כיצד לפשט מספרים מורכבים?

כדי להוסיף שני מספרים מורכבים או יותר, ראשית פשוט הוסף את החלקים האמיתיים של המספרים יחד.

מספר מורכב הוא מספר המשלב חלק אמיתי עם חלק דמיוני. דמיוני הוא המונח המשמש לשורש הריבועי של מספר שלילי, במיוחד באמצעות הסימון $אני = {\ sqrt {-1}}$ . מספר מורכב, אם כן, עשוי ממספר אמיתי ומכפיל כלשהו של i. כמה מספרים מורכבים לדוגמא הם 3 + 2i, 4-i או 18 + 5i. מספרים מורכבים, כמו כל מספר אחר, ניתן להוסיף, לחסר, להכפיל או לחלק, ואז ניתן לפשט את הביטויים האלה. עליך להחיל כללים מיוחדים כדי לפשט ביטויים אלה עם מספרים מורכבים.

שיטה 1 מתוך 3: הוספה או חיסור של מספרים מורכבים

1
הוסף את החלקים האמיתיים יחד. מכירים בכך שחיבור וחיסור הם באמת אותו תהליך. חיסור אינו אלא הוספת מספר שלילי. לכן מתייחסים לחיבור וחיסור כגרסאות של אותו תהליך. כדי להוסיף שני מספרים מורכבים או יותר, ראשית פשוט הוסף את החלקים האמיתיים של המספרים יחד.
- לדוגמא, כדי לפשט את הסכום של (a + bi) ו- (c + di), ראשית זהה ש- a ו- c הם חלקי המספר האמיתיים, והוסף אותם יחד. באופן סמלי, זה יהיה (a + c).
- השתמש במספרים בפועל במקום במשתנים, שקול את הדוגמה של (3 + 3i) + (5-2i). החלק האמיתי של המספר הראשון הוא 3, והחלק האמיתי של המספר המורכב השני הוא 5. הוסיפו אותם יחד כדי לקבל 3 + 5 = 8. החלק האמיתי של המספר המורכב הפשוט יהיה 8.
2
הוסף את החלקים הדמיוניים יחד. בפעולה נפרדת, זהה את החלקים הדמיוניים של כל מספר מורכב והוסף אותם יחד.
- לדוגמא האלגברית של (a + bi) פלוס (c + di), החלקים המדומים הם b ו- d. הוספת אלה יחד מבחינה אלגברית נותנת את התוצאה (b + d) i.
- בעזרת הדוגמה המספרית של (3 + 3i) + (5-2i), החלקים הדמיוניים של שני המספרים המורכבים הם 3i ו- -2i. הוספת אלה נותנת את התוצאה של 1i, שניתן לכתוב אותה בדיוק כמו i.
3
שלב את שני החלקים ליצירת התשובה הפשוטה. כדי למצוא את הגרסה הפשוטה הסופית של הסכום, חברו את החלק האמיתי ואת החלק הדמיוני. התוצאה היא הסכום הפשוט של המספרים המורכבים.
- הסכום של (a + bi) ו- (c + di) נכתב כ- (a + c) + (b + d) i.
- אם משתמשים בדוגמה המספרית, הסכום של (3 + 3i) + (5-2i) הוא 8 + i.

עליך להחיל כללים מיוחדים כדי לפשט ביטויים אלה עם מספרים מורכבים.

שיטה 2 מתוך 3: הכפלת מספרים מורכבים

1
זכור את כלל נייר הכסף. התבוננות במספר מורכב (a + bi) אמורה להזכיר לך דו-כיווניות מאלגברה או אלגברה 2. זכור שכדי להכפיל את הבינומים, עליך להכפיל כל מונח של הבינום הראשון בכל מונח של השנייה. גרסה קצרה לביצוע פעולה זו היא כלל FOIL, אשר מייצג "ראשון, חיצוני, פנימי, אחרון". לדוגמא של (a + b) (c + d), החל כלל זה באופן הבא:
- ראשון. פירוש ה- F ב- FOIL מכפיל את המונח הראשון של הבינום הראשון עם המונח הראשון של הבינום השני. עבור המדגם, זה יהיה * ג.
- חיצוני. ה- O ב- FOIL אומר לך להכפיל את המונחים "החיצוניים". אלה הם המונח הראשון של הבינום הראשון והמונח השני של הבינום השני. עבור המדגם, זה יהיה * ד.
- פנימי. פירוש ה- I ב- FOIL להכפיל את המונחים "הפנימיים". אלה יהיו שני המונחים המופיעים באמצע, שהם המונח השני של הבינום הראשון והמונח הראשון של הבינום השני. בדוגמה הנתונה, המונחים הפנימיים הם b * c.
- אחרון. ה- L ב- FOIL מייצג את המונחים האחרונים של כל בינומי. עבור הביטוי לדוגמא, זה יהיה b * d.
- לסיום, הוסף את כל ארבעת המוצרים יחד. התוצאה עבור הכפל הבינומי המדגם של (a + b) (c + d) היא ac + ad + bc + bd.
2
החל את כלל FOIL על כפל מספרים מורכב. כדי להכפיל שני מספרים מורכבים, הגדר אותם כמוצר של שתי דו-כיווניות והחל את כלל FOIL. לדוגמא, המוצר של שני המספרים המורכבים (3 + 2i) * (5-3i) פועל באופן הבא:
- ראשון. תוצר המונחים הראשונים הוא 3 * 5 = 15.
- חיצוני. תוצר המונחים החיצוניים הוא 3 * (- 3i). מוצר זה הוא -9i.
- פנימי. התוצר של שני המונחים הפנימיים הוא 2i * 5. מוצר זה הוא 10i.
- אחרון. תוצר המונחים האחרונים הוא (2i) * (- 3i). מוצר זה הוא -6i ². הכירו בכך ש- i ² שווה ל- -1, לכן הערך של -6i ² הוא -6 * -1, שהוא 6.
3

שלב את התנאים. לאחר החלת כלל ה- FOIL ומציאת ארבעת המוצרים העצמאיים, שלב אותם יחד כדי למצוא את תוצאת הכפל. עבור המדגם (3 + 2i) * (5-3i), החלקים משתלבים ונותנים 15-9i + 10i + 6.
4
לפשט על ידי שילוב של מונחים דומים. התוצאה של הכפלת כלל FOIL אמורה להניב שני מונחי מספר אמיתיים ושני מונחי מספר דמיוניים. לפשט את התוצאה על ידי שילוב של מונחים דומים יחד.
- לדוגמא 15-9i + 10i + 6, אתה יכול להוסיף את 15 ו- 6 יחד ולהוסיף את ה- -9i ואת 10i יחד. התוצאה תהיה 21+ i.
החלק האמיתי של המספר הראשון הוא 3, והחלק האמיתי של המספר המורכב השני הוא 5.
5
עבוד על דוגמה אחת נוספת. מצא את התוצר של שני המספרים המורכבים (3 + 4i) (- 2-5i). השלבים לכפל זה הם:
- (3) (- 2) = - 6 (ראשון)
- (3) (- 5i) = - 15i (חיצוני)
- (4i) (- 2) = - 8i (פנימי)
- (4i) (- 5i) = - 20i ² = (- 20) (- 1) = 20 (האחרון)
- -6-15i-8i + 20 = 14-23i (שלבו מונחים ופשטו)

שיטה 3 מתוך 3: חלוקת מספרים מורכבים

1
כתוב את החלוקה של שני מספרים מורכבים כשבר. כאשר ברצונך לחלק שני מספרים מורכבים, הגדר את הבעיה כשבר. לדוגמה, כדי למצוא את המנה של (4 + 3i) חלקי (2-2i), הגדר את הבעיה באופן הבא:
- ${\ frac {(4 + 3i)} {(2-2i)}}$
2

מצא את צמידת המכנה. הצמידה של מספר מורכב היא כלי שימושי. זה פשוט נוצר על ידי שינוי הסימן באמצע המספר המורכב. לפיכך, הצמידה של (a + bi) היא (a-bi). הצמידה של (2-3i) היא (2 + 3i).

התוצאה של הכפלת כלל FOIL אמורה להניב שני מונחי מספר אמיתיים ושני מונחי מספר דמיוניים.
3
הכפל את המונה והמכנה בצירוף המכנה. בכל פעם שאתה מכפיל בשבר שבין המונה והמכנה זהים, הערך הוא רק 1. זהו כלי שימושי לפשט מספרים מורכבים, במיוחד לבעיות חלוקה. לכן, הגדר את הדוגמה (4 + 3i) (2−2i) {\ displaystyle {\ frac {(4 + 3i)} {(2-2i)}}} ${\ frac {(4 + 3i)} {(2-2i)}}$ באופן הבא:
- ${\ frac {(4 + 3i)} {(2-2i)}} * {\ frac {(2 + 2i)} {(2 + 2i)}}$
- ואז הכפל את המונה והמכנה ופשט את הדברים הבאים:
  - ${\ frac {(4 + 3i)} {(2-2i)}} * {\ frac {(2 + 2i)} {(2 + 2i)}}$
  - ${\ frac {8 + 8i + 6i + 6i ^ {2}} {4 + 4i-4i-4i ^ {2}}}$
  - ${\ frac {8 + 14i + 6 (-1)} {4-4 (-1)}}$
  - ${\ frac {8 + 14i-6} {4 + 4}}$
  - ${\ frac {2 + 14i} {8}}$
- שימו לב בשלב השני לעיל, המכנה מכיל את המונחים $+ 4i$ $-4i$ $}$ ו- $−4i {\ displaystyle -4i}$ . אלה יבטלו זה את זה. זה תמיד יקרה כתוצאה מכפל עם הצמידה. התנאים הדמיוניים של המכנה צריכים תמיד לבטל ולהיעלם.
4
חזור לפורמט מספרים מורכב. דע כי המכנה היחיד חל באותה מידה על שני חלקי המונה. פיצל את המונה כדי ליצור מספר מורכב סטנדרטי.
- ${\ frac {2 + 14i} {8}} = {\ frac {2} {8}} + {\ frac {14i} {8}} = {\ frac {1} {4}} + {\ frac { 7i} {4}}$