איך לתרץ את המכנה?
כדי לרציונליזציה של מכנה, התחל בכפלת המונה והמכנה ברדיקל במכנה. לאחר מכן, פשוט את השבר במידת הצורך. אם אתה עובד עם שבר שיש לו מכנה בינומי, או שני מונחים במכנה, הכפל את המונה והמכנה בצירוף המכנה. כדי לקבל את הצמידה, פשוט הפוך את הסימן בביטוי. לאחר מכן, פשוט את התשובה שלך לפי הצורך. כדי ללמוד כיצד לבצע רציונליזציה של מכנה עם שורש קוביה, גלול מטה!
אם אתה עובד עם שבר שיש לו מכנה בינומי, או שני מונחים במכנה, הכפל את המונה והמכנה בצירוף המכנה.
באופן מסורתי, לא ניתן להשאיר מספר רדיקלי או לא רציונלי במכנה (התחתון) של שבר. כאשר רדיקל אכן מופיע במכנה, עליכם להכפיל את השבר במונח או בקבוצת מונחים שיכולים להסיר את הביטוי הרדיקלי הזה. בעוד שהשימוש במחשבונים הופך רציונליזציה של שברים למתוארכים מעט, עדיין ניתן לבדוק את הטכניקה בכיתה.
חלק 1 מתוך 4: רציונליזציה של מכנה מונומאלי
- 1בחן את השבר. שבר כתוב נכון כשאין שום רדיקל במכנה. אם המכנה מכיל שורש ריבועי או רדיקל אחר, עליכם להכפיל את החלק העליון והתחתון במספר שיכול להיפטר מאותו רדיקל. שים לב שהמונה יכול להכיל רדיקל. אל תדאג למניין.
- הניתוח נכשל (שגיאת תחביר): {\ displaystyle \ frac {7 \ sqrt {3}} {2 \ sqrt {7}}
- אנו יכולים לראות שיש מכנה 7 {\ displaystyle {\ sqrt {7}}} .
- 2הכפל את המונה והמכנה ברדיקל במכנה. שבר עם מונח מונומי במכנה הוא הקל ביותר לרציונליזציה. יש להכפיל את החלק העליון והחלק התחתון של אותו שבר באותו מונח, כי מה שאתה באמת עושה הוא להכפיל ב -1.
- 7327⋅77 {\ displaystyle {\ frac {7 {\ sqrt {3}}} {2 {\ sqrt {7}}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {7}} {\ sqrt {7}}} }
- 3לפשט לפי הצורך. השבר עבר רציונליזציה.
- 7327⋅77 = 72114 = 212 {\ displaystyle {\ frac {7 {\ sqrt {3}}} {2 {\ sqrt {7}}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {7}} {\ sqrt { 7}}} = {\ frac {7 {\ sqrt {21}}} {14}} = {\ frac {\ sqrt {21}} {2}}}
כיצד אוכל לרציונליזציה של המכנה בעזרת שורש קוביה שיש לו משתנה?
חלק 2 מתוך 4: רציונליזציה של מכנה בינומי
- 1בחן את השבר. אם השבר שלך מכיל סכום של שני מונחים במכנה, שלפחות אחד מהם אינו רציונלי, אז אינך יכול להכפיל את השבר בו במונה ובמכנה.
- 42 + 2 {\ displaystyle {\ frac {4} {2 + {\ sqrt {2}}}}}
- כדי לראות מדוע זה המקרה, כתוב שבר שרירותי 1a + b, {\ displaystyle {\ frac {1} {a + b}},} כאשר {\ displaystyle a} ו- b {\ displaystyle b} אינם רציונליים. ואז הביטוי (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2 {\ displaystyle (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}} מכיל צלב -term 2AB. {\ displaystyle 2AB.} אם לפחות אחד א '{\ displaystyle a} ו B {\ b displaystyle} הוא לא רציונלי, אזי לטווח צלב יכיל הרדיקלי.
- בואו נראה איך זה עובד עם הדוגמה שלנו.
- 42 + 2⋅2 + 22 + 2 = 4 (2 + 2) 4 + 42 + 2 {\ displaystyle {\ frac {4} {2 + {\ sqrt {2}}}} \ cdot {\ frac {2+ {\ sqrt {2}}} {2 + {\ sqrt {2}}}} = {\ frac {4 (2 + {\ sqrt {2}})} {4 + 4 {\ sqrt {2}} + 2}}}
- כפי שאתה יכול לראות, אין סיכוי שנוכל להיפטר מה- 42 {\ displaystyle 4 {\ sqrt {2}}} במכנה לאחר שעשינו זאת.
- 2הכפל את השבר על ידי צמידת המכנה. הצמידה של ביטוי היא אותו ביטוי כשהסימן הפוך. לדוגמה, הצמידה של 2 + 2 {\ displaystyle 2 + {\ sqrt {2}}} היא 2−2. {\ Displaystyle 2 - {\ sqrt {2}}.}
- 42 + 2⋅2−22−2 {\ displaystyle {\ frac {4} {2 + {\ sqrt {2}}}} \ cdot {\ frac {2 - {\ sqrt {2}}} {2- { \ sqrt {2}}}}}
- מדוע הצמידה עובדת? אם נחזור לשבר השרירותי שלנו 1a + b, {\ displaystyle {\ frac {1} {a + b}},} הכפלת בצמידה במונה ובמכנה גורם למכנה להיות (a + b) (a − b) = a2 − b2. {\ displaystyle (a + b) (ab) = a ^ {2} -b ^ {2}.} המפתח כאן הוא שאין מונחים צולבים. מכיוון ששני המונחים הללו בריבוע, כל שורשים מרובעים יבוטלו.
- 3לפשט לפי הצורך.
- 42 + 2⋅2−22−2 = 4 (2−2) 4−2 = 4−22 {\ displaystyle {\ frac {4} {2 + {\ sqrt {2}}}} \ cdot {\ frac { 2 - {\ sqrt {2}}} {2 - {\ sqrt {2}}}} = {\ frac {4 (2 - {\ sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 {\ sqrt {2}}}
כיצד ניתן לרציונליזציה של שורש קוביה במכנה לשאלה כמו 1 / (שורש קוביה 5- שורש קוביה 3)?
חלק 3 מתוך 4: עבודה עם הדדיות
- 1בחן את הבעיה. אם תתבקש לכתוב הדדיות של קבוצה של מונחים המכילים רדיקל, תצטרך לבצע רציונליזציה לפני שתפשט. השתמש בשיטה עבור מכנים מונומאליים או בינומיים, תלוי בכל מה שחל על הבעיה.
- 2−3 {\ displaystyle 2 - {\ sqrt {3}}}
- 2כתוב את הגומלין כפי שהוא נראה בדרך כלל. הדדי נוצר כשאתה הופך את השבר. הביטוי שלנו 2−3 {\ displaystyle 2 - {\ sqrt {3}}} הוא למעשה שבר. זה פשוט מחולק ב -1.
- 12−3 {\ displaystyle {\ frac {1} {2 - {\ sqrt {3}}}}}
- 3הכפל במשהו שיכול להיפטר מהרדיקל בתחתית. זכרו, למעשה מכפילים ב- 1, לכן עליכם להכפיל את המונה וגם את המכנה. הדוגמה שלנו היא בינומית, לכן הכפל את החלק העליון והתחתון על ידי הצמידה.
- 12−3⋅2 + 32 + 3 {\ displaystyle {\ frac {1} {2 - {\ sqrt {3}}}} \ cdot {\ frac {2 + {\ sqrt {3}}} {2+ { \ sqrt {3}}}}}
- 4לפשט לפי הצורך.
- 12−3⋅2 + 32 + 3 = 2 + 34−3 = 2 + 3 {\ displaystyle {\ frac {1} {2 - {\ sqrt {3}}}} \ cdot {\ frac {2 + {\ sqrt {3}}} {2 + {\ sqrt {3}}}} = {\ frac {2 + {\ sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + {\ sqrt {3}}}
- אל תזרקו מהעובדה שהדדי הוא הצמידה. זה רק צירוף מקרים.
כדי לרציונליזציה של מכנה, התחל בכפלת המונה והמכנה ברדיקל במכנה.
חלק 4 מתוך 4: רציונליזציה של מכנים עם שורש קוביה
- 1בחן את השבר. אתה יכול גם לצפות להתמודד עם שורשי קוביות במכנה בשלב כלשהו, אם כי הם נדירים יותר. שיטה זו כללית גם לשורשים של כל אינדקס.
- 333 {\ displaystyle {\ frac {3} {\ sqrt [{3}] {3}}}}
- 2שכתב את המכנה מבחינת מעריכים. מציאת ביטוי שינחה את המכנה כאן תהיה קצת שונה מכיוון שאנחנו לא יכולים פשוט להכפיל את הרדיקל.
- 330,33 {\ displaystyle {\ frac {3} {3 ^ {0,33}}}}
- 3הכפל את החלק העליון והתחתון במשהו שהופך את המעריך במכנה 1. במקרה שלנו, אנו עוסקים בשורש קוביה, לכן הכפל ב -30,6730.67. {\ Displaystyle {\ frac {3 ^ {0,67}} {3 ^ {0,67}}}.} זכור שמעריכים הופכים בעיית כפל לבעיית תוספת על ידי המאפיין abac = ab + c. {\ Displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + ג}.}
- 330,33⋅30,6730.67 {\ displaystyle {\ frac {3} {3 ^ {0,33}}} \ cdot {\ frac {3 ^ {0,67}} {3 ^ {0,67}}} }
- זה יכול להכליל לשורשים ה- n במכנה. אם יש לנו 1a1 / n, {\ displaystyle {\ frac {1} {a ^ {1 / n}}}, אנו מכפילים את החלק העליון והתחתון ב- a1−1n. {\ Displaystyle a ^ {1 - {\ frac {1} {n}}}.} זה יהפוך את המעריך למכנה 1.
- 4לפשט לפי הצורך.
- 330,33⋅30,6730.67 = 30,67 {\ displaystyle {\ frac {3} {3 ^ {0,33}}} \ cdot {\ frac {3 ^ {0,67}} {3 ^ {0, 67}}} = 3 ^ {0,67}}
- אם אתה צריך לכתוב את זה בצורה רדיקלית, חשוב את ה 0,33. {\ Displaystyle 0,33.}
- 30,67 = (32) 0,33 = 93 {\ displaystyle 3 ^ {0,67} = (3 ^ {2}) ^ {0,33} = {\ sqrt [{3}] {9}}}
![{\ frac {3} {{\ sqrt [{3}] {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a37ab9394065e1be3dca1eeb4e96021d86c08a2)
![3 ^ {{0,67}} = (3 ^ {{2}}) ^ {{0,33}} = {\ sqrt [{3}] {9}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e059be31ff9a14ad50f7f395de6079811267a674)
קרא גם: כיצד לחשב סיכויים?
שאלות ותשובות
- איך אני יכול לרציונליזציה עם שלוש מונחים?משהו כמו 1 / (1 + root2 + root3)? אם כן, קבץ כ- 1+ (root2 + root3) והכפל באמצעות "הפרש הריבועים המצומדים" 1- (root2 + root3). זה הופך את המכנה -4 - root6, שעדיין אינו רציונלי, אך השתפר משני מונחים לא רציונליים לאחד בלבד. אז חזור על אותו טריק על ידי הכפלתו באמצעות -4 + root6 והמכנה רציונליזציה.
- בתמונות שלך, מה המשמעות של הנקודה?אם אתה שואל לגבי הנקודות המוצבות בין שברים שונים, אלה סימני כפל. לדוגמה, בתמונה השנייה של המאמר אנו רואים (7√3) / (2√7), ואז נקודה ואז (√7 / √7). זה אומר שאנחנו מכפילים את השבר הראשון בשבר השני (מונה כפול מונה ומכנה כפול כפול), נותנים לנו (7√21) / 14, מה שמפשט ל √21 / 2. (אגב, המאמר מציג כמה נקודות אחרות ש אינם בין שברים. אלה רק "נקודות קליע".)
- כיצד ניתן לרציונליזציה של שורש קוביה במכנה לשאלה כמו 1 / (שורש קוביה 5- שורש קוביה 3)?זה קצת יותר מסובך, אבל אפשר לעשות את זה. הכפל את החלק העליון והתחתון ב (cuberoot 25 + cuberoot 15 + cuberoot 9) והמכנה מפשט ל -2. הטריק הזה מקביל למקרה הריבועי מכיוון שהוא משתמש בהפרש של קוביות פקטורציה של 5-3, ואילו הריבועים משתמשים בהפרש של פקטוריזציה של ריבועים.
- כיצד אוכל לרציונליזציה של המכנה בעזרת שורש קוביה שיש לו משתנה?אם מדובר בביטוי בינומי, בצע את השלבים המתוארים בשיטה 2.
