כיצד מחשבים שורש מרובע ביד?

כדי לחשב שורש ריבועי ביד, הערך תחילה את התשובה על ידי מציאת 2 השורשים הריבועיים המושלמים שהמספר ביניהם.

בשנות ה ימים לפני מחשבונים, סטודנטים ופרופסורים כאחד נאלצו חישוב שורש ריבועי ביד. כמה שיטות שונות התפתחו להתמודדות עם תהליך מרתיע זה, חלקן נותנות קירוב גס, אחרות נותנות ערך מדויק. כדי ללמוד כיצד למצוא שורש ריבועי של מספר באמצעות פעולות פשוטות בלבד, אנא עיין בשלב 1 להלן כדי להתחיל.

שיטה 1 מתוך 2: שימוש בפקטוריזציה ראשונית

1
חלק את המספר שלך לגורמים מרובעים מושלמים. שיטה זו משתמשת בגורמים של מספר כדי למצוא את שורש הריבוע של המספר (בהתאם למספר זו יכולה להיות תשובה מספרית מדויקת או הערכה קרובה). גורמים של מספר הם כל קבוצה של מספרים אחרים שמתרבים יחד כדי להפוך אותו. למשל, אפשר לומר שהגורמים 8 הם 2 ו -4 מכיוון ש -2 × 4 = 8. ריבועים מושלמים, לעומת זאת, הם מספרים שלמים שהם תוצר של מספרים שלמים אחרים. לדוגמה, 25, 36 ו -49 הם ריבועים מושלמים מכיוון שהם 5², 6² ו- 7², בהתאמה. גורמים מרובעים מושלמים הם, כפי שאולי ניחשתם, גורמים שהם גם ריבועים מושלמים. כדי להתחיל למצוא שורש ריבועי באמצעות פקטוריזציה ראשונית, נסה תחילה לצמצם את מספרך לגורמי הריבוע המושלמים שלו.
- בואו נשתמש בדוגמא. אנו רוצים למצוא את השורש הריבועי של 400 ביד. כדי להתחיל, נחלק את המספר לגורמים מרובעים מושלמים. מכיוון ש -400 הוא מכפל של 100, אנו יודעים שהוא מתחלק באופן שווה ל -25 - ריבוע מושלם. חלוקה נפשית מהירה מודיעה לנו ש -25 נכנסים ל -400 פעמים 16. 16, במקרה, הוא גם כיכר מושלמת. לפיכך, הגורמים המרובעים המושלמים של 400 הם 25 ו- 16 מכיוון ש- 25 × 16 = 400.
- היינו כותבים זאת כ: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2
קח את השורשים הריבועיים של גורמי הריבוע המושלמים שלך. מאפיין המוצר של שורשים מרובעים קובע כי עבור כל המספרים הנתונים a ו- b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). בגלל תכונה זו, אנו יכולים כעת לקחת את השורשים הריבועיים של גורמי הריבוע המושלמים שלנו ולהכפיל אותם יחד כדי לקבל את תשובתנו.
- בדוגמה שלנו, ניקח את השורשים הריבועיים של 25 ו- 16. ראה להלן:
  - Sqrt (25 × 16)
  - Sqrt (25) × Sqrt (16)
  - 5 × 4 = 20
3
צמצם את התשובה שלך למונחים הפשוטים ביותר, אם המספר שלך אינו גורם מושלם. בשנת חיים אמיתיים, לעתים קרובות יותר מאשר לא, המספרים תצטרכו למצוא שורש ריבועים על כך שלא יהיו מספרים עגולים נחמדים עם גורמים מרובעים מושלמים ברורים כמו 400. במקרים אלה, זה לא יכול להיות אפשרי כדי למצוא את התשובה המדויקת כקובץ מספר שלם. במקום זאת, על ידי מציאת גורמי ריבוע מושלמים שאתה יכול, תוכל למצוא את התשובה במונחים של שורש ריבועי קטן יותר, פשוט יותר וקל יותר לניהול. לשם כך, צמצם את מספרך לשילוב של גורמים מרובעים מושלמים וגורמים מרובעים לא מושלמים, ואז הפשט.
- נשתמש בשורש הריבועי של 147 כדוגמה. 147 אינו תוצר של שני ריבועים מושלמים, ולכן איננו יכולים לקבל ערך שלם מדויק כאמור לעיל. עם זאת, זהו תוצר של ריבוע מושלם אחד ומספר אחר - 49 ו- 3. אנו יכולים להשתמש במידע זה כדי לכתוב את תשובתנו במונחים פשוטים ביותר כדלקמן:
  - Sqrt (147)
  - = Sqrt (49 × 3)
  - = Sqrt (49) × Sqrt (3)
  - = 7 × sqrt (3)
4
העריך, אם יש צורך. עם השורש הריבועי שלך במונחים פשוטים ביותר, בדרך כלל קל למדי לקבל אומדן גס של תשובה מספרית על ידי ניחוש הערך של כל שורשי הריבוע שנותרו והכפלתו דרך. אחת הדרכים להנחות את האומדנים שלך היא למצוא את הריבועים המושלמים משני צידי המספר בשורש הריבועי שלך. תדע שהערך העשרוני של המספר בשורש הריבועי שלך נמצא איפשהו בין שני המספרים האלה, כך שתוכל לנחש ביניהם.
- נחזור לדוגמא שלנו. מכיוון ש -2² = 4 ו- 1² = 1, אנו יודעים כי Sqrt (3) הוא בין 1 ל -2 - כנראה קרוב יותר ל -2 מאשר ל 1. אנו מעריכים 1,7. 7 × 1,7 = 11,9 אם נבדוק את העבודה שלנו במחשבון, אנו יכולים לראות שאנחנו קרובים למדי לתשובה בפועל 12,13.
  - זה עובד גם עבור מספרים גדולים יותר. לדוגמא, ניתן להעריך כי Sqrt (35) נע בין 5 ל -6 (כנראה קרוב מאוד ל -6). 5² = 25 ו- 6² = 36. 35 הוא בין 25 ל- 36, ולכן השורש הריבועי שלו חייב להיות בין 5 ל- 6. מכיוון ש- 35 הוא רק אחד הרחק מ- 36, אנו יכולים לומר בביטחון שהשורש הריבועי שלו פשוט נמוך מ- 6. בדיקה באמצעות מחשבון נותנת לנו תשובה של כ -5,92 - צדקנו.
שורש ריבועי מושלם הוא כל שורש ריבועי שהוא מספר שלם.
5
צמצם את מספרך לגורמים המשותפים הנמוכים ביותר כצעד ראשון. אין צורך במציאת גורמים מרובעים מושלמים אם אתה יכול לקבוע בקלות את גורמי העיקרי של מספר (גורמים שהם גם מספרים ראשוניים). כתוב את המספר שלך במונחים של הגורמים הנפוצים ביותר שלו. ואז, חפש זוגות תואמים של מספרים ראשוניים בין הגורמים שלך. כשאתה מוצא שני גורמים ראשוניים שתואמים, הסר את שני המספרים הללו מהשורש הריבועי והציב אחד מהמספרים האלה מחוץ לשורש הריבועי.
- כדוגמה, בואו נמצא את השורש הריבועי של 45 בשיטה זו. אנו יודעים כי 45 = 9 × 5 ואנו יודעים כי 9 = 3 × 3. לפיכך, אנו יכולים לכתוב את השורש הריבועי שלנו במונחים של גורמיו כך: Sqrt (3 × 3 × 5). כל שעליך לעשות הוא להסיר את השלושיות ולהניח 3 מחוץ לשורש הריבועי כדי לקבל את השורש הריבועי שלך במונחים פשוטים ביותר: (3) Sqrt (5). מכאן פשוט להעריך.
- כבעיה דוגמה אחרונה, בואו ננסה למצוא את השורש הריבועי של 88:
  - Sqrt (88)
  - = Sqrt (2 × 44)
  - = Sqrt (2 × 4 × 11)
  - = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). יש לנו מספר 2 בשורש הריבועי שלנו. מכיוון ש -2 הוא מספר ראשוני, אנו יכולים להסיר זוג ולהניח אחד מחוץ לשורש הריבועי.
  - = השורש הריבועי שלנו במונחים הפשוטים ביותר הוא (2) Sqrt (2 × 11) או (2) Sqrt (2) Sqrt (11). מכאן נוכל לאמוד את Sqrt (2) ו- Sqrt (11) ולמצוא תשובה משוערת אם נרצה בכך.

שיטה 2 מתוך 2: מציאת שורשים מרובעים באופן ידני

באמצעות אלגוריתם חלוקה ארוכה

1
הפרד את הספרות של מספרך לזוגות. שיטה זו משתמשת בתהליך הדומה לחלוקה ארוכה כדי למצוא שורש ריבועי מדויק ספרה אחר ספרה. למרות שזה לא חיוני, אתה עלול לגלות שהכי קל לבצע את התהליך הזה אם אתה מארגן חזותית את סביבת העבודה שלך ואת המספר שלך לחתיכות מעשי. ראשית, צייר קו אנכי המפריד בין אזור העבודה שלך לשני חלקים, ואז צייר קו אופקי קצר יותר בחלקו העליון של החלק הימני כדי לחלק את החלק הימני לחלק עליון קטן וחתך גדול יותר. לאחר מכן, הפרד את הספרות של מספרך לזוגות, החל מהנקודה העשרונית. לדוגמא, בעקבות כלל זה, 79520,789182,47897 הופך להיות "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". כתוב את המספר שלך בחלק העליון של החלל השמאלי.
- לדוגמא, ננסה לחשב את השורש הריבועי של 780,14. שרטטו שתי שורות כדי לחלק את סביבת העבודה שלכם לעיל וכתבו "7 80. 14" בחלק העליון של החלל השמאלי. זה בסדר שהנתח השמאלי ביותר הוא מספר בודד, ולא זוג מספרים. תכתוב את תשובתך (השורש הריבועי 780,14.) במרחב הימני העליון.
2
מצא את המספר השלם הגדול ביותר n שהריבוע שלו קטן או שווה למספר (או הזוג) השמאלי ביותר. התחל ב"נתח "השמאלי ביותר של המספר שלך, בין אם זה זוג או מספר בודד. מצא את הריבוע המושלם הגדול ביותר שפחות או שווה לגוש הזה, ואז קח את השורש הריבועי של הריבוע המושלם הזה. המספר הזה הוא n. כתוב n בחלל הימני העליון וכתב את הריבוע של n ברבע הימני התחתון.
- בדוגמה שלנו, "הנתח" השמאלי ביותר הוא המספר 7. מכיוון שאנו יודעים ש -2² = 4 ≤ 7 <3² = 9, אנו יכולים לומר כי n = 2 מכיוון שזה המספר השלם הגדול ביותר שהריבוע קטן או שווה ל 7. כתוב 2 ברבע הימני העליון. זו הספרה הראשונה בתשובתנו. כתוב 4 (הריבוע של 2) ברבע הימני התחתון. מספר זה יהיה חשוב בשלב הבא.
3
הפחת את המספר שחישבת זה עתה מהזוג הכי שמאלי. כמו בחלוקה ארוכה, השלב הבא הוא להפחית את הריבוע שמצאנו זה עתה מהנתח שניתחנו זה עתה. כתוב את המספר הזה מתחת לגוש הראשון וחסר, כתוב את התשובה שלך למטה.
- בדוגמה שלנו, היינו כותבים 4 למטה 7 ואז מחסירים. זה נותן לנו תשובה של 3.
4
נשר את הזוג הבא. הזז את ה"גוש "הבא במספר שאת שורש הריבוע שלו אתה פותר למטה לצד הערך המופחת שמצאת זה עתה. לאחר מכן הכפל את המספר ברבע הימני העליון בשניים וכתוב אותו ברבע הימני התחתון. לצד המספר שרשמת זה עתה, הקדש מקום לבעיית כפל שתעשה בשלב הבא על ידי כתיבת '"_ × _ ="'.
- בדוגמה שלנו, הזוג הבא במספר שלנו הוא "80". כתוב "80" לצד 3 ברבע השמאלי. לאחר מכן הכפל את המספר בפינה השמאלית העליונה בשניים. המספר הזה הוא 2, אז 2 × 2 = 4. כתוב "'4"' ברבע הימני התחתון, ואחריו _ × _ =.
5
מלא את החללים הריקים ברבע הימני. עליכם למלא כל רווח ריק שכרגע כתבתם ברבע הימני באותו מספר שלם. מספר שלם זה חייב להיות המספר השלם הגדול ביותר המאפשר לתוצאה של בעיית הכפל ברבע הימני להיות נמוכה או שווה למספר הנוכחי משמאל.
- בדוגמה שלנו, מילוי החללים הריקים עם 8, נותן לנו 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. זה גדול מ -380. לכן 8 גדול מדי, אבל 7 כנראה יעבוד. כתוב 7 ברווחים הריקים ופתור: 4 (7) × 7 = 329. 7 בודק כי 329 הוא פחות מ -380. כתוב 7 ברבע הימני העליון. זו הספרה השנייה בשורש הריבועי 780,14.
6
גרע את המספר שחישבת זה עתה מהמספר הנוכחי משמאל. המשך בשרשרת החיסור בסגנון החלוקה הארוכה. קח את התוצאה של בעיית הכפל ברבע הימני וחסר אותה מהמספר הנוכחי משמאל, וכתוב את תשובתך למטה.
- בדוגמה שלנו, היינו מחסירים 329 מ -380, מה שנותן לנו 51.
כדי להתחיל למצוא שורש ריבועי באמצעות פקטוריזציה ראשונית, נסה תחילה לצמצם את מספרך לגורמי הריבוע המושלמים שלו.
7
חזור על שלב 4. שחרר את הנתח הבא של המספר שאתה מוצא את השורש הריבועי למטה. כשאתה מגיע לנקודה העשרונית במספר שלך, כתוב נקודה עשרונית בתשובתך ברבע הימני העליון. לאחר מכן, הכפל את המספר בפינה השמאלית העליונה ב -2 וכתוב אותו ליד בעיית הכפל הריקה ("_ × _") כנ"ל.
- בדוגמה שלנו, מכיוון שאנו נתקלים כעת בנקודה העשרונית ב- 780,14, כתוב נקודה עשרונית אחרי תשובתנו הנוכחית בצד ימין למעלה. לאחר מכן, שחרר את הזוג הבא (14) למטה ברבע השמאלי. פעמיים המספר בפינה הימנית העליונה (27) הוא 54, אז כתוב "54 _ × _ =" ברבע הימני התחתון.
8
חזור על שלב 5 ו- 6. מצא את הספרה הגדולה ביותר למילוי החסר בצד ימין הנותנת תשובה קטנה או שווה למספר הנוכחי משמאל. ואז, פתר את הבעיה.
- בדוגמה שלנו, 549 × 9 = 4941, שהוא נמוך או שווה למספר משמאל (5114). 549 × 10 = 5490, שהוא גבוה מדי, אז 9 היא התשובה שלנו. כתוב 9 כספרה הבאה ברבע הימני העליון והחסר את תוצאת הכפל מהמספר משמאל: 5114 מינוס 4941 הוא 173.
9

המשך לחשב ספרות. שחרר זוג אפסים בצד שמאל וחזור על שלבים 4, 5 ו- 6. לקבלת דיוק נוסף, המשך לחזור על תהליך זה כדי למצוא את המקומות המאה, האלף וכו 'בתשובתך. המשך במחזור זה עד שתמצא את תשובתך למקום העשרוני הרצוי.

הבנת התהליך

1

שקול את המספר שאתה מחשב את השורש הריבועי כשטח S של ריבוע. מכיוון ששטח הריבוע הוא L ² כאשר L הוא אורך אחד מצלעותיו, לכן, על ידי ניסיון למצוא את השורש הריבועי של המספר שלך, אתה מנסה לחשב את אורך L של הצד של אותו ריבוע.
2

ציין משתני אותיות לכל ספרה בתשובתך. הקצה את המשתנה A כספרה הראשונה של L (שורש הריבוע שאנו מנסים לחשב). B תהיה הספרה השנייה שלה, C השלישית שלה וכן הלאה.
3

ציין משתני אותיות עבור כל "נתח" של מספר ההתחלה שלך. הקצה את המשתנה S _a לצמד הספרות הראשון ב- S (ערך ההתחלה שלך), S _b לזוג הספרות השני וכו '.
4

הבן את הקשר של שיטה זו לחלוקה ארוכה. שיטה זו למציאת שורש ריבועי היא בעצם בעיית חלוקה ארוכה המחלקת את מספר ההתחלה שלך בשורש הריבועי, ובכך נותנת את השורש הריבועי שלו כתשובה. בדיוק כמו בבעיית חלוקה ארוכה, בה אתה מתעניין רק בספרה הבאה בכל פעם, כאן, אתה מתעניין בשתי הספרות הבאות בכל פעם (התואמות את הספרה הבאה בכל פעם לשורש הריבועי).

שיטה זו למציאת שורש ריבועי היא בעצם בעיית חלוקה ארוכה המחלקת את מספר ההתחלה שלך בשורש הריבועי, ובכך נותנת את השורש הריבועי שלו כתשובה.
5
מצא את המספר הגדול ביותר שהריבוע שלו קטן או שווה ל- s _a. הספרה הראשונה A בתשובתנו היא אז המספר השלם הגדול ביותר שבו הריבוע אינו עולה על S _a (כלומר A כך ש- ² ≤ Sa <(A + 1) ²). בדוגמה שלנו, S _a = 7, ו- 2² ≤ 7 <3², אז A = 2.
- שים לב, למשל, אם ברצונך לחלק את 88962 ב- 7 באמצעות חלוקה ארוכה, הצעד הראשון יהיה דומה: היית מסתכל על הספרה הראשונה של 88962 (8) ותרצה את הספרה הגדולה ביותר שכאשר תכפיל אותה 7, נמוך או שווה ל- 8. בעיקרון, אתה מוצא את d כך ש- 7 × d ≤ 8 <7 × (d + 1). במקרה זה, d יהיה שווה ל- 1.
6
דמיין את הריבוע שאת תחומו אתה מתחיל לפתור. התשובה שלך, השורש הריבועי של מספר ההתחלה שלך, היא L, המתארת את אורכו של ריבוע עם שטח S (מספר ההתחלה שלך). הערכים שלך עבור A, B, C מייצגים את הספרות בערך L. דרך אחרת לומר זאת היא שעבור תשובה דו ספרתית, 10A + B = L, ואילו עבור תשובה בת שלוש ספרות, 100A + 10B + C = L, וכן הלאה.
- בדוגמה שלנו, (10A + B) ² = L ² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². זכור כי 10A + B מייצג את תשובתנו L עם B במיקום היחידות ו- A במיקום העשרות. לדוגמה, כאשר A = 1 ו- B = 2, 10A + B הוא פשוט המספר 12. (10A + B) ² הוא השטח של כל הריבוע, ואילו 100a² השטח של הריבוע הגדול ביותר בפנים, B² הוא השטח של הריבוע הקטן ביותר, ו- 10a × b הוא השטח של כל אחד משני המלבנים שנותרו. על ידי ביצוע תהליך ארוך ומפותל זה אנו מוצאים את שטח הריבוע כולו על ידי הוספת שטחי הריבועים והמלבנים שבתוכו.
7

גרע a² מ- s _a. שחרר זוג אחד (S _b) של ספרות מ- S. S _a S _b הוא כמעט השטח הכולל של הריבוע, שממנו הורדת ממנו את שטח הריבוע הפנימי הגדול יותר. השארית היא אם כי המספר N1, אותו השגנו בשלב 4 (N1 = 380 בדוגמה שלנו). N1 שווה ל- 2 × 10A × B + B² (שטח שני המלבנים בתוספת שטח הריבוע הקטן).
8

חפש n1 = 2 × 10a × b + b², כתוב גם n1 = (2 × 10a + B) × B. בדוגמה שלנו אתה כבר מכיר את N1 (380) ו- A (2), אז אתה צריך למצוא B. B הוא כנראה לא הולך להיות מספר שלם, אז אתה חייב באמת למצוא את B השלם הגדול כך (2 × 10A + B) × B ≤ N1. אז יש לך: N1 <(2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9

לפתור. כדי לפתור משוואה זו, הכפל את A ב -2, העבר אותה למצב העשרות (שווה ערך להכפלת 10), מקם את B במיקום היחידות ומכפיל את המספר המתקבל ב- B. במילים אחרות, פתר (2 × 10A + B) × B. זה בדיוק מה שאתה עושה כשכותבים "N_ × _ =" (עם N = 2 × A) ברבע הימני התחתון בשלב 4. בשלב 5, אתה מוצא את הגדול ביותר מספר שלם B שמתאים לקו התחתון כך ש (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10

הפחת את השטח (2 × 10a + B) × B מהשטח הכולל. זה נותן לך את השטח S- (10A + B) ² שעדיין לא הוערך (ואשר ישמש לחישוב הספרות הבאות באופן דומה).
11

לחישוב הספרה הבאה C, חזור על התהליך. זרוק את הזוג הבא (S _c) מ- S לקבלת N2 בצד שמאל, וחפש את ה- C הגדול ביותר שיהיה לך (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (שווה ערך לכתיבה כפולה מ מספר דו ספרתי "AB" ואחריו "_ × _ =". חפש את הספרה הגדולה ביותר שמתאימה לחסר הנותנת מענה שקטן או שווה ל- N2, כמו קודם.

השורש הריבועי של 4 הוא 2, והשורש הריבועי של 9 הוא 3.

טיפים

שיטה זו עובדת על כל בסיס, לא רק בבסיס 10 (עשרוני).
בדוגמה, 1,73 יכול להיחשב כ"שארית ": 780,14 = 27,9² + 1,73.
אל תהסס להציג את החשבון בכל מקרה שנוח לך יותר. יש אנשים שכותבים את התוצאה מעל למספר ההתחלתי.
שיטה חלופית המשתמשת בשברים המשך יכולה לפעול לפי הנוסחה הבאה: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x +...))). לדוגמא, כדי לחשב את השורש הריבועי של 780,14, המספר השלם שהריבוע הוא הקרוב ביותר ל 780,14 הוא 28, כך ש z = 780,14, x = 28 ו- y = -3,86. חיבור ושאת ההערכה ל- x + y / (2x) בלבד כבר מניב (במונחים הנמוכים ביותר) 78203,5800 או כ- 27,931 (1); הקדנציה הבאה, 437418856607 או בערך 27,930986 (5). כל מונח מוסיף כמעט 3 עשרוני דיוק לקודם.
הזזת הנקודה העשרונית בהפרש של שתי ספרות במספר (גורם 100), מזיזה את הנקודה העשרונית במרווחים של ספרה אחת בשורש הריבועי שלה (גורם 10).

אזהרות

הקפד להפריד את הספרות לזוגות מהנקודה העשרונית. הפרדה בין 79520,789182,47897 ל" 79 52 07 89 18 2,4 78 97" תניב מספר חסר תועלת.

מחשבון

קרא גם: איך לאזן צנטריפוגה?