כיצד לחשב תוצר צולב של שני וקטורים?

אחת הדרכים הקלות ביותר לחישוב מוצר צולב היא הגדרת וקטורי היחידה עם שני הווקטורים במטריצה.

המוצר הצולב הוא סוג של כפל וקטורי המוגדר רק בתלת-ממד ושבעה מימדים המפיק וקטור אחר. פעולה זו, בשימוש כמעט בלעדי בשלושה ממדים, הוא שימושי עבור יישומי פיזיקה ו הנדסה. במאמר זה נחשב תוצר צולב של שני וקטורים תלת מימדיים המוגדרים בקואורדינטות קרטזיות.

שיטה 1 מתוך 2: חישוב המוצר הצולב

1
שקול שני וקטורים תלת מימדיים כלליים המוגדרים בקואורדינטות קרטזיות.
- ${\ begin {align} {\ mathbf {a}} ו- = a {\ mathbf {i}} + b {\ mathbf {j}} + c {\ mathbf {k}} \\ {\ mathbf {b}} ו- = d {\ mathbf {i}} + e {\ mathbf {j}} + f {\ mathbf {k}} \ end {align}}$
- כאן, ${\ mathbf {i}}, {\ mathbf {j}}, {\ mathbf {k}}$ הם וקטורי יחידה, ו- $א ב ג ד ה ו$ הם קבועים.
2
הגדר את המטריצה. אחת הדרכים הקלות ביותר לחישוב מוצר צולב היא הגדרת וקטורי היחידה עם שני הווקטורים במטריצה.
- ${\ mathbf {a}} \ times {\ mathbf {b}} = {\ התחל {vmatrix} {\ mathbf {i}} ו- {\ mathbf {j}} ו- {\ mathbf {k}} \\ aandbandc \ \ dandeandf \ end {vmatrix}}$
3
חשב את הקובע של המטריצה. להלן אנו משתמשים בהרחבת קופקטור (הרחבה על ידי קטינים).
- ${\ mathbf {a}} \ times {\ mathbf {b}} = (bf-ec) {\ mathbf {i}} - (af-dc) {\ mathbf {j}} + (ae-db) {\ mathbf {k}}$
- וקטור זה אורתוגונאלי הן ל- ${\ mathbf {a}}$ והן ל- ${\ mathbf {b}}.$

שיטה 2 מתוך 2: דוגמה

1
שקול את שני הווקטורים להלן.
- ${\ begin {align} {\ mathbf {u}} ו- = 2 {\ mathbf {i}} - {\ mathbf {j}} + 3 {\ mathbf {k}} \\ {\ mathbf {v}} ו- = 5 {\ mathbf {i}} + 7 {\ mathbf {j}} - 4 {\ mathbf {k}} \ end {align}}$
2
הגדר את המטריצה.
- ${\ mathbf {u}} \ times {\ mathbf {v}} = {\ התחל {vmatrix} {\ mathbf {i}} ו- {\ mathbf {j}} ו- {\ mathbf {k}} \\ 2and- 1and3 \\ 5and7and-4 \ end {vmatrix}}$
3
חשב את הקובע של המטריצה.
- ${\ begin {align} {\ mathbf {u}} \ times {\ mathbf {v}} ו- = (4-21) {\ mathbf {i}} - (- 8-15) {\ mathbf {j}} + (14 + 5) {\ mathbf {k}} \\ ו- = -17 {\ mathbf {i}} + 23 {\ mathbf {j}} + 19 {\ mathbf {k}} \ end {align}}$

במאמר זה נחשב תוצר צולב של שני וקטורים תלת מימדיים המוגדרים בקואורדינטות קרטזיות.

טיפים

תוצר הצלב של וקטור עם כל מכפיל של עצמו הוא 0. זה קל יותר להופיע בעת הגדרת המטריצה. השני והשלישי שורות תלויים לינארית, מאז אתה יכול לכתוב אחד כמכפלה של אחרים. לאחר מכן, הקובע של המטריצה ולכן המוצר הצולב הוא 0.
אפשר להראות שהווקטור המיוצר על ידי תוצר צולב של שני וקטורים a × b {\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}} ${\ mathbf {a}} \ times {\ mathbf {b}}$ הוא אורתוגונלי הן ל- {\ displaystyle \ mathbf {a}} ${\ mathbf {a}}$ וגם ל- b. {\ displaystyle \ mathbf {b}.} ${\ mathbf {b}}.$ לשם כך, חישב את מוצרי הנקודה. מוצרים אלה נקראים מוצרים משולשים - מכיוון שהפעולה מבחוץ היא מוצר נקודתי, אלה הם המוצרים המשולשים הסקלריים.
- ${\ begin {align} {\ mathbf {a}} ו- \ cdot ({\ mathbf {a}} \ times {\ mathbf {b}}) \\ {\ mathbf {b}} ו- \ cdot ({\ mathbf {a}} \ times {\ mathbf {b}}) \ end {align}}$
- מוצרים משולשים אלה עוקבים אחר מה שמכונה תמורה מחזורית - כלומר אם מחליפים את עמדות הווקטורים מבלי לסדר אותם מחדש, הביטויים שווים. ואז נוכל לכתוב אותם מחדש כך וקטור יעבור עם עצמו.
- ${\ begin {align} {\ mathbf {a}} ו- \ cdot ({\ mathbf {b}} \ times {\ mathbf {b}}) \\ {\ mathbf {b}} ו- \ cdot ({\ mathbf {a}} \ times {\ mathbf {a}}) \ end {align}}$
- עם זאת, אנו יודעים כי תוצר הצלב של וקטור עם עצמו הוא 0. מכיוון שמוצר נקודה של שני הווקטורים בסופו של דבר גם הוא 0, הם אורתוגונליים.

קרא גם: כיצד לקבוע קו = לשורש הריבועי של 3 מבחינה גיאומטרית?

כיצד לחשב תוצר צולב של שני וקטורים?

צעדים

שיטה 1 מתוך 2: חישוב המוצר הצולב

שיטה 2 מתוך 2: דוגמה

טיפים

שאלות ותשובות

קרא גם: