כיצד להוסיף או להפחית וקטורים?
אם אתה צריך להוסיף או להפחית וקטורים עם רכיבים ידועים, ביטא את הווקטור במשתנים. תלוי אם הווקטור הוא 1, 2 או תלת מימד, היית מתייג את הווקטור כ- x; x ו- y; או x, y ו- z. כדי להוסיף 2 וקטורים, הוסף כל אחד מהרכיבים, או חיסר אותם אם אתה מפחית את הווקטורים. למשל, כדי להוסיף וקטורים דו-ממדיים, פשוט הוסף את שני הרכיבים x ואת שני הרכיבים y יחד. כתוב את התוצאה כווקטור חדש. המשך לקרוא כדי ללמוד להשתמש בשיטת ראש לזנב להוספת וגרעיית וקטורים!
כדי להוסיף 2 וקטורים, הוסף כל אחד מהרכיבים, או חיסר אותם אם אתה מפחית את הווקטורים.
כמויות פיזיקליות נפוצות רבות הן לרוב וקטורים או סקלרים. וקטורים דומים לחצים ומורכבים מגודל חיובי (אורך) וחשוב מכיוון. מצד שני סקלרים הם רק ערכים מספריים לפעמים עשויים להיות שליליים. שימו לב שלמרות שגודל הווקטור חיובי או אולי אפס, רכיבי הווקטורים יכולים כמובן להיות שליליים המציינים וקטור המכוון בניגוד לכיוון הקואורדינטות או ההתייחסות. דוגמאות לווקטורים: כוח, מהירות, תאוצה, תזוזה, משקל, שדה מגנטי וכו '. דוגמאות לסקלרים: מסה, טמפרטורה, מהירות, מרחק, אנרגיה, מתח, מטען חשמלי, לחץ בתוך נוזל וכו 'בעוד שניתן להוסיף סקלרים ישירות כמו מספרים (למשל 5 קילו-ג'י של עבודה פלוס 6 קג''י שווה 11 קג''י; או 9 וולט פלוס מינוס 3 וולט נותן 6 וולט: + 9 וו' ועוד -3 וו 'נותן + 6v), וקטורים מעט מורכבים יותר להוספה או לחיסור, אם כי וקטורים קולינריים קלים ומתנהגים כמו הוספת מספרים שעשויים להיות שליליים. ראה להלן מספר דרכים להתמודד עם חיבור וחיסור וקטור.
שיטה 1 מתוך 3: הוספה וחיסור של וקטורים עם רכיבים ידועים
- 1הביע וקטור במונחים של רכיבים במערכת קואורדינטות כלשהי בדרך כלל x, y, ואולי z במרחב דו-ממדי רגיל (מימד גבוה יותר אפשרי גם במצבים מתמטיים מסוימים). חלקי רכיב אלה מתבטאים בדרך כלל בסימון דומה לזה המשמש לתיאור נקודות במערכת קואורדינטות (למשל <x, y, z> וכו '). אם חלקים אלה ידועים, הוספה או חיסור של וקטורים היא פשוט הוספה או חיסור של רכיבי x, y ו- z.
- שים לב כי וקטורים יכולים להיות 1, 2 או תלת מימד. לפיכך, בווקטורים יכולים להיות רכיב x, רכיב x ו- y, או רכיב x, y ו- z.
- נניח שיש לנו שני וקטורים תלת מימדיים, וקטור A וויקטור B. אנו עשויים לכתוב את הווקטורים הללו ברכיבים כ- A = <Ax, Ay, Az> ו- B = <Bx, By, Bz>, תוך שימוש ברכיבי xyz בהתאם.
- 2כדי להוסיף שני וקטורים, אנחנו פשוט מוסיפים את הרכיבים שלהם. במילים אחרות, הוסף את רכיב ה- x של הווקטור הראשון לרכיב ה- x של השני וכן הלאה עבור y ו- z. התשובות שאתה מקבל מהוספת רכיבי x, y ו- z של הווקטורים המקוריים שלך הם רכיבי x, y ו- z של הווקטור החדש שלך.
- במונחים כלליים, A + b = <Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz>.
- בואו נוסיף שני וקטורים A ו- B. דוגמה: A = <5, 9, -10> ו- B = <17, -3, -2>. A + B = <5 + 17, 9 + -3, -10 + -2>, או <22, 6, -12>.
- 3כדי להפחית שני וקטורים, חיסר את מרכיביהם. שים לב כי ניתן לחשוב על חיסור וקטור אחד מ- AB אחר להוסיף את "ההפוך" של אותו A + (- B).
- במונחים כלליים, Ab = <Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz>
- בואו נגרע שני וקטורים A ו- B. A = <18, 5, 3> ו- B = <10, 9, -10>. A - B = <18-10, 5-9, 3 - (- 10)>, או <8, -4, 13>.
אם אתה צריך להוסיף או להפחית וקטורים עם רכיבים ידועים, ביטא את הווקטור במשתנים.
שיטה 2 מתוך 3: הוספה וחיסור חזותית בשיטת הראש לזנב
- 1ייצג וקטורים באופן חזותי על ידי ציורם עם ראש וזנב. מכיוון שלווקטורים יש גודל וכיוון, הם משווים לחצים עם זנב וראש ואורך. ניתן לומר כי וקטורים הם בעלי "נקודת התחלה" ו"נקודת סיום ". "הנקודה החדה" של החץ היא ראש הווקטור ו"בסיס "החץ הוא הזנב.
- בעת ביצוע ציור קנה מידה של וקטור, עליך להקפיד למדוד ולשרטט את כל הזוויות במדויק. זוויות משורטטות לא נכון יובילו לתשובות גרועות.
- 2כדי להוסיף 2 וקטורים, צייר את הווקטור השני B כך שזנבו יפגוש בראשו של A. זה מכונה הצטרפות הווקטורים שלך "ראש לזנב". אם אתה מוסיף רק שני וקטורים, זה כל מה שתצטרך לעשות לפני שתמצא את הווקטור שהתקבל A + B. יתכן שיהיה צורך להחליק את וקטור B למצב מבלי לשנות את כיוונו, המכונה תחבורה מקבילה.
- שים לב שהסדר אליו אתה מצטרף לווקטורים אינו חשוב. וקטור A + וקטור B = וקטור B + וקטור A
- 3כדי לחסר, הוסף את ה"שלילי "של הווקטור. חיסור וקטורים חזותית הוא די פשוט. פשוט הפוך את כיוון הווקטור, אך שמור על גודל זהה והוסף אותו לראש הווקטורי שלך לזנב כפי שהיית עושה בדרך כלל. במילים אחרות, כדי להפחית וקטור, סובב את הווקטור 180 מעלות והוסף אותו.
- 4אם אתה מוסיף או מחסר יותר משני וקטורים, הצטרף לכל שאר הווקטורים ראש לזנב ברצף. למעשה אין סדר בסדר ההצטרפות אליו. ניתן להשתמש בשיטה זו לכל מספר וקטורים.
- 5כדי להשיג את התוצאה: צייר וקטור חדש מהזנב של הווקטור הראשון לראשו של האחרון. בין אם אתה מוסיף / מחסר שני וקטורים או מאה, הווקטור הנמתח מנקודת ההתחלה המקורית (הזנב של הווקטור הראשון שלך) לנקודת הסיום של הווקטור הסופי שלך שנוסף (ראש הווקטור האחרון שלך) הוא הווקטור שהתקבל, או סכום כל הווקטורים שלך. שים לב כי וקטור זה זהה לווקטור המתקבל על ידי הוספת רכיבי x, y, ואולי z של כל הווקטורים בנפרד.
- אם ציירת את כל הווקטורים שלך בקנה מידה, ומדדת את כל הזוויות במדויק, תוכל למצוא את גודל הווקטור שהתקבל על ידי מדידת אורכו. ניתן גם למדוד את הזווית שעושה התוצאה עם וקטור מוגדר או אופקי / אנכי וכו 'כדי למצוא את כיוונו.
- אם לא ציירת את כל הווקטורים בקנה מידה, כנראה שתצטרך לחשב את גודל התוצאה באמצעות טריגונומטריה. אתה עשוי למצוא את הכלל של סין ואת הכלל של קוזינוס מועילים כאן. אם אתה מוסיף יותר משני וקטורים יחד, כדאי להוסיף תחילה שניים, ואז להוסיף את התוצאה שלהם עם הווקטור השלישי, וכן הלאה. עיין בסעיף הבא למידע נוסף.
- 6ייצג את הווקטור שהתקבל שלך באמצעות גודלו וכיוונו. וקטורים מוגדרים על ידי אורכם וכיוונם. כפי שצוין לעיל, בהנחה שציירת את הווקטורים שלך במדויק, גודל הווקטור החדש שלך הוא אורכו וכיוונו הוא הזווית ביחס לאנכי, לאופק וכו '. השתמש ביחידות הווקטורים שנוספו או מופחתים שלך כדי לבחור את היחידות עבור הווקטורים שהתקבלו. עוצמה.
- לדוגמא, אם הווקטורים שהוספנו מייצגים מהירויות ב- ms -1, אנו עשויים להגדיר את הווקטור שהתקבל שלנו כ"מהירות של x ms -1 ב- y o לרוחב ".
למשל, כדי להוסיף וקטורים דו-ממדיים, פשוט הוסף את שני הרכיבים x ואת שני הרכיבים y יחד.
שיטה 3 מתוך 3: הוספה וחיסור של וקטורים על ידי מציאת רכיבים
- 1השתמש בטריגונומטריה כדי למצוא את רכיבי הווקטור. כדי למצוא את רכיבי הווקטור, בדרך כלל יש צורך לדעת את גודלו ואת כיוונו ביחס לאופק או לאנכי ולהיות בעל ידע עובד על טריגונומטריה. לוקחים תחילה וקטור דו-ממדי: מגדירים או מדמיינים את הווקטור שלכם כהיפוטנוזה של משולש ימני ששני צדיו האחרים מקבילים לצירי x ו- y. ניתן לחשוב על שני הצדדים הללו כווקטורי רכיבים ראש-לזנב שמוסיפים ליצירת הווקטור המקורי שלך.
- אורכי שני הצדדים שווים לגודל הרכיבים x ו- y של הווקטור שלך וניתן לחשבם באמצעות טריגונומטריה. אם x הוא גודל הווקטור, הצד הסמוך לזווית הווקטור (יחסית לזווית האופקית, האנכית וכו ') הוא xcos (θ), ואילו הצד שממול הוא xsin (θ).
- חשוב גם לציין את כיוון הרכיבים שלך. אם הרכיב מצביע לכיוון השלילי של אחד הצירים שלך, הוא מקבל סימן שלילי. לדוגמא, במישור דו-ממדי, אם רכיב מצביע שמאלה או מטה, הוא מקבל סימן שלילי.
- לדוגמא, נניח שיש לנו וקטור בעוצמה 3 וכיוון 135 o ביחס לרוחב. בעזרת מידע זה אנו יכולים לקבוע כי רכיב ה- x שלו הוא 3cos (135) = -2,12 ורכיב ה- y שלו הוא 3sin (135) = 2,12
- 2הוסף או חיסר שני רכיבים מתאימים של וקטורים. לאחר שמצאת את הרכיבים של כל הווקטורים שלך, פשוט הוסף את גודלם יחד כדי למצוא את רכיבי הווקטור שהתקבל. ראשית, הוסף את כל הגדלים של הרכיבים האופקיים (המקבילים לציר ה- x) יחד. בנפרד, הוסף את כל גודל הרכיבים האנכיים (אלה המקבילים לציר ה- y). אם לרכיב יש סימן שלילי (-), גודלו מופחת ולא מוסף. התשובות שאתה מקבל הן מרכיבי הווקטור שהתקבל שלך.
- לדוגמא, נניח שהווקטור שלנו מהשלב הקודם, <-2,12, 2,12>, מתווסף לווקטור <5,78, -9>. במקרה זה, הווקטור שהתקבל שלנו יהיה <-2,12 + 5,78, 2,12-9> או <3,66, -6,88>.
- 3חשב את גודל הווקטור שהתקבל באמצעות משפט פיתגורס. משפט פיתגורס, ג 2 = a 2 + b 2, פותר את אורכי בצד של משולשים ישרי זווית. מכיוון שהמשולש שנוצר על ידי הווקטור שהתקבל שלנו ומרכיביו הוא משולש נכון, נוכל להשתמש בו כדי למצוא את אורך הווקטור שלנו ולכן את גודלו. עם c כגודל הווקטור שהתקבל, אליו אתה פותר, הגדר a כגודל רכיב ה- x שלו ו- b כגודל רכיבי ה- y שלו. לפתור עם אלגברה.
- כדי למצוא את גודל הווקטור שאת רכיביו מצאנו בשלב הקודם, <3,66, -6,88>, נשתמש במשפט פיתגורס. לפתור כדלקמן:
- c 2 = (3,66) 2 + (- 6,88) 2
- c 2 = 13,40 + 47,33
- c = √60,73 = 7,79
- כדי למצוא את גודל הווקטור שאת רכיביו מצאנו בשלב הקודם, <3,66, -6,88>, נשתמש במשפט פיתגורס. לפתור כדלקמן:
- 4חשב את כיוון התוצאה עם פונקציית המשיק. לבסוף, מצא את כיוון הווקטור שהתקבל. השתמש בנוסחה θ = שזוף -1 (b / a), כאשר θ היא הזווית שעושה התוצאה עם ציר ה- x או האופקי, b הוא גודל הרכיב y, ו- a הוא גודל הרכיב x.
- כדי למצוא את כיוון וקטור הדוגמה שלנו, נשתמש ב- θ = tan -1 (b / a).
- θ = שזוף -1 (-6,82.67,66)
- θ = שזוף -1 (-1,88)
- θ = -61,99 o
- כדי למצוא את כיוון וקטור הדוגמה שלנו, נשתמש ב- θ = tan -1 (b / a).
- 5ייצג את הווקטור שהתקבל שלך באמצעות גודלו וכיוונו. כפי שצוין לעיל, וקטורים מוגדרים על פי גודלם וכיוונם. הקפד להשתמש ביחידות המתאימות לגודל הווקטור שלך.
- לדוגמא, אם וקטור הדוגמה שלנו ייצג כוח (בניוטון), אז נוכל לכתוב אותו כ"כוח של 7,79 N ב -61,99 o לרוחב ".
התשובות שאתה מקבל מהוספת רכיבי x, y ו- z של הווקטורים המקוריים שלך הם רכיבי x, y ו- z של הווקטור החדש שלך.
- ניתן להוסיף או להפחית וקטורי עמודות פשוט על ידי הוספה או חיסור של הערכים בכל שורה.
- ניתן להוסיף או להפחית וקטורים המיוצגים בצורה x i + y j + z k על ידי פשוט הוספה או חיסור למקדמים של שלושת וקטורי היחידות. התשובה תהיה גם בצורה i, j, k.
- אין להתבלבל בין וקטורים לגדלים.
- אתה יכול למצוא את גודל הווקטור בתלת מימד באמצעות הנוסחה a 2 = b 2 + c 2 + d 2, כאשר a הוא גודל הווקטור, ו- b, c ו- d הם הרכיבים לכל כיוון.
- ניתן להוסיף או להפחית וקטורים באותו כיוון על ידי הוספה או חיסור של גודלם. אם מוסיפים שני וקטורים בכיוונים מנוגדים, גודלם מופחת ולא מוסף.
שאלות ותשובות
- האם לאחר שינוי כיוון הווקטור השני האם עלי להוסיף את שני המרכיבים או להפחית אותם?אם הפכת את הווקטור השני, כעת תוכל להוסיף את רכיבי הווקטור הראשון ואת הווקטור השני ההפוך על מנת לקבל את ההבדל. זה דומה לאופן שבו הוספת מספר שלילי זהה לחיסור גרסה חיובית של אותו מספר, למשל 2 - 1 = 2 + (-1) = 1.
- כיצד אוכל להוסיף שישה ויותר מששה וקטורים?הוספת וקטורים n היא קלה מכיוון שהווקטורים מצייתים לעיקרון העל-סופרפוזיציה. כל שעליך לעשות הוא להוסיף את הרכיבים שלהם.
- חשבתי שאחד התהליכים בהוספת וקטורים הוא הכפלת צולבים?המוצר הצולב הוא סוג של כפל, לא תוספת, הנוגע למאמר זה.
- כדי להפחית וקטור בשיטת הראש לזנב, האם אני משנה רק את הווקטור הראשון או את שניהם במשוואה?רק השנייה. אתה משתמש ב- ab = a + (-b) כדי שתוכל להשתמש בגרסת ההוספה של שיטת הראש לזנב ב- a ו- (-b). כאן, a הוא ללא שינוי, ו- (-b) הוא אותו וקטור כמו b, אלא שקצוות הראש והזנב שלו מוחלפים.
- כיצד אוכל למצוא את התוצאה אם לא ניתנות זוויות וניתנות רק גודל?אם אלה וקטורים, ואין לך מידע אחר לגבי הכיוון שלהם, אתה לא יכול! מכיוון שאינך מכיר את הזוויות (או את היישור היחסי) ביניהן, יתכן שהווקטורים יוכלו להתאים בדיוק (ובמקרה זה לתוצאה יש גודל השווה לסכום הגודל שלהם), או שהם יכולים להצביע הפוך כיוונים (ובמקרה כזה לתוצאה יש גודל השווה להפרש בין גודלם), או בכל מקום שביניהם. אם ניתנה לך בעיה כזו, היא לא מוגדרת לחלוטין.
תגובות (3)
- ההסבר החלק הפך אותו למובן בקלות.
- התמונות מועילות יותר, מביאות בצורה ברורה את הנקודה בדיוק עם המידע הדרוש לך.
- מועיל מאוד לפתרון וקטורים.
