כיצד להשתמש במשפט פיתגורס?
כדי להשתמש במשפט פיתגורס על משולש עם זווית של 90 מעלות, תייג את הצדדים הקצרים יותר של המשולש a ו- b, ואת הצד הארוך יותר שממול לזווית הנכונה צריך להיות מתויג c. כל עוד אתה יודע את אורך שני הצדדים, אתה יכול לפתור את הצד השלישי באמצעות הנוסחה a בריבוע פלוס b בריבוע שווה c בריבוע. הכנס את הערכים הידועים שלך למשוואה ופתור את המשתנה הלא ידוע, ואז קח את השורש הריבועי של שני צידי המשוואה כדי לקבל את התוצאה. אם אתה רוצה להשתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא את המרחק בין 2 נקודות, המשך לקרוא את המאמר!
במשפט פיתגורס, המשתנים a ו- b מתייחסים לצדדים שנפגשים בזווית ישרה, ואילו המשתנה c מתייחס להיפוטנוזה - הצד הארוך ביותר שנמצא תמיד מול הזווית הנכונה.
משפט פיתגורס מתאר את אורכי צלעות המשולש הימני בצורה כה אלגנטית ופרקטית, עד שמשמש עד היום שימוש נרחב במשפט. המשפט קובע כי עבור כל משולש נכון, סכום הריבועים של הצדדים הלא היפוטנוזים שווה לריבוע ההיפוטנוזה. במילים אחרות, עבור משולש ימין עם צלעות מאונכות של אורך a ו- b ו hypotenuse של אורך c, a 2 + b 2 = c 2. משפט פיתגורס הוא אחד מעמודי התווך היסוד של הגיאומטריה הבסיסית, שיש אינספור יישומים מעשיים - באמצעות משפט, למשל, זה קל למצוא את המרחק בין שתי נקודות על המטוס לתאם.
שיטה 1 מתוך 2: מציאת צלעות משולש ימין
- 1ודא שהמשולש שלך הוא משולש נכון. משפט פיתגורס הוא חל רק על משולשים ישרי זווית, כך, לפני שתמשיך, חשוב לעשות בטוח משולש שלך עונה להגדרה של משולש ישר זווית. למרבה המזל, יש רק גורם מזכה אחד - כדי להיות משולש נכון, המשולש שלך חייב להכיל זווית אחת של 90 מעלות בדיוק.
- כצורה של קיצור ראייה, זוויות ישרות מסומנות לרוב בריבוע קטן ולא ב"עקומה "מעוגלת, כדי לזהות אותן ככאלה. חפש את הסימן המיוחד הזה באחת מפינות המשולש שלך.
- 2הקצה את המשתנים a, b ו- c לצידי המשולש שלך. במשפט פיתגורס, המשתנים a ו- b מתייחסים לצדדים שנפגשים בזווית ישרה, ואילו המשתנה c מתייחס להיפוטנוזה - הצד הארוך ביותר שנמצא תמיד מול הזווית הנכונה. לכן, כדי להתחיל, הקצה לצדדים הקצרים יותר של המשולש שלך את המשתנים a ו- b (זה לא משנה איזה צד מתויג 'a' או 'b'), והקצה למצב המשתנה המשתנה c.
- 3קבעו לאילו צד (ים) של המשולש אתם פותרים. משפט פיתגורס מאפשר למתמטיקאים למצוא את אורכו של כל אחד מצלעות המשולש הימני, כל עוד הם מכירים את אורכם של שני הצדדים האחרים. קבע לאיזה מהצדדים שלך אורך לא ידוע - a, b ו / או c. אם אורכו של צד אחד בלבד אינו ידוע, אתה מוכן להמשיך.
- בואו נגיד, למשל, שאנו יודעים שאורך ההיפוטנוזה שלנו הוא 5 ואחד מהצדדים האחרים אורכו 3, אך איננו בטוחים מה אורכו של הצד השלישי. במקרה זה, אנו יודעים שאנו פותרים את אורכו של הצד השלישי, ומכיוון שאנו מכירים את אורכם של השניים האחרים, אנו מוכנים לצאת לדרך! נחזור לבעיה לדוגמה זו בשלבים הבאים.
- אם אורכיהם של שניים מהצדדים שלך אינם ידועים, יהיה עליך לקבוע את אורכו של צד אחד נוסף כדי להשתמש במשפט פיתגורס. פונקציות טריגונומטריה בסיסיות יכולות לעזור לך כאן אם אתה מכיר את אחת הזוויות הלא ישרות במשולש.
כיצד אוכל למצוא את צלעותיו של משולש ימין כשאני אורך ההיפוטנוזה בלבד? - 4חבר את שני הערכים הידועים שלך למשוואה. הכנס את הערכים שלך לאורכי צלעות המשולש למשוואה a 2 + b 2 = c 2. זכור ש- a ו- b הם הצדדים הלא-היפוטניים, ואילו c הוא ההיפוטנוזה.
- בדוגמה שלנו, אנו יודעים את אורך הצד האחד ואת ההיפוטנוזה (3 & 5), לכן היינו כותבים את המשוואה שלנו כ- 3² + b² = 5²
- 5חשב את הריבועים. כדי לפתור את המשוואה שלך, התחל בלקחת את הריבוע של כל אחד מהצדדים הידועים שלך. לחלופין, אם אתה מוצא את זה קל יותר, אתה יכול להשאיר את אורכי הצד שלך בצורה האקספוננטית, ואז לרבוע אותם מאוחר יותר.
- בדוגמה שלנו, היינו מרובעים 3 ו -5 כדי לקבל 9 ו -25 בהתאמה. אנו יכולים לשכתב את המשוואה שלנו כ- 9 + b² = 25.
- 6בידוד את המשתנה הלא ידוע שלך בצד אחד של סימן השווה. במידת הצורך, השתמש בפעולות אלגברה בסיסיות כדי להשיג את המשתנה הלא ידוע שלך בצד אחד של סימן השווה ובשני הריבועים שלך בצד השני של סימן השווה. אם אתה פותר את ההיפוטנוזה, c כבר יהיה מבודד, כך שלא תצטרך לעשות שום דבר כדי לבודד אותו.
- בדוגמה שלנו, המשוואה הנוכחית שלנו היא 9 + b² = 25. כדי לבודד את b², בואו נגרע 9 משני צידי המשוואה. זה משאיר אותנו עם b² = 16.
- 7קח את השורש הריבועי של שני צידי המשוואה. כעת אתה צריך להישאר עם משתנה אחד בריבוע בצד אחד של המשוואה ומספר בצד השני. פשוט קח את השורש הריבועי של שני הצדדים כדי למצוא את אורך הצד הלא ידוע שלך.
- בדוגמה שלנו, b² = 16, נטילת השורש הריבועי של שני הצדדים נותנת לנו b = 4. לפיכך, אנו יכולים לומר שאורך הצד הלא ידוע של המשולש שלנו הוא 4.
- 8השתמש במשפט הפיתגוראי כדי למצוא את הצדדים של המשולשים הנכונים בעולם האמיתי. הסיבה שמשפט פיתגורס נמצא בשימוש כה נרחב כיום היא שהיא ישימה באינספור מצבים מעשיים. למד לזהות משולשים נכונים בחיים האמיתיים - בכל מצב בו שני עצמים או קווים ישרים נפגשים בזווית ישרה וקו שלישי או אובייקט נמתח באלכסון מול הזווית הנכונה, אתה יכול להשתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא את אורכו של אחד הצדדים, בהתחשב באורך של שני האחרים.
- בואו ננסה דוגמה של העולם האמיתי שזה קצת יותר קשה. סולם נשען על בניין. בסיס הסולם נמצא במרחק של 5 מטרים (16,4 רגל) מתחתית הקיר. הסולם מגיע ל -20 מטר במעלה קיר הבניין. כמה זמן הסולם?
- "5 מטר (16,4 רגל) מתחתית הקיר" ו- "20 מטר (65,6 רגל) במעלה הקיר" רמזים לנו לאורך צדי המשולש שלנו. מכיוון שהקיר והאדמה (ככל הנראה) נפגשים בזווית ישרה והסולם נשען באלכסון על הקיר, אנו יכולים לחשוב על סידור זה כמשולש ימין עם צלעות אורך a = 5 ו- b = 20. אורך הסולם. הוא ההיפוטנוזה, ולכן ג אינו ידוע שלנו. בואו נשתמש במשפט פיתגורס:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- sqrt (425) = ג
- c = 20,6. אורך הסולם המשוער הוא 20,6 מטר (67,6 רגל).
- "5 מטר (16,4 רגל) מתחתית הקיר" ו- "20 מטר (65,6 רגל) במעלה הקיר" רמזים לנו לאורך צדי המשולש שלנו. מכיוון שהקיר והאדמה (ככל הנראה) נפגשים בזווית ישרה והסולם נשען באלכסון על הקיר, אנו יכולים לחשוב על סידור זה כמשולש ימין עם צלעות אורך a = 5 ו- b = 20. אורך הסולם. הוא ההיפוטנוזה, ולכן ג אינו ידוע שלנו. בואו נשתמש במשפט פיתגורס:
- בואו ננסה דוגמה של העולם האמיתי שזה קצת יותר קשה. סולם נשען על בניין. בסיס הסולם נמצא במרחק של 5 מטרים (16,4 רגל) מתחתית הקיר. הסולם מגיע ל -20 מטר במעלה קיר הבניין. כמה זמן הסולם?
איך אני מוצא את צדי המשולש הימני כשאני אורך הצד הארוך ביותר?
שיטה 2 מתוך 2: חישוב המרחק בין שתי נקודות במישור xy
- 1הגדר שתי נקודות במישור ה- xy. ניתן להשתמש במשפט פיתגורס בקלות לחישוב המרחק בקו ישר בין שתי נקודות במישור XY. כל מה שאתה צריך לדעת הם הקואורדינטות x ו- y של שתי נקודות כלשהן. בדרך כלל, הקואורדינטות הללו נכתבות כזוגות מסודרים בצורה (x, y).
- כדי למצוא את המרחק בין שתי הנקודות הללו, נתייחס לכל נקודה כאל אחת מפינות הזווית הלא ישרות של משולש ימין. בכך קל למצוא את אורך הצדדים a ו- b, ואז לחשב את c, את ההיפוטנוזה, שהוא המרחק בין שתי הנקודות.
- 2התווה את שתי הנקודות שלך בתרשים. במישור XY אופייני, לכל נקודה (x, y), x נותן קואורדינטה על הציר האופקי ו- y נותן קואורדינטה על הציר האנכי. אתה יכול למצוא את המרחק בין שתי הנקודות מבלי לשרטט אותן בתרשים, אך פעולה זו נותנת לך התייחסות חזותית שבה אתה יכול להשתמש כדי להבטיח שהתשובה שלך הגיונית.
- 3מצא את אורכי הצדדים הלא היפוטנוזים של המשולש שלך. השתמש בשתי הנקודות שלך כפינות המשולש הסמוך להיפוטנוזה, מצא את אורכי הצדדים a ו- b של המשולש. ניתן לעשות זאת באופן ויזואלי בתרשים, או באמצעות הנוסחאות | x 1 - x 2 | לצד האופקי | y 1 - y 2 | לצד האנכי, כאשר (x 1, y 1) היא הנקודה הראשונה שלך ו- (x 2, y 2) היא השנייה שלך.
- נניח ששתי הנקודות שלנו הן (61) ו- (35). אורך הצד של הצד האופקי של המשולש שלנו הוא:
- | x 1 - x 2 |
- | 3 - 6 |
- | -3 | = 3
- אורך הצד האנכי הוא:
- | y 1 - y 2 |
- | 1 - 5 |
- | -4 | = 4
- לכן, אנו יכולים לומר שבמשולש הימני שלנו, צד a = 3 וצד b = 4.
- נניח ששתי הנקודות שלנו הן (61) ו- (35). אורך הצד של הצד האופקי של המשולש שלנו הוא:
- 4השתמש במשפט הפיתגוראי כדי לפתור את ההיפוטנוזה. המרחק בין שתי הנקודות שלך הוא ההיפוטנוזה של המשולש שאת שני צדיו הגדרת זה עתה. השתמש משפט פיתגורס כרגיל למצוא אלכסון, הגדרת כמשוואה אורך הצד ו- B הראשון שלך כמו אורך של השני.
- בדוגמה שלנו באמצעות נקודות (35) ו- (61), אורכי הצד שלנו הם 3 ו -4, כך שנמצא את ההיפוטנוזה באופן הבא:
- (3) ² + (4) ² = c²
- c = sqrt (9 + 16)
- c = sqrt (25)
- c = 5. המרחק בין (35) ל- (61) הוא 5.
- בדוגמה שלנו באמצעות נקודות (35) ו- (61), אורכי הצד שלנו הם 3 ו -4, כך שנמצא את ההיפוטנוזה באופן הבא:
- פירושו של sqrt (x) הוא " שורש ריבועי של x".
- בדיקה נוספת - הצד הארוך ביותר יהיה מול הזווית הגדולה ביותר והצד הקצר ביותר יהיה מול הזווית הקטנה ביותר.
- ההיפוטנוזה היא תמיד:
- מול הזווית הנכונה (לא נוגע בזווית הנכונה)
- הצד הארוך ביותר של המשולש הימני
- הוחלף ב- c במשפט פיתגורס
כדי להשתמש במשפט פיתגורס על משולש עם זווית של 90 מעלות, תייג את הצדדים הקצרים יותר של המשולש a ו- b, ואת הצד הארוך יותר שממול לזווית הנכונה צריך להיות מתויג c. - זכור לבדוק תמיד את עבודתך. אם נראה שתשובה שגויה, חזור ונסה שוב.
- כדאי ללמוד את משולשי פיתגורס, או שלושה מספרים המייצגים את צלעות המשולש הימני שנמצאים בדרך כלל. 3, 4 ו- 5 הוא המשולש הפיתגוראי הנפוץ ביותר. בדרך זו, אם אתה יודע שני אורכי צד של משולש, אינך צריך להשקיע זמן בפתרון עבור האורך השני.
- זכור כי ההיפוטנוזה הוא תמיד הצד הארוך ביותר.
- אם המשולש אינו משולש נכון, תזדקק למידע יותר משני אורכי צד בלבד
- דיאגרמות הן המפתח להקצאה נכונה של ערכים ל- a, b ו- c. אם אתה עובד על בעיית סיפור, דאג לתרגם אותה תחילה לתרשים.
- אם יש לך רק מידה צדדית אחת, משפט פיתגורס לא יעזור. נסה להשתמש בטריגונומטריה (sin, cos, tan) או במקום היחס 30-60-90 / 45-45-90.
- אם אתה מתמודד עם בעיית סיפור, אתה יכול להניח בבטחה דברים כמו עצים, מוטות, קירות,.. לעשות זווית ישרה עם הקרקע, אלא אם כן צוין אחרת.
קרא גם: כיצד למצוא שטח פנים?
שאלות ותשובות
- מה השימוש הטכני במשפט פיתגורס?משפט פיתגורס מאפשר לך למצוא את אורכו של צד אחד של משולש ימין כאשר אתה יודע את אורכיהם של שני הצדדים האחרים.
- על רשת אני מצייר את קטע הקו לנקודות שלי, קיבלתי את החלק הזה. אבל כשאני מיישם את נוסחת המרחק ומקבל, למשל, 5 כמרחק בין נקודות A ו- B, איזה סימני סימון אני סומך על הרשת השווה 5?ניתן לספור "סימני סמן" רק בקווים אנכיים ואופקיים, ולא בקווים אלכסוניים. נוסחת המרחק מאפשרת לך למצוא את אורכו של קו אלכסוני מבלי שתצטרך למדוד או לספור אותו.
- איך אני מוצא את צדי המשולש הימני כשאני אורך הצד הארוך ביותר?אתה לא יכול לעשות את זה. אם אתה יודע רק את ההיפוטנוזה, שתי הרגליים יכולות להיות כל צירוף של אורכים. לדוגמה, אם ההיפוטנוזה היא 25 ס"מ, הרגליים יכולות להיות 8 ו -15 ס"מ, 4 ו -23 ס"מ, 2 ו -25 ס"מ, 5 ו -22 ס"מ, 7 ו -18 ס"מ, או מספר בלתי מוגבל של צירופים אחרים.
- איך אני מוצא את הבסיס עם ההיפוטנוזה בלבד?יהיה עליכם להכיר את הרגל השנייה של המשולש. לדעת רק את ההיפוטנוזה זה לא מספיק.
- כיצד אוכל למצוא את צלעותיו של משולש ימין כשאני אורך ההיפוטנוזה בלבד?אתה יכול למצוא את הצד בעזרת זווית בתוך המשולש. שימוש בחטא של הזווית נותן לך את הצד הנגדי חלקי ההיפוטנוזה או cos של הזווית נותן לך את הצד הסמוך מחולק עם ההיפוטנוזה.
- איך אוכל להוכיח שבמשולש זווית ישרה, הריבוע על ההיפוטנוזה שווה לסכום הריבוע משני הצדדים האחרים?ישנן מספר דרכים להוכיח את משפט פיתגורס (וזה מה שאתה שואל). ראה הוכחה אחת בכתובת mathisfun.com/geometry/pythagorean-theorem-proof.html.
- כיצד אוכל למצוא את ממד המדרון של גרם מדרגות?מדוד את המרחקים האופקיים והאנכיים מהמדרגות העליונות למדרגות התחתונות, והשתמש בשני המרחקים האלה כ- "a" ו- "b" בנוסחה.
שאלות ללא מענה
- כיצד אוכל לדעת מתי להשתמש בחיבור ומתי להשתמש בחיסור במשפט פיתגורס?
תגובות (7)
- למרות שאני עדיין לא בתיכון, חשבתי שאנסה ללמוד את משפט פיתגורס, וזה באמת עזר.
- כל העניין היה מאוד מועיל.
- ההוראות הובנו מהר יותר ממה שחשבתי שיהיו.
- מועיל מאוד, מעריך את העזרה.
- זה עזר לי להבין את המידות של הטלוויזיה שלי לשיעור.
- אני רק בכיתה ו 'אבל אני אוהב גיאומטריה בסדר? זה היה כיף לנסות.
- בזכות מאמר זה לא התאפקתי שנה בתיכון.
