כיצד למצוא את מקדם המתאם?
כדי למצוא את מקדם המתאם ביד, הכנס תחילה את זוגות הנתונים שלך לטבלה עם שורה אחת שכותרתה "X" והשנייה "Y." ואז חישב את ממוצע ה- X על ידי הוספת כל ערכי ה- X וחלק את מספר הערכים. חשב את הממוצע עבור Y באותו אופן. לאחר מכן, השתמש בנוסחה לסטיית תקן כדי לחשב אותה עבור X ו- Y. לבסוף, השתמש באמצעים ובסטיות התקן ובמספר הזוגות בערכת הנתונים שלך כתשומות לנוסחת מקדם המתאם, ופתור את המשוואה המתקבלת. כדי ללמוד כיצד למצוא את מקדם המתאם עם מחשבון מקוון או מחשבון גרפים משלך, המשך לקרוא!
מקדם המתאם נקרא לפעמים "מקדם המתאם של מוצר-רגע-המוצר" לכבוד היזם שלו, קרל פירסון.
מקדם המתאם, המסומן כ- r או ρ, הוא מדד המתאם הליניארי (היחס, הן מבחינת חוזק והן כיוון) בין שני משתנים. זה נע בין -1 ל -1, כאשר סימני הפלוס והמינוס משמשים לייצוג מתאם חיובי ושלילי. אם מקדם המתאם הוא בדיוק -1, אז הקשר בין שני המשתנים הוא התאמה שלילית מושלמת; אם מקדם המתאם הוא +1 בדיוק, אז הקשר מתאים באופן חיובי מושלם. אחרת, שני משתנים עשויים להיות בעלי מתאם חיובי, מתאם שלילי או ללא מתאם כלל. אתה יכול לחשב מתאם ידנית, באמצעות כמה מחשבוני מתאם בחינם הזמינים באינטרנט, או באמצעות פונקציות סטטיסטיות של מחשבון גרפים טוב.
שיטה 1 מתוך 4: מציאת מקדם המתאם ביד
- 1אסף את הנתונים שלך. כדי להתחיל בחישוב יעיל המתאם, בדוק תחילה את זוגות הנתונים שלך. כדאי להכניס אותם לשולחן, אנכית או אופקית. תייג כל שורה או עמודה x ו- y.
- לדוגמה, נניח שיש לך ארבעה זוגות נתונים עבור x ו- y. השולחן שלך עשוי להיראות כך:
- x || y
- 1 || 1
- 2 || 3
- 4 || 5
- 5 || 7
- לדוגמה, נניח שיש לך ארבעה זוגות נתונים עבור x ו- y. השולחן שלך עשוי להיראות כך:
- 2חשב את הממוצע של x. כדי לחשב את הממוצע, עליך להוסיף את כל הערכים של x ואז לחלק למספר הערכים.
- בעזרת הדוגמה שלעיל, שים לב שיש לך ארבעה ערכים עבור x. כדי לחשב את הממוצע, הוסף את כל הערכים שניתנו עבור x ואז חלק עם 4. החישוב שלך ייראה כך:
- μx = (1 + 2 + 4 + 5) / 4 {\ displaystyle \ mu _ {x} = (1 + 2 + 4 + 5) / 4}
- μx = 10,5 {\ displaystyle \ mu _ {x} = 10,5}
- μx = 3 {\ displaystyle \ mu _ {x} = 3}
- 3מצא את הממוצע של y. כדי למצוא את הממוצע של y, בצע את אותם השלבים, הוסף את כל הערכים של y יחד, ואז חלק את מספר הערכים.
- בדוגמה לעיל יש לך גם ארבעה ערכים עבור y. הוסף את כל הערכים האלה ואז חלק עם 4. החישובים שלך ייראו כך:
- μy = (1 + 3 + 5 + 7) / 4 {\ displaystyle \ mu _ {y} = (1 + 3 + 5 + 7) / 4}
- μy = 11,5 {\ displaystyle \ mu _ {y} = 11,5}
- μy = 4 {\ displaystyle \ mu _ {y} = 4}
- 4קבע את סטיית התקן של x. ברגע שיש לך את האמצעים שלך, אתה יכול לחשב סטיית תקן. לשם כך, השתמש בנוסחה:
- σx = 1n − 1Σ (x − μx) 2 {\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ sqrt {{\ frac {1} {n-1}} \ Sigma (x- \ mu _ {x}) ^ {2}}}}
- עם נתוני הדוגמה, החישובים שלך צריכים להיראות כך:
- σx = 14−1 ∗ ((1−3) 2+ (2−3) 2+ (4−3) 2+ (5−3) 2) {\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ sqrt {{ \ frac {1} {4-1}} * ((1-3) ^ {2} + (2-3) ^ {2} + (4-3) ^ {2} + (5-3) ^ { 2})}}}
- σx = 13 ∗ (4 + 1 + 1 + 4) {\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ sqrt {{\ frac {1} {3}} * (4 + 1 + 1 + 4)}}
- σx = 13 ∗ (10) {\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ sqrt {{\ frac {1} {3}} * (10)}}}
- σx = 103 {\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ sqrt {\ frac {10} {3}}}}
- σx = 1,83 {\ displaystyle \ sigma _ {x} = 1,83}
- 5חשב את סטיית התקן של y. בעזרת אותם שלבים בסיסיים, מצא את סטיית התקן של y. תשתמש באותה נוסחה, תוך שימוש בנקודות הנתונים y.
- עם נתוני הדוגמה, החישובים שלך צריכים להיראות כך:
- σy = 14−1 ∗ ((1−4) 2+ (3−4) 2+ (5−4) 2+ (7−4) 2) {\ displaystyle \ sigma _ {y} = {\ sqrt {{ \ frac {1} {4-1}} * ((1-4) ^ {2} + (3-4) ^ {2} + (5-4) ^ {2} + (7-4) ^ { 2})}}}
- σy = 13 ∗ (9 + 1 + 1 + 9) {\ displaystyle \ sigma _ {y} = {\ sqrt {{\ frac {1} {3}} * (9 + 1 + 1 + 9)}}
- σy = 13 ∗ (20) {\ displaystyle \ sigma _ {y} = {\ sqrt {{\ frac {1} {3}} * (20)}}}
- σy = 203 {\ displaystyle \ sigma _ {y} = {\ sqrt {\ frac {20} {3}}}}
- σy = 2,58 {\ displaystyle \ sigma _ {y} = 2,58}
- 6סקור את הנוסחה הבסיסית למציאת מקדם מתאם. הנוסחה לחישוב מקדם המתאם משתמשת באמצעים, סטיות תקן ומספר הזוגות במערך הנתונים שלך (המיוצג על ידי n). מקדם המתאם עצמו מיוצג על ידי האות הקטנה r או האות היוונית הקטנה rho, ρ. עבור מאמר זה, תשתמש בנוסחה המכונה מקדם המתאם פירסון, המוצג להלן:
- ρ = (1n − 1) Σ (x − μxσx) ∗ (y − μyσy) {\ displaystyle \ rho = \ left ({\ frac {1} {n-1}} \ right) \ Sigma \ left ({\ frac {x- \ mu _ {x}} {\ sigma _ {x}}} \ ימין) * \ left ({\ frac {y- \ mu _ {y}} {\ sigma _ {y}}} \ ימין)}
- יתכן שתבחין בשינויים קלים בנוסחה, כאן או בטקסטים אחרים. לדוגמא, חלק ישתמשו בסימון היווני עם rho ו- sigma, בעוד שאחרים ישתמשו ב- r ו- s. טקסטים מסוימים עשויים להציג נוסחאות שונות במקצת; אך הם יהיו שווים מתמטית לזו.
- 7מצא את מקדם המתאם. כעת יש לך את האמצעים וסטיות התקן עבור המשתנים שלך, כך שתוכל להמשיך להשתמש בנוסחת מקדם המתאם. זכור כי n מייצג את מספר הערכים שיש לך. השלמתם את המידע הרלוונטי האחר בשלבים שלמעלה.
- באמצעות נתוני המדגם, היית מזין את הנתונים שלך בנוסחת מקדם המתאם ומחשב כדלקמן:
- ρ = (1n − 1) Σ (x − μxσx) ∗ (y − μyσy) {\ displaystyle \ rho = \ left ({\ frac {1} {n-1}} \ right) \ Sigma \ left ({\ frac {x- \ mu _ {x}} {\ sigma _ {x}}} \ ימין) * \ left ({\ frac {y- \ mu _ {y}} {\ sigma _ {y}}} \ ימין)}
- ρ = (13) ∗ {\ displaystyle \ rho = \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) *} [ (1−31,83) ∗ (1−42,58) + (2− 31,83) ∗ (3−42,58) {\ displaystyle \ left ({\ frac {1-3} {1,83}} \ right) * \ left ({\ frac {1-4} {2, 58}} \ ימין) + \ שמאל ({\ frac {2-3} {1,83}} \ ימין) * \ שמאל ({\ frac {3-4} {2,58}} \ ימין)}
+ (4−31,83) ∗ (5−42,58) + (5−31,83) ∗ (7−42,58) {\ displaystyle + \ left ({\ frac {4-3} {1,83 }} \ ימין) * \ שמאל ({\ frac {5-4} {2,58}} \ ימין) + \ שמאל ({\ frac {5-3} {1,83}} \ ימין) * \ שמאל ({\ frac {7-4} {2,58}} \ ימין)} ] - ρ = (13) ∗ (6 + 1 + 1 + 64,721) {\ displaystyle \ rho = \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) * \ left ({\ frac {6 + 1 + 1 +6} {4,721}} \ ימנית)}
- ρ = (13) ∗ 2,965 {\ displaystyle \ rho = \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) * 2,965}
- ρ = (2,9653) {\ displaystyle \ rho = \ left ({\ frac {2,965} {3}} \ right)}
- ρ = 0,988 {\ displaystyle \ rho = 0,988}
- 8פרש את התוצאה שלך. עבור מערך נתונים זה, מקדם המתאם הוא 0,988. המספר הזה אומר לך שני דברים לגבי הנתונים. התבונן בסימן המספר ובגודל המספר.
- מכיוון שמקדם המתאם חיובי, ניתן לומר שיש מתאם חיובי בין נתוני ה- x לנתוני ה- y. פירוש הדבר שככל שערכי x גדלים, אתה מצפה שגם ערכי y יגדלו.
- מכיוון שמקדם המתאם קרוב מאוד ל -1, נתוני ה- x ונתוני ה- y מאוד קשורים זה לזה. אם היית משרטט נקודות אלה, היית רואה שהן מהוות קירוב טוב מאוד לקו ישר.
מקדם המתאם הוא מספר יחיד שתוכלו לחשב עבור כל שתי קבוצות של נקודות נתונים.
שיטה 2 מתוך 4: שימוש במחשבוני מתאם מקוונים
- 1חפש באינטרנט מחשבוני מתאם. מדידת המתאם היא חישוב סטנדרטי למדי עבור סטטיסטיקאים. החישוב יכול להיות מייגע מאוד אם נעשה ביד עבור מערכי נתונים גדולים. כתוצאה מכך, מקורות רבים הפכו מחשבוני מתאם לזמינים ברשת. השתמש בכל מנוע חיפוש והזן את מונח החיפוש "מחשבון מתאם".
- 2הכנס את המידע שלך. עיין בזהירות בהוראות באתר כדי שתזין את הנתונים שלך כהלכה. חשוב שזוגות הנתונים שלך יישמרו בסדר, או שתיצור תוצאת מתאם שגויה. אתרים שונים משתמשים בפורמטים שונים להזנת נתונים.
- לדוגמא, באתר http://ncalculators.com/statistics/correlation-coefficient-calculator.htm, תמצאו תיבה אופקית אחת להזנת ערכי x ותיבה אופקית שניה להזנת ערכי y. אתה מזין את התנאים שלך, מופרדים רק בפסיקים. לפיכך, יש להזין את ערכת הנתונים x שחושבה קודם במאמר זה כ- 12,45. מערך הנתונים y צריך להיות 13,57.
- באתר אחר, http://alcula.com/calculators/statistics/correlation-coefficient/, תוכלו להזין נתונים בצורה אופקית או אנכית, כל עוד תשמרו על נקודות הנתונים בסדר.
- 3חשב את התוצאות שלך. אתרי חישוב אלה פופולריים מכיוון שלאחר הזנת הנתונים שלך, בדרך כלל אתה צריך רק ללחוץ על הכפתור שאומר "חשב", והתוצאה תופיע אוטומטית.
מכיוון שמקדם המתאם חיובי, ניתן לומר שיש מתאם חיובי בין נתוני ה- x לנתוני ה- y.
שיטה 3 מתוך 4: שימוש במחשבוני גרפים
- 1הכנס את המידע שלך. באמצעות מחשבון גרפים כף יד, הזן את פונקציית הסטטיסטיקה של המחשבון שלך ואז בחר בפקודה "ערוך".
- לכל מחשבון יהיו פקודות מקשים שונות במקצת. מאמר זה ייתן את ההוראות הספציפיות ל- Texas Instruments TI-86.
- היכנס לפונקציה Stat על ידי לחיצה על [2nd] -Stat (מעל מקש +), ואז הקש F2-Edit.
- 2נקה את הנתונים המאוחסנים הישנים. רוב המחשבונים ישמרו נתונים סטטיסטיים עד לניקוי. כדי לוודא שאינך מבלבל בין נתונים ישנים לנתונים חדשים, ראשית עליך למחוק כל מידע שנשמר בעבר.
- השתמש במקשי החצים כדי להזיז את הסמן כדי להדגיש את הכותרת "xStat." לאחר מכן לחץ על נקה והזן. זה אמור לנקות את כל הערכים בעמודה xStat.
- השתמש במקשי החצים כדי להדגיש את הכותרת של yStat. לחץ על נקה והזן כדי לרוקן גם את הנתונים מאותה עמודה.
- 3הזן את ערכי הנתונים שלך. בעזרת מקשי החצים, הזז את הסמן למרחב הראשון מתחת לכותרת xStat. הקלד את ערך הנתונים הראשון שלך ואז הקש Enter. אתה אמור לראות את החלל בתחתית המסך "xStat (1) = _", כאשר הערך שלך ממלא את החלל הריק. כאשר תלחץ על Enter, הנתונים ימלאו את הטבלה, הסמן יעבור לשורה הבאה, והשורה בתחתית המסך אמורה לקרוא כעת "xStat (2) = _."
- המשך להזין את כל ערכי ה- x-data.
- לאחר שתשלים את נתוני ה- x, השתמש במקשי החצים כדי לעבור לעמודה yStat והזן את ערכי ה- y-data.
- לאחר הזנת כל הנתונים, הקש על יציאה כדי לנקות את המסך ולעזוב את תפריט Stat.
- 4חשב את הסטטיסטיקה של רגרסיה ליניארית. מקדם המתאם הוא מדד עד כמה הנתונים מקורבים לקו ישר. מחשבון גרפי סטטיסטי יכול לחשב במהירות רבה את קו ההתאמה הטובה ביותר ואת מקדם המתאם.
- הזן את הפונקציה Stat ולאחר מכן לחץ על כפתור Calc. ב- TI-86, זה [2] [Stat] [F1].
- בחר את חישובי הרגרסיה הליניארית. ב- TI-86, זהו [F3], שכותרתו "LinR". על המסך הגרפי להציג את השורה "LinR _", עם סמן מהבהב.
- כעת עליך להזין את שמות שני המשתנים שברצונך לחשב. אלה הם xStat ו- yStat.
- ב- TI-86 בחר את רשימת השמות על ידי לחיצה על [2] [רשימה] [F3].
- בשורה התחתונה של המסך שלך אמור להציג כעת את המשתנים הזמינים. בחר [xStat] (זה כנראה כפתור F1 או F2), ואז הזן פסיק ואז [yStat].
- לחץ על Enter כדי לחשב את הנתונים.
- 5פרש את התוצאות שלך. כאשר תלחץ על Enter, המחשבון יחשב באופן מיידי את המידע הבא עבור הנתונים שהזנת:
- y = a + bx {\ displaystyle y = a + bx} : זו הנוסחה הכללית לקו ישר. עם זאת, במקום "y = mx + b" המוכר, הדבר מוצג בסדר הפוך.
- a = {\ displaystyle a =} . זהו הערך של יירוט ה- y של הקו המתאים ביותר.
- b = {\ displaystyle b =} . זהו המדרון של הקו המתאים ביותר.
- corr = {\ displaystyle {\ text {corr}} =} . זהו מקדם המתאם.
- n = {\ displaystyle n =} . זהו מספר זוגות הנתונים ששימשו לחישוב.
שיטה 4 מתוך 4: סקירת היסודות
- 1להבין את מושג המתאם. מתאם מתייחס ליחס הסטטיסטי בין שתי כמויות. מקדם המתאם הוא מספר יחיד שתוכלו לחשב עבור כל שתי קבוצות של נקודות נתונים. המספר תמיד יהיה משהו בין -1 ל +1, והוא מציין עד כמה שני מערכי הנתונים קשורים זה לזה.
- לדוגמא, אם היית מודד את הגבהים והגילאים של ילדים עד גיל 12 בערך, היית מצפה למצוא מתאם חיובי חזק. ככל שילדים מתבגרים, הם נוטים להיות גבוהים יותר.
- דוגמה למתאם שלילי יהיו נתונים המשווים את משך הזמן של האדם לתרגל זריקות גולף ואת ציון הגולף של אותו אדם. ככל שהתרגול עולה, הציון אמור לרדת.
- לבסוף, היית מצפה למתאם מעט מאוד, חיובי או שלילי, בין מידת הנעליים של האדם, למשל, לבין ציוני ה- SAT.
- 2דע כיצד למצוא ממוצע. הממוצע החשבוני, או "הממוצע", של קבוצת נתונים מחושב על ידי הוספת כל ערכי הנתונים יחד, ואז חלוקה במספר הערכים בערכה. כאשר אתה מוצא את מקדם המתאם עבור הנתונים שלך, יהיה עליך לחשב את הממוצע של כל קבוצת נתונים.
- הממוצע של משתנה מסומן על ידי המשתנה עם קו אופקי מעליו. זה נקרא לעתים קרובות "סרגל x" או "סרגל y" עבור ערכות הנתונים x ו- y. לחלופין, ניתן לסמן את הממוצע באות היוונית הקטנה mu, μ. כדי לציין את הממוצע של נקודות x נתונים, למשל, אתה יכול לכתוב μ x או μ (x).
- לדוגמא, אם יש לך קבוצה של נקודות x נתונים (12,56,910), הממוצע של נתונים אלה מחושב כדלקמן:
- μx = (1 + 2 + 5 + 6 + 9 + 10) / 6 {\ displaystyle \ mu _ {x} = (1 + 2 + 5 + 6 + 9 + 10) / 6}
- μx = 30,5 {\ displaystyle \ mu _ {x} = 30,5}
- μx = 5,5 {\ displaystyle \ mu _ {x} = 5,5}
- 3שימו לב לחשיבות של סטיית התקן. בסטטיסטיקה, סטיית התקן מודדת וריאציה, ומראה כיצד מספרים פרוסים ביחס לממוצע. קבוצת מספרים עם סטיית תקן נמוכה נאספת בחוזקה למדי. קבוצת מספרים עם סטיית תקן גבוהה מפוזרת באופן נרחב.
- באופן סמלי, סטיית התקן מתבטאת באותיות הקטנות s או באות היוונית הקטנה sigma, σ. לפיכך, סטיית התקן של נתוני ה- x נכתבת כ- s x או σ x.
- 4זיהוי סימון סיכום. אופרטור הסיכום הוא אחד המפעילים הנפוצים ביותר במתמטיקה, המציין סכום ערכים. היא מיוצגת על ידי האות היוונית של אותיות גדולות, סיגמא או ∑.
- כדוגמה, אם יש לך קבוצה של נקודות x נתונים (12,56,910), אז ∑x פירושו:
- 1 + 2 + 5 + 6 + 9 + 10 = 33.
- כדוגמה, אם יש לך קבוצה של נקודות x נתונים (12,56,910), אז ∑x פירושו:
באופן כללי, מקדם מתאם גבוה מ- 0,8 (חיובי או שלילי) מייצג מתאם חזק; מקדם מתאם נמוך מ- 0,5 (שוב חיובי או שלילי) מייצג חלש.
- מקדם המתאם מכונה לעיתים "מקדם המתאם של מוצר-פירסון-רגע" לכבוד היזם שלו, קרל פירסון.
- באופן כללי, מקדם מתאם גבוה מ- 0,8 (חיובי או שלילי) מייצג מתאם חזק; מקדם מתאם נמוך מ- 0,5 (שוב חיובי או שלילי) מייצג חלש.
- המתאם מראה ששתי קבוצות הנתונים מחוברות בצורה כלשהי. עם זאת, היזהר שלא לפרש זאת כסיבתיות. לדוגמא, אם תשווה בין מידות הנעליים של אנשים לגובהם, כנראה שתמצא מתאם חיובי חזק. לאנשים גבוהים יש בדרך כלל רגליים גדולות יותר. עם זאת, אין זה אומר שגידול גבוה גורם לרגליים שלך לצמוח, או שכפות רגליים גדולות גורמות לך לגדול. הם פשוט קורים ביחד.
קרא גם: איך עושים מפעלים?
שאלות ותשובות
- אתה מקבל את המידע הבא על שני משתנים x ו- y: ממוצע (x) = 315 וממוצע (y) = 1103. שונות (x) = 59 ושונות (y) = 156. משתנות (x, y) = -54. חשב את מקדם המתאם בין X ל- Y. חשב את תשובתך לשני מקומות עשרוניים.שאלה זו מעלה רמה גבוהה יותר של סטטיסטיקה ממה שעוסק במאמר זה. ניתן לחשב את מקדם המתאם מתוך האמצעים, השונות והמשתנות, מבלי שיהיו למעשה נקודות הנתונים המקוריות מלכתחילה. הקשר הוא מקדם מתאם = משתנה / ((סט. Dev. (X) * (Std. Dev. (Y)). סטיית התקן היא שורש הריבוע של השונות. לכן, עם הנתונים שלך, זה מפשט לקור. מקדם = - 54 / sqrt (59) sqrt (156) = -0,56.
שאלות ללא מענה
- מה ההבדל בין מקדם לבין שיפוע המתאם?
