כיצד להפיק צמיחה לוגיסטית?
במאמר זה אנו נובעים מצמיחה לוגיסטית הן על ידי הפרדת משתנים והן באמצעות פיתרון משוואת ברנולי.
פונקציה לוגיסטית היא פונקציה בצורת S המשמשת בדרך כלל למודל גידול האוכלוסייה. גידול האוכלוסייה מוגבל על ידי משאבים מוגבלים, ולכן כדי להסביר זאת, אנו מציגים יכולת נשיאה של המערכת L, {\ displaystyle L,} שאליה האוכלוסייה נוטה באופן סימפטומי. לכן צמיחה לוגיסטית יכולה להתבטא על ידי משוואת ההפרש הבאה
פונקציה לוגיסטית היא פונקציה בצורת S המשמשת בדרך כלל למודל גידול האוכלוסייה.
dPdt = kP (1 − PL) {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} t}} = kP \ left (1 - {\ frac {P} {L}} \ right)}
פתרנו את משוואת ההפרש, אך היא הייתה ליניארית ולכן עלינו לקחת את הדדי בתשובתנו.
כאשר P {\ displaystyle P} הוא האוכלוסייה, t {\ displaystyle t} הוא זמן ו- k {\ displaystyle k} הוא קבוע. אנו יכולים לראות בבירור שככל שהאוכלוסייה נוטה לכושר הנשיאה שלה, קצב העלייה שלה מאט ל 0. המשוואה הנ"ל היא למעשה מקרה מיוחד של משוואת ברנולי. במאמר זה אנו נובעים מצמיחה לוגיסטית הן על ידי הפרדת משתנים והן באמצעות פיתרון משוואת ברנולי.
שיטה 1 מתוך 2: הפרדת משתנים
- 1משתנים נפרדים.
- 1P (1-PL) dP = kdt {\ displaystyle {\ frac {1} {P \ left (1 - {\ frac {P} {L}} \ right)}} \ mathrm {d} P = k \ mathrm {d} t}
- 2להתפרק לשברים חלקיים. מכיוון שלמכנה בצד שמאל יש שני מונחים, עלינו להפריד ביניהם לצורך שילוב קל.
- הכפל את הצד השמאלי ב- LL {\ displaystyle {\ frac {L} {L}}} והתפרק.
- LLP − P2dP = LP (L − P) dP = APdP + BL − PdP {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {L} {LP-P ^ {2}}} \ mathrm {d} P & = { \ frac {L} {P (LP)}} \ mathrm {d} P \\ & = {\ frac {A} {P}} \ mathrm {d} P + {\ frac {B} {LP}} \ mathrm {d} P \ end {align}}}
- פתר עבור {\ displaystyle A} ו- B. {\ Displaystyle B.}
- L = A (L − P) + BP, בואו L = 0 {\ displaystyle L = A (LP) + BP, \ {\ text {let}} L = 0}
- 0 = −AP + BP, A = B {\ displaystyle 0 = -AP + BP, \ A = B}
- תן P = 0: L = AL {\ displaystyle {\ text {let}} P = 0: L = AL}
- A = 1, B = 1 {\ displaystyle A = 1, \ B = 1}
- הכפל את הצד השמאלי ב- LL {\ displaystyle {\ frac {L} {L}}} והתפרק.
- 3שלבו את שני הצדדים.
- ∫1PdP + ∫1L − PdP = ∫kdtln | P | −ln | L − P | = kt + C {\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {1} {P}} \ mathrm {d } P + \ int {\ frac {1} {LP}} \ mathrm {d} P & = \ int k \ mathrm {d} t \\\ ln | P | - \ ln | LP | & = kt + C \ end {מיושר}}}
- 4בידוד p {\ displaystyle p} . אנו שוללים את שני הצדדים, מכיוון שכאשר אנו משלבים את היומנים, אנו רוצים ש- P {\ displaystyle P} יהיה בתחתית, לפשטות. כמו תמיד, C {\ displaystyle C} לעולם אינו מושפע מכיוון שהוא שרירותי.
- −ln | P | + ln | L − P | = −kt + Cln | L − PP | = −kt + C {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} - \ ln | P | + \ ln | LP | & = - kt + C \\\ ln \ left | {\ frac {LP} {P}} \ right | & = - kt + C \ end {align}}}
- 5פתר עבור p {\ displaystyle p} . אנו נותנים ל- A = eC {\ displaystyle A = e ^ {C}} ומזהים שגם זה אינו מושפע מסימן הפלוס-מינוס, כדי שנוכל להשליך אותו.
- ln | L − PP | = −kt + C | L − PP | = e − kt + CL − PP = ± Ae − ktLP − 1 = Ae − ktPL = 1Ae − kt + 1 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר } \ ln \ left | {\ frac {LP} {P}} \ right | & = - kt + C \\\ left | {\ frac {LP} {P}} \ right | & = e ^ {- kt + C} \\ {\ frac {LP} {P}} & = \ pm Ae ^ {- kt} \\ {\ frac {L} {P}} - 1 & = Ae ^ {- kt} \\ {\ frac {P} {L}} & = {\ frac {1} {Ae ^ {- kt} +1}} \ end {align}}}
- P = LAe − kt + 1 {\ displaystyle P = {\ frac {L} {Ae ^ {- kt} +1}}}
- המשוואה לעיל היא הפתרון לבעיית הצמיחה הלוגיסטית, עם גרף של העקומה הלוגיסטית. כמצופה ממשוואת דיפרנציאל מסדר ראשון, יש לנו A קבוע נוסף, {\ displaystyle A,} הנקבע על ידי האוכלוסייה הראשונית.
המשוואה לעיל היא הפתרון לבעיית הצמיחה הלוגיסטית, עם גרף של העקומה הלוגיסטית.
שיטה 2 מתוך 2: משוואת ברנולי
- 1כתוב את משוואת ההפרש הלוגיסטית. הרחב את הצד הימני והעבר את מונח ההזמנה הראשונה לצד שמאל. אנו יכולים לראות בבירור שמשוואה זו אינה לינארית ממונח P2 {\ displaystyle P ^ {2}} . באופן כללי, למשוואות דיפרנציאליות לא לינאריות אין פתרונות שניתן לכתוב במונחים של פונקציות אלמנטריות, אך משוואת ברנולי היא חריג חשוב.
- dPdt − kP = −kLP2 {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} t}} - kP = - {\ frac {k} {L}} P ^ {2}}
- 2הכפל את שני הצדדים ב- −p − 2 {\ displaystyle -p ^ {- 2}} . כשאנחנו פותרים משוואות ברנולי באופן כללי, נכפיל ב (1 − n) P − n, {\ displaystyle (1-n) P ^ {- n},} כאשר n {\ displaystyle n} מציין את מידת המונח הלא לינארי. במקרה שלנו, זה 2.
- −P − 2dPdt + kP − 1 = kL {\ displaystyle -P ^ {- 2} {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} t}} + kP ^ {- 1} = {\ frac {k} {L}}}
- 3שכתב את המונח הנגזר. אנו יכולים להחיל את כלל השרשרת לאחור כדי לראות ש- −P − 2dPdt = dP − 1dt. {\ Displaystyle -P ^ {- 2} {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} P ^ {- 1}} {\ mathrm {d} t}}.} המשוואה היא כעת לינארית ב- P − 1. {\ displaystyle P ^ {- 1}.}
- dP − 1dt + kP − 1 = kL {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} P ^ {- 1}} {\ mathrm {d} t}} + kP ^ {- 1} = {\ frac {k } {L}}}
- 4פתר את המשוואה עבור p − 1 {\ displaystyle p ^ {- 1}} . כסטנדרט למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, אנו משתמשים בגורם המשלב e∫g (x) dx, {\ displaystyle e ^ {\ int g (x) \ mathrm {d} x},} כאשר g (x) {\ תצוגת תצוגה g (x)} היא המקדם של P − 1, {\ displaystyle P ^ {- 1},} להמרה למשוואה מדויקת. לכן, הגורם המשלב שלנו הוא ekt. {\ Displaystyle e ^ {kt}.}
- ektdP − 1 + (kP − 1 − kL) ektdt = 0 {\ displaystyle e ^ {kt} \ mathrm {d} P ^ {- 1} + \ left (kP ^ {- 1} - {\ frac {k} {L}} \ right) e ^ {kt} \ mathrm {d} t = 0}
- ∫ektdP − 1 = P − 1ekt + R (t) {\ displaystyle \ int e ^ {kt} \ mathrm {d} P ^ {- 1} = P ^ {- 1} e ^ {kt} + R (t)}
- R (t) = ∫ − kLektdt = −1 Lekt {\ displaystyle {\ begin {align} R (t) & = \ int - {\ frac {k} {L}} e ^ {kt} \ mathrm {d} t \\ & = - {\ frac {1} {L}} e ^ {kt} \ end {align}}}
- 1Pekt − 1Lekt = C {\ displaystyle {\ frac {1} {P}} e ^ {kt} - {\ frac {1} {L}} e ^ {kt} = C}
- 5בידוד p {\ displaystyle p} . פתרנו את משוואת הדיפרנציאל, אך היא הייתה ליניארית ב- P − 1, {\ displaystyle P ^ {- 1},} ולכן עלינו לקחת את הדדיות של תשובתנו.
- 1P − 1L = Ce − ktL − PPL = Ce − ktL − P = PLCe − ktL = P (1 + LCe − kt) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {P}} - {\ frac {1} {L}} & = Ce ^ {- kt} \\ {\ frac {LP} {PL}} & = Ce ^ {- kt} \\ LP & = PLCe ^ {- kt} \\ L & = P (1 + LCe ^ {- kt}) \ end {align}}}
- 6להגיע לפיתרון. שכתב את LC {\ displaystyle LC} כקבוע קבוע חדש . {\ Displaystyle A.}
- P = L1 + Ae − kt {\ displaystyle P = {\ frac {L} {1 + Ae ^ {- kt}}}}
קרא גם: כיצד לפשט שברים מורכבים?
