא 1 עד 100, היית מחשב 100 ÷ 2 = 50 {\ displaystyle 100 \ div 2 = 50} $100 \ div 2 = 50$ .
- אז לקבוצה הראשונה יהיו 50 מספרים (1-50).
- בקבוצה השנייה יהיו גם 50 מספרים (51-100).
2

כתוב את הקבוצה הראשונה, 1-50, בסדר עולה. כתוב את המספרים בשורה, החל מ- 1 וכלה ב- 50.
3

כתוב את הקבוצה השנייה, 100-51, בסדר יורד. כתוב את המספרים האלה בשורה תחת הקבוצה הראשונה. התחל כך ש -100 שורות מתחת ל -1, 99 שורות מתחת ל -2 וכו '.
4

הוסף כל קבוצה אנכית של מספרים. זה אומר שתחשב $1 + 100 = 101$ , $2 + 99 = 101$ . וכו 'למעשה לא צריך להוסיף את כל קבוצות המספרים, כי אתה צריך לראות שכל קבוצה מצטברת ל -101.
5

הכפל 101 פעמים 50. כדי למצוא את סכום המספרים העוקבים 1 עד 100, מכפיל את מספר הסטים (50) בסכום של כל קבוצה (101): $101 (50) = 5050.$ לכן, סכום המספר $הרציף$ 1 עד 100 הוא 5050.

קרא גם: כיצד לפשט ביטויים רציונליים?

כיצד להוסיף מספרים שלמים עוקבים מ -1 עד 100?

צעדים

שיטה 1 מתוך 2: שימוש בנוסחה לסכום של סדרה

שיטה 2 מתוך 2: שימוש בטכניקה של גאוס

שאלות ותשובות

קרא גם: