כיצד למצוא פקטוריזציה ראשונית?
כדי למצוא את הפקטוריזציה הראשונית של מספר, כתוב את המספר בחלק העליון של דף הנייר, וצייר שני "ענפים" שיוצאים ממנו. לאחר מכן, מצא כל 2 מספרים המתרבים יחד כדי ליצור את המספר איתו התחלת והניח אותם בקצות הענפים. חזור על התהליך עם שני המספרים האלה, מקיפים את המספרים הראשוניים כשמגיעים אליהם, עד שנשארים עם המספרים הראשוניים בלבד. אם מכפילים את כל המספרים הראשוניים האלה יחד, עליכם לקבל את המספר המקורי. כדי ללמוד כיצד להשתמש בפקטוריזציה ראשונית לאיתור גורמים נפוצים ביותר, המשך לקרוא!
אם תתבקש למצוא את הפקטוריזציה הראשונית של מספר ראשוני, אינך צריך לעשות שום עבודה.
פקטוריזציה ראשונית מפרקת מספר לאבני הבניין הפשוטות ביותר שלו. אם אתה שונא לעבוד עם מספרים גדולים כמו 5733, למד כיצד להפוך אותו ל -3 x 3 x 7 x 7 x 13 במקום זאת. סוג זה של בעיה חיוני לקריפטוגרפיה, או לטכניקות המשמשות לאבטחת מידע. אם אתה עדיין לא מוכן ליצור מערכת דוא"ל מאובטחת משלך, נסה להשתמש בפקטוריזציה ראשונית כדי להקל על השברים במקום זאת.
חלק 1 מתוך 2: מציאת פקטוריזציה ראשונית
- 1להבין פקטוריזציה. פקטוריזציה היא תהליך של "פירוק" מספר לחלקים קטנים יותר. חלקים אלה, או גורמים, מתרבה זה עם זה בכדי להשתוות למספר המקורי.
- לדוגמה, כדי לפקוד את המספר 18, חלק אותו ל- 1 x 18, או ל- 2 x 9, או ל- 3 x 6.
- 2סקור מספרים ראשוניים. למספר ראשוני יש רק שני גורמים: עצמו ו- 1. המספר 5, למשל, הוא תוצר של 5 ו- 1. לא ניתן לפרק אותו למספרים אחרים. מטרת הפקטוריזציה הראשונית היא להמשיך ולפרק מספר עד שיישארו רק ראשוניים. זה שימושי במיוחד כאשר מטפלים בשברים, מה שמקל עליהם להשוות ולהשתמש במשוואות.
- 3התחל עם מספר. בחר כל מספר שאינו ראשוני גדול מ- 3. אין טעם להתחיל עם מספר ראשוני, מכיוון שאין שום דרך להכניס אותו לפקטור.
- דוגמא: במדריך זה נמצא את הפקטוריזציה הראשונית של 24.
- 4חלק אותו לשני מספרים. מצא שני מספרים המכופלים יחד כדי ליצור את המספר איתו התחלת. אתה יכול להשתמש בכל שניים שאתה יכול לחשוב עליהם, אבל מספר ראשוני יקל על העבודה שלך. אסטרטגיה טובה אחת היא לנסות לחלק את המספר ב -2, ואז 3, ואז 5, לעבוד דרך המספרים הראשוניים עד שתמצא אחד שמתחלק באופן שווה.
- דוגמה: אם אתה לא יודע שום גורמי 24, לנסות וחלוקתו על ידי מספרים ראשוניים קטנים. בואו נחלק ב -2 כדי לקבל 24 = 2 x 12. עדיין לא סיימנו, אבל זו התחלה טובה.
- מכיוון ש- 2 הוא ראשוני, זוהי דרך קלה להתחיל עם פקטור כל מספר זוגי.
- 5התחל ליצור עץ גורם. עץ גורם הוא דרך קלה לעקוב אחר בעיית פקטוריזציה. כדי להתחיל אחד, פשוט צייר שני "ענפים" המתפצלים כלפי מטה מהמספר המקורי. כתוב את שני הגורמים שלך בסוף הענפים האלה.
- דוגמא:
- 24
- / \
- 2 12
- 6פקטור שורת המספרים הבאה. התבונן בשני המספרים החדשים שלך (השורה השנייה בעץ הגורם שלך). האם שניהם ראשוניים? אם אחד מהם אינו ראש הממשלה, חשוב זאת שוב באותו אופן. צייר ענפים נוספים על העץ וכתב את הגורמים החדשים בשורה שלישית.
- דוגמא: 12 אינו ראשוני, ולכן אנו גורמים לכך שוב. בואו נשתמש ב- 12 = 2 x 6 ונוסיף אותו לעץ הגורמים:
- 24
- / \
- 2 12
- / \
- 2 x 6
- 7תוריד פריים. אם אחד הגורמים הוא ראשוני, הורידו אותו לשורה הבאה עם "ענף" יחיד. אין שום דרך לפרק את זה עוד יותר, אז אנחנו פשוט עוקבים אחר זה לעת עתה.
- דוגמה: 2 הוא מספר ראשוני. תביא את 2 מהשורה השנייה למטה לשלישית.
- 24
- / \
- 2 12
- / / \
- 2 2 6
- 8המשך בפקטורינג עד שנשאר לך רק ראשוני. בדוק כל שורה חדשה בעץ הגורמים ברגע שאתה כותב אותה. אם ניתן לחשוב שוב על אחד מהמספרים, בצע שורה חדשה. סיימת ברגע שנותרו רק מספרים ראשוניים.
- דוגמה: 6 הוא מספר שאינו ראשוני ויש לחשוב עליו שוב. 2 הוא מספר ראשוני, אז אנחנו רק מורידים את 2s לשורה הבאה.
- 24
- / \
- 2 12
- / / \
- 2 2 6
- / / / \
- 2 2 2 3
- 9כתוב את השורה הסופית כגורמים העיקריים שלך. בסופו של דבר, יישארו לך רק מספרים ראשוניים. כשזה קורה, סיימת פקטורינג. הגורם העיקרי הוא השורה האחרונה של המספרים, שנכתבת כבעיית כפל.
- בדוק את עבודתך על ידי הכפלת השורה האחרונה יחד. זה צריך להיות שווה למספר המקורי.
- דוגמה: בשורה הסופית של עץ הגורמים שלנו אין דבר מלבד 2 ו -3. שניהם ראשוניים, אז סיימנו. אנו יכולים לכתוב את הפקטוריזציה הראשונית של 24 כ- 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
- סדר הגורמים לא משנה. 2 x 3 x 2 x 2 היא גם תשובה נכונה.
- 10פשט באמצעות אקספוננטים (אופציונלי). אם אתה יודע לכתוב אקספוננטים, אתה יכול להקל על קריאת הגורם העיקרי. זכרו, אקספוננט הוא מספר בסיס, ואחריו מספר מורם המציין כמה פעמים הבסיס מוכפל.
- דוגמה: בפקטור 2 x 2 x 2 x 3, כמה פעמים מופיע 2? מכיוון שהתשובה היא "שלוש", אנו יכולים לפשט 2 x 2 x 2 עם 23. הגורם העיקרי המפשט הוא 23 x 3.
כך תוכל למצוא את ה- GCF של 30 ו -36, תוך שימוש בפקטוריזציה ראשונית: מצא את הפקטוריזציות הראשוניות של שני המספרים.
חלק 2 מתוך 2: שימוש בפקטוריזציה ראשונית
- 1מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של שני מספרים. הגורם המשותף הגדול ביותר (GCF) הגדול ביותר של שני מספרים הוא המספר הגדול ביותר שגורם לשני המספרים. כך תוכל למצוא את ה- GCF של 30 ו -36, תוך שימוש בפקטוריזציה ראשונית:
- מצא את הפקטורציות העיקריות של שני המספרים. הפקטוריזציה הראשונית של 30 היא 2 x 3 x 5. הפקטורציה הראשונית של 36 היא 2 x 2 x 3 x 3.
- מצא מספר שמופיע בשני הגורמים הראשוניים. חצו אותו פעם אחת בכל רשימה וכתבו אותו על שורה חדשה. לדוגמא, 2 נמצא בשתי הרשימות, ולכן אנו כותבים 2 בשורה חדשה. נשארנו עם 30 =
2x 3 x 5 ו- 36 =2x 2 x 3 x 3. - חזור על הפעולה עד שאין יותר גורמים משותפים. יש גם 3 בשתי הרשימות, אז כתוב אותו בשורה החדשה שלך כדי ליצור 2 ו -3. השווה 30 =
2 x 3x 5 ו- 36 =2x 2 x3x 3. אין עוד מספרים משותפים. - כדי למצוא את ה- GCF, הכפל את כל הגורמים המשותפים יחד. יש לנו רק 2 ו -3 בדוגמה שלנו, כך שה- GCF הוא 2 x 3 = 6. זהו המספר הגדול ביותר שהוא גם גורם של 30 וגם גורם של 36.
- 2לפשט שברים עם GCF. השתמש בגורם המשותף הגדול ביותר בכל פעם שאתה חושד ששבר אינו בצורה הפשוטה ביותר. מצא את ה- GCF של המונה והמכנה, תוך שימוש בתהליך לעיל. לאחר שמצאת אותו, חלק את שני חלקי השבר לפי ה- GCF. התשובה תהיה אותה שבר בצורה הפשוטה ביותר.
- לדוגמה, לפשט את השבר 30 / 36. כבר גילינו שה- GCF הוא 6, אז חלקו את המונה וגם את המכנה ב- 6:
- 30 ÷ 6 = 5
- 36 ÷ 6 = 6
- 30 / 36 = 5/6
- 3מצא את המכפיל הפחות נפוץ של שני מספרים. הכפל הנפוץ ביותר (LCM) של שני מספרים הוא המספר הקטן ביותר שיש בו את שני המספרים הראשונים כגורמים. לדוגמא, ה- LCM של 2 ו- 3 הוא 6, מכיוון שיש בו גם 2 וגם 3 כגורמים. הנה דוגמה למציאת LCM מגורם ראשוני:
- התחל בשני פקטורציות ראשוניות. לדוגמא, הפקטורציה הראשונית של 126 היא 2 x 3 x 3 x 7. הפקטורציה הראשונית של 84 היא 2 x 2 x 3 x 7.
- עבור כל גורם ייחודי, השווה את מספר הפעמים שהוא מופיע בכל רשימה. בחר רשימה שבה היא מופיעה במספר הפעמים הגדול ביותר, וסביב כל מופע. לדוגמה, 2 מופיע פעם אחת בגורמים 126, אך פעמיים ברשימה עבור 84. מעגל את 2 x 2 ברשימה השנייה.
- חזור על כך עבור כל גורם ייחודי. לדוגמא, 3 מופיע לרוב ברשימה הראשונה, אז מעגל שם את 3 x 3. 7 מופיע רק פעם אחת בכל רשימה, אז מעגל 7 יחיד. (לא משנה באיזו רשימה תבחר כשיש עניבה.)
- הכפל את כל המספרים המוקפים שלך יחד כדי למצוא את ה- LCM. בדוגמה שלנו, המכפיל הנפוץ ביותר של 126 ו -84 הוא 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. זהו המספר הקטן ביותר שיש בו גם 126 וגם 84 כגורמים.
- 4השתמש ב- LCM בעת הוספת שברים. לפני שתוכל להוסיף שני שברים יחד, המכנים שלהם חייבים להיות זהים. מצא את הכפול הנפוץ ביותר משני המכנים. הכפל כל שבר כך שהמכנה החדש הוא ה- LCM. לאחר ששני השברים יהיו בצורה זו, תוכל להוסיף אותם יחד.
- לדוגמה, אנחנו רוצים לפתור 1/6 + 4 / 21.
- באמצעות השיטה הנ"ל, אנו יכולים למצוא את LCM של 6 ו 21. התשובה היא 42.
- הפעל 1/6 לשבר עם 42 כמכנה. כדי לעשות זאת, לפתור 42 ÷ 6 = 7. הכפל 1/6 x 7/7 = 7 / 42.
- כדי להפוך 4 / 21 לשבר עם 42 כמכנה, לפתור 42 ÷ 21 = 2. הכפל 4 / 21 x 2/2 = 8 / 42.
- עכשיו שיש לנו את השברים בצורות עם אותו המכנה, נוכל להוסיף אותם יחד בקלות: 7 / 42 + 8 / 42 = 15 / 42.
מצא את הגורמים הראשוניים של 18 ו -52, ואז מצא את הכפל הנפוץ ביותר שלהם: הגורם העיקרי של 18 הוא 2 x 3 x 3.
- נסו לפתור את הבעיות הללו בעצמכם. כאשר אתה חושב שיש לך את התשובה הנכונה, הדגש את התשובה כדי להראות אותה. הבעיות המאוחרות יותר קשות.
- מצא את הפקטורציה הראשונית של 16: 2 x 2 x 2 x 2
- כתוב את תשובתך באמצעות אקספוננטים: 24
- מצא את הפקטורציה הראשונית של 45: 3 x 3 x 5
- כתוב את התשובה שלך באמצעות אקספוננטים: 32 x 5
- מצא את הגורם העיקרי של 34: 2 x 17
- מצא את הפקטוריזציה הראשונית של 154: 2 x 7 x 11
- מצא את הפקטורציות הראשוניות של 8 ו -40, ואז מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר שלהם: הפקטוריזציה הראשונית של 8 היא 2 x 2 x 2 x 2. הגורם העיקרי של 40 הוא 2 x 2 x 2 x 5. GCF שלהם הוא 2 x 2 x 2 = 6.
- מצא את הפקטורציות העיקריות של 18 ו -52, ואז מצא את הכפל הנפוץ ביותר שלהם: הפקטוריזציה הראשונית של 18 היא 2 x 3 x 3. הפקטוריזציה הראשונית של 52 היא 2 x 2 x 13. LCM שלהם הוא 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.
מצא את הפקטורציות הראשוניות של 8 ו -40, ואז מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר שלהן: הגורם העיקרי של 8 הוא 2 x 2 x 2 x 2.
- לכל מספר יש גורם מרכזי אחד וייחודי. לא משנה באילו גורמים תבחרו בדרך, בסופו של דבר תקבלו תוצאה ייחודית זו. זה נקרא משפט היסוד של חשבון.
- במקום להוריד את הראשונים על כל שורה חדשה של עץ הגורם, אתה יכול להשאיר אותם במקום שהם נמצאים ולהקיף אותם במקום. לאחר שתסיים לפקטור, כל המספרים המוקפים יהיו הגורמים העיקריים.
- בדוק תמיד את עבודתך. אתה יכול לעשות טעויות פשוטות ולא לראות אותן.
- היזהר משאלות טריקים. אם תתבקש למצוא את הפקטוריזציה הראשונית של מספר ראשוני, אינך צריך לעשות שום עבודה. הגורם העיקרי של 17 הוא 17; אין שום דרך לפרק את זה עוד יותר.
- אתה יכול למצוא את הגורם המשותף הגדול ביותר ומכפיל המשותף הנפוץ ביותר משלושה מספרים או יותר.
- עץ גורמים אינו אומר לכם את כל הגורמים האפשריים, אלא רק את הראשוניים.
קרא גם: איך להכפיל ב -9 בראש שלך?
שאלות ותשובות
- מהם הגורמים העיקריים של שנת 1296?הגורמים העיקריים הם 2 ו- 3. באופן ספציפי זה 2 ^ 4 כפול 3 ^ 4.
- מהו הגורם העיקרי של 32?32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2. 2 הוא מספר ראשוני. 2 הוא הגורם העיקרי של 32.
- מהו הגורם העיקרי של 42?42 = (2) (3) (7).
- כיצד אוכל למצוא את ה- LCM של 60, 84 ו- 96 לפי פקטוריזציה ראשונית?60 = 2 x 2 x 3 x 5 = (2²) (3) (5). 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = (2²) (3) (7). 96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = (2 ^ 5) (3). אז ל- LCM יהיו גורמים חמש 2 (מ 96), אחד 3 (מכל אחד מהמספרים), אחד 5 (מ 60) ואחד 7 (מ 84). LCM, אם כן, הוא (2 ^ 5) (3) (5) (7) = 3360. כדי לבדוק את התשובה, 3360 הוא 60 x 56, 84 x 40 ו- 96 x 35. אין מספר קטן מ 3360 זה בדיוק מתחלק ב 60, 84 ו 96.
- מהו הגורם העיקרי של 47?זה מספר ראשוני. אין לזה פקטורציה ראשונית. רק למספרים מרוכבים (לא ראשוניים) יש פקטורציה ראשונית.
- מהו הגורם העיקרי של 60?ל- 60 יש שלושה גורמים ראשוניים: 2, 3 ו- 5. 60 = (2²) (3) (5).
- מהו הגורם 63 בעץ גורם?63 = 3² x 7.
