כיצד לפשט ביטויים אלגבריים?

פקטורינג הוא דרך לפשט ביטויים על ידי הסרת גורמים הנפוצים בכל מונחי הביטוי.

ללמוד כיצד לפשט ביטויים אלגבריים הוא חלק מרכזי בשליטה באלגברה בסיסית וכלי יקר ביותר לכל המתמטיקאים שיש להם בחגורה. הפשט מאפשר למתמטיקאי לשנות ביטוי מורכב, ארוך ו / או מביך לביטוי פשוט או נוח יותר שווה ערך. כישורי פשט בסיסיים הם די קלים ללמוד - אפילו עבור המתנגדים במתמטיקה. על ידי ביצוע כמה צעדים פשוטים ניתן לפשט רבים מהסוגים הנפוצים ביותר של ביטויים אלגבריים ללא כל סוג של ידע מתמטי מיוחד בכלל. ראה שלב 1 להלן כדי להתחיל!

צעדים

הבנת מושגים חשובים

1
הגדר "מונחים כמו" על פי המשתנים והכוחות שלהם. באלגברה, "למונחים כמו" יש אותה תצורה של משתנים, המועלים לאותם כוחות. במילים אחרות, כדי ששני מונחים יהיו "כמו", עליהם להיות בעלי אותו משתנה או משתנים, או בכלל לא, וכל משתנה חייב להיות מועלה לאותו כוח, או ללא כוח בכלל. סדר המשתנים בתוך המונח לא משנה.
- לדוגמא, 3x ² ו- 4x ² הם כמו מונחים מכיוון שכל אחד מהם מכיל את המשתנה x שהועלה לכוח השני. עם זאת, x ו- x ² אינם דומים למונחים מכיוון שכל מונח הועלה ל- x כוח אחר. באופן דומה, -3yx ו- 5xz אינם דומים למונחים מכיוון שלכל מונח יש מערכת משתנים שונה.
2
פקטור על ידי כתיבת מספרים כתוצר של שני גורמים. פקטורינג הוא המושג לייצג מספר נתון כמוצר של שני גורמים המוכפלים יחד. מספרים יכולים לכלול יותר ממכלול גורמים אחד - למשל, המספר 12 יכול להיווצר על ידי 1 × 12, 2 × 6 ו- 3 × 4, כך שנוכל לומר ש- 1, 2, 3, 4, 6 ו- 12 כולם גורמים של 12. דרך אחרת לחשוב על כך היא שגורמי המספר הם המספרים שבאמצעותם הוא מתחלק באופן שווה.
- לדוגמא, אם נרצה לפקטור 20, נוכל לכתוב את זה כ -4 × 5.
- שים לב שניתן לחשב גם מונחים משתנים - 20x, למשל, ניתן לכתוב כ -4 (5x).
- לא ניתן לחשב מספרים ראשוניים מכיוון שהם ניתנים לחלוקה אחידה מעצמם ו- 1.
3
השתמש בראשי התיבות PEMDAS כדי לזכור את סדר הפעולות. לעיתים, פירוש ביטוי אינו אלא ביצוע פעולות בביטוי עד שלא ניתן לעשות יותר. במקרים אלה, חשוב לזכור את סדר הפעולות כך שלא יבוצעו שגיאות חשבון. ראשי התיבות PEMDAS יכולים לעזור לכם לזכור את סדר הפעולות - האותיות תואמות את סוגי הפעולות שעליכם לבצע, לפי הסדר. אם יש ריבוי וחלוקה באותה בעיה, עליך להשלים את הפעולות משמאל לימין כשאתה מגיע לנקודה זו. כנ"ל לגבי חיבור וחיסור. התמונה שלמעלה נותנת את התשובה השגויה. השלב האחרון לא עבד על החיבור והחיסור משמאל לימין. זה עשה את התוספת תחילה. זה צריך להראות 25-20 = 5 ואז 5 + 6 = 11.
- P ארנטזיות
- E xponents
- M ultiplication
- D ivision
- ddition
- הפחתת S

כדי לפשט ביטויים אלגבריים, התחל בזיהוי המונחים הדומים, שהם מונחים שיש להם אותם משתנים ואקספוננטים.

שיטה 1 מתוך 3: שילוב של מונחים דומים

1
כתוב את המשוואה שלך. את המשוואות האלגבריות הפשוטות ביותר, אלה הכוללות רק כמה מונחים משתנים עם מקדמי מספר שלם וללא שברים, רדיקלים וכו ', ניתן לפתור לעתים קרובות בכמה צעדים בלבד. כמו ברוב הבעיות במתמטיקה, הצעד הראשון לפשט את המשוואה שלך הוא לכתוב אותה!
- כבעיה לדוגמא, בשלבים הבאים, בואו ניקח בחשבון את הביטוי 1 + 2x - 3 + 4x.
2
זהה מונחים דומים. לאחר מכן, חפש במשוואה שלך מונחים דומים. זכור שלמונחים דומים יש גם את אותו המשתנה / ים וגם את האקספוננט / ים.
- לדוגמא, בואו לזהות מונחים דומים במשוואה שלנו 1 + 2x - 3 + 4x. 2x ו- 4x שניהם בעלי אותו משתנה שהועלה לאותו מעריך (במקרה זה, ה- x כלל לא הועלו לאף מעריך). בנוסף, 1 ו- -3 הם כמו מונחים, מכיוון שלאף אחד מהם אין משתנים. לכן, במשוואה שלנו, 2x ו- 4x ו- 1 ו- -3 הם כמו מונחים.
3
שלבו מונחים דומים. כעת, לאחר שזיהיתם מונחים דומים, תוכלו לשלב אותם כדי לפשט את המשוואה שלכם. הוסף מונחים יחד (או חיסר במקרה של מונחים שליליים) כדי להפחית כל קבוצת מונחים עם אותם משתנים ואקספוננטים למונח יחיד אחד.
- בואו נוסיף את המונחים הדומים לדוגמא.
  - 2x + 4x = 6x
  - 1 + -3 = -2
4
צור ביטוי פשוט מהתנאים הפשוטים שלך. לאחר שילוב המונחים שלך כמו, בנה ביטוי ממערכת המונחים החדשה והקטנה שלך. אתה אמור לקבל ביטוי פשוט יותר המכיל מונח אחד לכל קבוצה שונה של משתנים ומעריכים בביטוי המקורי. הביטוי החדש הזה שווה לראשון.
- בדוגמה שלנו, המונחים הפשוטים שלנו הם 6x ו- -2, ולכן הביטוי החדש שלנו הוא 6x - 2. ביטוי מפושט זה שווה למקור (1 + 2x - 3 + 4x), אך הוא קצר וקל יותר לניהול. קל יותר לפקטור, שכפי שנראה בהמשך, הוא מיומנות פשוטה חשובה נוספת.
5
ציית לסדר הפעולה כשמשלבים מונחים דומים. בביטויים פשוטים ביותר כמו אלה שעוסקים בבעיות הדוגמא לעיל, זיהוי מונחים דומים הוא פשוט. עם זאת, בביטויים מורכבים יותר, כמו ביטויים הכוללים מונחים בסוגריים, שברים ורדיקלים, כמו מונחים שניתן לשלבם עשויים שלא להיות גלויים מייד. במקרים אלה, עקוב אחר סדר הפעולות, בצע פעולות בתנאים שבביטוי שלך לפי הצורך עד שנותרו רק פעולות חיבור וחיסור.
- לדוגמה, בואו ניקח בחשבון את המשוואה 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x. זה לא יהיה נכון לזהות מיד 3x ו- 2x כמונחים דומים ולשלב אותם מכיוון שהסוגריים בביטוי מכתיבים שאנו אמורים לבצע פעולות אחרות קודם. ראשית, בואו ונבצע את פעולות החשבון בביטוי בהתאם לסדר הפעולות להשגת מונחים בהם אנו יכולים להשתמש. ראה למטה:
  - 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x
  - 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  - 15x - 5 + x ² + 8 - 3x. כעת, מכיוון שהפעולות היחידות שנותרו הן חיבור וחיסור, אנו יכולים לשלב מונחים דומים.
  - x ² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  - x ² + 12x + 3

כדי ללמוד דרכים נוספות בהן ניתן לפשט ביטויים אלגבריים, גלול מטה!

שיטה 2 מתוך 3: פקטורינג

1
זהה את הגורם הנפוץ ביותר בביטוי. פקטורינג הוא דרך לפשט ביטויים על ידי הסרת גורמים הנפוצים בכל מונחי הביטוי. כדי להתחיל, מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר שכל המונחים בביטוי חולקים - במילים אחרות, המספר הגדול ביותר שלפיו כל המונחים בביטוי מתחלקים באופן שווה.
- בואו נשתמש במשוואה 9x ² + 27x - 3. שימו לב שכל מונח במשוואה זה מתחלק ב -3 מכיוון שהמונחים אינם מתחלקים באופן שווה במספר גדול יותר, אנו יכולים לומר ש -3 הוא הגורם הנפוץ ביותר של הביטוי שלנו.
2
חלק את המונחים בביטוי לפי הגורם המשותף הגדול ביותר. לאחר מכן, חלק את כל המונחים במשוואה שלך בגורם המשותף הגדול ביותר שמצאת זה עתה. למונחים המתקבלים כולם יהיו מקדמים קטנים יותר מאשר בביטוי המקורי.
- בואו נחשב את המשוואה שלנו לפי הגורם המשותף הגדול ביותר שלה, 3. לשם כך נחלק כל מונח ב -3.
  - 9x ² /3 = 3x ²
  - 27x / 3 = 9x
  - -1 = -1
  - לפיכך, הביטוי החדש שלנו הוא 3x ² + 9x - 1.
3
ייצג את הביטוי שלך כתוצר של הגורם הנפוץ ביותר והתנאים שנותרו. הביטוי החדש שלך אינו שווה לביטוי הישן שלך, ולכן לא נכון לומר שהוא פשוט. כדי להפוך את הביטוי החדש שלנו לשווה לזה הישן, נצטרך להסביר את העובדה שהוא חולק על ידי הגורם המשותף הגדול ביותר. כלול את הביטוי החדש שלך בסוגריים והגדר את הגורם המשותף הגדול ביותר של המשוואה המקורית כמקדם לביטוי בסוגריים.
- לביטוי לדוגמא שלנו, 3x ² + 9x - 1, נסגור את הביטוי בסוגריים ונכפיל את הגורם המשותף הגדול ביותר של המשוואה המקורית כדי לקבל 3 (3x ² + 9x - 1). משוואה זו שווה למקור, 9x ² + 27x - 3.
4
השתמש בפקטורינג כדי לפשט שברים. ייתכן שאתה תוהה כעת מדוע שימוש בפקטורינג אם לאחר הסרת הגורם המשותף הגדול ביותר, יש להכפיל אותו שוב את הביטוי החדש. למעשה, פקטורינג מאפשר למתמטיקאי לבצע מגוון טריקים כדי לפשט ביטוי. אחד הקלים שבהם כולל ניצול העובדה כי הכפלת מניין שבר ומכנה באותו מספר נותנת חלק שווה ערך. ראה למטה:
- נניח שהביטוי לדוגמה המקורי שלנו, 9x ² + 27x - 3, הוא המונה של שבר גדול יותר עם 3 במכנה. שבר זה ייראה כך: (9x ² + 27x - 3) / 3. אנחנו יכולים להשתמש בפקטורינג כדי לפשט את השבר הזה.
  - בואו נחליף את הצורה המצורפת של הביטוי המקורי שלנו לביטוי במונה: (3 (3x ² + 9x - 1)) / 3
  - שימו לב שעכשיו, גם המונה וגם המכנה חולקים את המקדם 3. מחלקים את המונה והמכנה ב -3, נקבל: (3x ² + 9x - 1) / 1.
  - מכיוון שכל שבר עם "1" במכנה שווה למונחים במונה, אנו יכולים לומר שניתן לפשט את השבר המקורי שלנו ל- 3x ² + 9x - 1.

שיטה 3 מתוך 3: יישום מיומנויות פשטות נוספות

1
לפשט שברים על ידי חלוקה לפי גורמים משותפים. כפי שצוין לעיל, אם המונה והמכנה של ביטוי חולקים גורמים, ניתן להסיר גורמים אלה לגמרי מהשבר. לפעמים זה ידרוש פקטור של המונה, המכנה או את שניהם (כפי שהיה במקרה של בעיית הדוגמה לעיל) בעוד שבפעמים אחרות הגורמים המשותפים ניכרים מיד. שים לב כי ניתן גם לחלק את מונחי המונה בביטוי במכנה בנפרד כדי לקבל ביטוי פשוט.
- בואו נתמודד עם דוגמה שלא בהכרח מצריכה פקטורינג ממושך. עבור השבר (5x ² + 10x + 20) / 10, אולי נרצה לחלק כל מונח במונה ב- 10 במכנה כדי לפשט, למרות שמקדם "5" ב- 5x ² אינו גדול מ- 10 ו- ולכן לא יכול להיות 10 כגורם.
  - פעולה זו גורמת לנו ((5x ²) / 10) + x + 2. אם נרצה, אולי נרצה לכתוב את המונח הראשון כ- (0,5) x ² כדי לקבל (0,5) x ² + x + 2.
2
השתמש בגורמים מרובעים כדי לפשט רדיקלים. ביטויים מתחת לשלט שורש ריבועי נקראים ביטויים רדיקליים. ניתן לפשט את אלה על ידי זיהוי גורמים מרובעים (גורמים שהם עצמם ריבועים של מספר שלם) וביצוע פעולת שורש הריבוע על אלה בנפרד כדי להסיר אותם מתחת לשלט השורש הריבועי.
- בואו נתמודד עם דוגמה פשוטה - √ (90). אם נחשוב על המספר 90 כתוצר של שניים מהגורמים שלו, 9 ו -10, נוכל לקחת את השורש הריבועי של 9 כדי לתת את המספר כולו 3 ולהסיר אותו מהרדיקל. במילים אחרות:
  - √ (90)
  - √ (9 × 10)
  - (√ (9) × √ (10))
  - 3 × √ (10)
  - 3√ (10)
3
הוסף מעריצים בעת הכפלת שני מונחים אקספוננציאליים; לחסר בעת חלוקה. כמה ביטויים אלגבריים דורשים הכפלת או חלוקה של מונחים אקספוננציאליים. במקום לחשב כל מונח אקספוננציאלי ולהכפיל או לחלק ידנית, פשוט הוסף אקספוננטים בעת הכפלת והחסר בעת חלוקה כדי לחסוך זמן. מושג זה יכול לשמש גם לפשט ביטויים משתנים.
- לדוגמה, בואו ניקח בחשבון את הביטוי 6x ³ × 8x ⁴ + (x ¹⁷ / x ¹⁵). בכל אירוע בו יש צורך להכפיל או לחלק לפי מעריצים, נגרע או נוסיף את האקספוננטים, בהתאמה, כדי למצוא במהירות מונח פשוט. ראה למטה:
  - 6x ³ × 8x ⁴ + (x ¹⁷ / x ¹⁵)
  - (6 × 8) x ^{3 + 4} + (x ^{17 - 15})
  - 48x ⁷ + x ²
- להסבר מדוע זה עובד, ראה להלן:
  - הכפלת מונחים מעריכיים היא למעשה כמו הכפלת מחרוזות ארוכות של מונחים שאינם אקספוננציאליים. לדוגמא, מכיוון ש- x ³ = x × x × x ו- x ⁵ = x × x × x × x × x, x ³ × x ⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), או x ⁸.
  - באופן דומה, חלוקת מונחים אקספוננציאליים היא כמו חלוקת מחרוזות ארוכות של מונחים לא אקספוננציאליים. x ⁵ / x ³ = (x × x × x × x × x) / (x × x × x). מכיוון שניתן לבטל כל מונח במונה על ידי מונח תואם במכנה, אנו נשארים עם שני איקסים במונה ואין בתחתית, ונותנים לנו תשובה של x ²

טיפים

זכרו תמיד כי עליכם לחשוב על המספרים הללו כבעלי סימנים חיוביים ושליליים. אנשים רבים נתקעים וחושבים "איזה סימן עלי לשים כאן?"
בקש עזרה בעת הצורך!
לפשט ביטויים אלגבריים זה לא קל, אבל ברגע שתקבל את העניין, תשתמש בו כל חייך.

אזהרות

וודא שלא הוספת בטעות מספר כלשהו נוסף, אקספוננט או פעולה שאינה שייכת.
חפש תמיד מונחים דומים ואל תלך שולל על ידי מעריכים.

קרא גם: כיצד למצוא באופן אלגברי את ההפך של פונקציה?