כיצד לפתור לוגריתמים?

לפני שתוכל לפתור לוגריתמים, עליך להבין כי לוגריתם הוא למעשה דרך נוספת לכתוב משוואה אקספוננציאלית.

לוגריתמים עשויים להיות מאיימים, אך פתרון לוגריתם הוא הרבה יותר פשוט ברגע שאתה מבין שלוגריתמים הם רק עוד דרך לכתוב משוואות אקספוננציאליות. ברגע שאתה כותב מחדש את הלוגריתם לצורה מוכרת יותר, אתה אמור להיות מסוגל לפתור אותו כמו שתפתור כל משוואה אקספוננציאלית סטנדרטית.

צעדים

לפני שתתחיל: למד להביע משוואה לוגריתמית באופן אקספוננציאלי

1
דע את הגדרת הלוגריתם. לפני שתוכל לפתור לוגריתמים, עליך להבין כי לוגריתם הוא למעשה דרך נוספת לכתוב משוואה אקספוננציאלית. ההגדרה המדויקת שלה היא כדלקמן:
- y = יומן _b (x)
  - אם ורק אם: b ^y = x
- שים לב ש- b הוא בסיס הלוגריתם. זה חייב להיות נכון גם ש:
  - ב> 0
  - b אינו שווה 1
- באותה משוואה, y הוא האקספוננט ו- x הוא הביטוי האקספוננציאלי שהלוגריתם מוגדר שווה לו.
2
תסתכל על המשוואה. כאשר מסתכלים על משוואת הבעיה, זהה את הבסיס (b), המעריך (y) והביטוי האקספוננציאלי (x).
- דוגמה: 5 = יומן ₄ (1024)
  - b = 4
  - y = 5
  - x = 1024
3
העבר את הביטוי האקספוננציאלי לצד אחד של המשוואה. הגדר את ערך הביטוי האקספוננציאלי שלך, x, לצד אחד של סימן השווה.
- דוגמה: 1024 =?
4
החל את המעריך על הבסיס. יש להכפיל את ערך הבסיס שלך, b, בכמות הפעמים שמציין המעריך שלך, y.
- דוגמה: 4 * 4 * 4 * 4 * 4 =?
  - זה יכול להיכתב גם כ: 4⁵
5
כתוב מחדש את התשובה הסופית שלך. אתה אמור להיות מסוגל לכתוב מחדש את הלוגריתם כביטוי מעריכי כעת. ודא כי התשובה שלך נכונה על ידי ביצוע בטוח ששני הצדדים של המשוואה שווים.
- דוגמה: 4⁵ = 1024

כאשר המשוואה נמצאת כעת בצורה אקספוננציאלית, אתה אמור להיות מסוגל לפתור את x כפי שהיית עושה בדרך כלל.

שיטה 1 מתוך 3: שיטה אחת: לפתור x

1
בידוד את הלוגריתם. השתמש בפעולות הפוכות כדי להזיז כל חלק מהמשוואה שאינו חלק מהלוגריתם לצד הנגדי של המשוואה.
- דוגמה: יומן ₃ (x + 5) + 6 = 10
  - יומן ₃ (x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  - יומן ₃ (x + 5) = 4
2
כתוב את המשוואה בצורה מעריכית. השתמש במה שאתה יודע על הקשר בין לוגריתמים ומשוואות אקספוננציאליות, שבר את הלוגריתם ונכתב מחדש את המשוואה בצורה אקספוננציאלית פשוטה וניתנת לפיתרון.
- דוגמה: יומן ₃ (x + 5) = 4
  - בהשוואת משוואה זו להגדרה [y = log _b (x)], ניתן להסיק כי: y = 4; b = 3; x = x + 5
  - כתוב את המשוואה מחדש כך: b ^y = x
  - 3⁴ = x + 5
3
לפתור x. עם הפשטת הבעיה למשוואה אקספוננציאלית בסיסית, אתה אמור להיות מסוגל לפתור אותה כפי שתפתור כל משוואה אקספוננציאלית.
- דוגמה: 3⁴ = x + 5
  - 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  - 81 = x + 5
  - 81 - 5 = x + 5 - 5
  - 76 = x
4
כתוב את התשובה הסופית שלך. התשובה שקיבלת בעת פתרון ל- x היא הפיתרון ללוגריתם המקורי שלך.
- דוגמה: x = 76

עם הפשטת הבעיה למשוואה אקספוננציאלית בסיסית, אתה אמור להיות מסוגל לפתור אותה כפי שתפתור כל משוואה אקספוננציאלית.

שיטה 2 מתוך 3: שיטה שתיים: לפתור x באמצעות כלל המוצר הלוגריתמי

1
דע את כלל המוצר. המאפיין הראשון של לוגריתמים, המכונה "כלל המוצר", קובע כי הלוגריתם של מוצר כפול שווה לסכום הלוגריתמים של שני הגורמים. נכתב בצורה משוואה:
- יומן _b (m * n) = יומן _b (m) + יומן _b (n)
- שים לב כי הדברים חייבים להיות נכונים:
  - מ> 0
  - n> 0
2
בידוד את הלוגריתם לצד אחד של המשוואה. השתמש בפעולות הפוכות כדי להזיז את חלקי המשוואה סביב כך שכל הלוגריתמים נמצאים בצד אחד של המשוואה בעוד שכל שאר האלמנטים נמצאים בצד הנגדי.
- דוגמה: יומן ₄ (x + 6) = 2 - יומן ₄ (x)
  - יומן ₄ (x + 6) + יומן ₄ (x) = 2 - יומן ₄ (x) + יומן ₄ (x)
  - יומן ₄ (x + 6) + יומן ₄ (x) = 2
3
החל את כלל המוצר. אם ישנם שני לוגריתמים שנוספו יחד במשוואה, תוכלו להשתמש בכלל המוצר כדי לשלב את שני הלוגריתמים לאחד.
- דוגמה: יומן ₄ (x + 6) + יומן ₄ (x) = 2
  - יומן ₄ [(x + 6) * x] = 2
  - יומן ₄ (x ² + 6x) = 2
4
כתוב את המשוואה בצורה מעריכית. זכור כי לוגריתם הוא רק דרך נוספת לכתוב משוואה אקספוננציאלית. השתמש בהגדרת הלוגריתם כדי לשכתב את המשוואה בצורתה הניתנת לפיתרון.
- דוגמה: יומן ₄ (x ² + 6x) = 2
  - בהשוואת משוואה זו להגדרה [y = log _b (x)], ניתן להסיק כי: y = 2; b = 4; x = x ² + 6x
  - כתוב את המשוואה מחדש כך: b ^y = x
  - 4² = x ² + 6x
5
לפתור x. עכשיו שהמשוואה הפכה למשוואה אקספוננציאלית סטנדרטית, השתמש בידע שלך על משוואות אקספוננציאליות כדי לפתור את x כפי שהיית עושה בדרך כלל.
- דוגמה: 4² = x ² + 6x
  - 4 * 4 = x ² + 6x
  - 16 = x ² + 6x
  - 16 - 16 = x ² + 6x - 16
  - 0 = x ² + 6x - 16
  - 0 = (x - 2) * (x + 8)
  - x = 2; x = -8
6
כתוב את תשובתך. בשעה זו הנקודה, אתה צריך את פתרון המשוואה. רשמו אותו במקום הניתן לתשובתכם.
- דוגמה: x = 2
- שים לב שלא יכול להיות לך פתרון שלילי עבור לוגריתם, כך שתוכל להשליך את x - 8 כפתרון.

ברגע שאתה כותב מחדש את הלוגריתם לצורה מוכרת יותר, אתה אמור להיות מסוגל לפתור אותו כמו שתפתור כל משוואה אקספוננציאלית סטנדרטית.

שיטה 3 מתוך 3: שיטה שלוש: לפתור x באמצעות כלל המנה הלוגריתמית

1
דע את כלל המנה. על פי המאפיין השני של הלוגריתמים, המכונה "כלל המנה", ניתן לשכתב את הלוגריתם של המנה על ידי הפחתת הלוגריתם של המכנה מהלוגריתם של המונה. כתוב כמשוואה:
- יומן _b (m / n) = יומן _b (m) - יומן _b (n)
- כמו כן שימו לב כי הבא חייבים להיות אמיתי:
  - מ> 0
  - n> 0
2
בידוד את הלוגריתם לצד אחד של המשוואה. לפני שתוכל לפתור את הלוגריתם, עליך להזיז את כל היומנים במשוואה לצד אחד של סימן השווה. החלקים האחרים של המשוואה צריכים להיות מועברים לצד הנגדי של המשוואה. השתמש בפעולות הפוכות כדי להשיג זאת.
- דוגמה: יומן ₃ (x + 6) = 2 + יומן ₃ (x - 2)
  - יומן ₃ (x + 6) - יומן ₃ (x - 2) = 2 + יומן ₃ (x - 2) - יומן ₃ (x - 2)
  - יומן ₃ (x + 6) - יומן ₃ (x - 2) = 2
3
החל את כלל המנה. אם ישנם שני לוגריתמים במשוואה ויש לחסר אחד על ידי השני, אתה יכול וצריך להשתמש בכללי המנה כדי לשלב את שני הלוגריתמים לאחד.
- דוגמה: יומן ₃ (x + 6) - יומן ₃ (x - 2) = 2
  - יומן ₃ [(x + 6) / (x - 2)] = 2
4
כתוב את המשוואה בצורה מעריכית. כעת, כשיש רק לוגריתם אחד במשוואה, השתמש בהגדרת הלוגריתמים כדי לשכתב את המשוואה בצורה אקספוננציאלית, ובכך להסיר את היומן.
- דוגמה: יומן ₃ [(x + 6) / (x - 2)] = 2
  - בהשוואת משוואה זו להגדרה [y = log _b (x)], ניתן להסיק כי: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  - כתוב את המשוואה מחדש כך: b ^y = x
  - 3² = (x + 6) / (x - 2)
5
לפתור x. כאשר המשוואה נמצאת כעת בצורה אקספוננציאלית, אתה אמור להיות מסוגל לפתור את x כפי שהיית עושה בדרך כלל.
- דוגמה: 3² = (x + 6) / (x - 2)
  - 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  - 9 = (x + 6) / (x - 2)
  - 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  - 9x - 18 = x + 6
  - 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  - 8x = 24
  - 8x / 8 = 24/8
  - x = 3
6
כתוב את התשובה הסופית שלך. חזור ובדוק שוב את צעדיך. ברגע שאתה מרגיש בטוח שיש לך את הפתרון הנכון, כתוב אותו.
- דוגמה: x = 3

קרא גם: איך מוצאים את החציץ הניצב של שתי נקודות?