איך מחלקים שורשים מרובעים?

זכור כי לא יכול להיות לך שורש ריבועי במכנה, ולכן כאשר מכפילים שבר בשורש ריבועי, מקם את השורש הריבועי במונה.

חלוקת שורשים מרובעים מפשטת למעשה שבר. כמובן שנוכחותם של שורשים מרובעים הופכת את התהליך למעט מסובך יותר, אך חוקים מסוימים מאפשרים לנו לעבוד עם שברים בצורה פשוטה יחסית. דבר המפתח שיש לזכור הוא שעליך לחלק מקדמים לפי מקדמים, ורדיקלים על ידי רדיקות. אתה אף פעם לא יכול להיות בעל שורש ריבועי במכנה.

שיטה 1 מתוך 4: חלוקת רדיקנים

1
הגדר שבר. אם הביטוי שלך לא מוגדר כבר כשבר, כתוב אותו מחדש כך. זה מקל על ביצוע הצעדים הדרושים בעת חלוקה באמצעות שורש ריבועי. זכרו כי פס שבר הוא גם פס חלוקה.
- לדוגמה, אם אתה מחשב ${\ sqrt {144}} \ div {\ sqrt {36}}$ , כתוב את הבעיה כך: ${\ frac {{\ sqrt {144}}} {{\ sqrt {36}}}}$ .
2
השתמש בסימן רדיקלי אחד. אם לבעיה שלך יש שורש ריבועי במונה ובמכנה, אתה יכול למקם את שני הרדיקלים תחת סימן רדיקלי אחד. (רדיקלנד הוא מספר תחת סימן רדיקלי, או שורש ריבועי.) זה יפשט את התהליך המפשט.
- לדוגמא, ניתן ${\ frac {{\ sqrt {144}}} {{\ sqrt {36}}}}$ כ- ${\ sqrt {{\ frac {144} {36}}}}$ .
3
חלק את רדיקלות. חלק את המספרים כמו בכל מספר שלם. הקפד למקם את המנה שלהם תחת סימן רדיקלי חדש.
- לדוגמה, ${\ frac {144} {36}} = 4$ , כך ${\ sqrt {{\ frac {144} {36}}}} = {\ sqrt {4}}$ .
4
לפשט, במידת הצורך. אם רדיקלנד הוא ריבוע מושלם, או שאחד הגורמים שלו הוא ריבוע מושלם, עליכם לפשט את הביטוי. ריבוע מושלם הוא תוצר של מספר שלם המוכפל בעצמו. לדוגמה, 25 הוא ריבוע מושלם, שכן 5 × 5 = 25 {\ displaystyle 5 \ פעמים 5 = 25} $5 \ פעמים 5 = 25$ .
- לדוגמא, 4 הוא ריבוע מושלם, שכן $2 \ פעמים 2 = 4$ . כך:
  ${\ sqrt {4}}$
  $= {\ sqrt {2 \ פעמים 2}}$
  $= 2$
  אז, ${\ frac {{\ sqrt {144}}} {{\ sqrt {36}}}} = {\ sqrt {4}} = 2$ .

שיטה 2 מתוך 4: פקטור רדיקלים

1
הביע את הבעיה כשבריר. סביר להניח שכבר תראו את הביטוי שנכתב כך. אם לא, שנה אותו. פתרון הבעיה כשבר מקל על ביצוע הצעדים הנדרשים, במיוחד כשמחשבים את השורשים הריבועיים. נזכיר כי פס שבר הוא גם פס חלוקה.
- לדוגמה, אם אתה מחשב ${\ sqrt {8}} \ div {\ sqrt {36}}$ , כתוב את הבעיה כך: ${\ frac {{\ sqrt {8}}} {{\ sqrt {36}}}}$ .
2
פקטור כל רדיקל. פקטור את המספר כמו בכל מספר שלם. שמור על הגורמים תחת הסימנים הרדיקליים.
- לדוגמא:
  ${\ frac {{\ sqrt {8}}} {{\ sqrt {36}}}} = {\ frac {{\ sqrt {2 \ times 2 \ times 2}}} {{\ sqrt {6 \ times 6 }}}}$
3
לפשט את המונה ואת המכנה של השבר. כדי לפשט שורש ריבועי, יש לשלוף גורמים שהופכים ריבוע מושלם. ריבוע מושלם הוא תוצאה של מספר שלם המוכפל בעצמו. הגורם יהפוך כעת למקדם מחוץ לשורש הריבועי.
- לדוגמא:
  ${\ frac {{\ sqrt {{\ ביטול {2 \ פעמים 2 \ פעמים}} 2}}} {{\ sqrt {{\ ביטול {6 \ פעמים 6}}}}}$
  ${\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {6}}$
  אז, ${\ frac {{\ sqrt {8}}} {{\ sqrt {36}}}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {6}}$
4
רציונליזציה של המכנה, במידת הצורך. ככלל, לביטוי לא יכול להיות שורש ריבועי במכנה. אם לשבר שלך יש שורש ריבועי במכנה, אתה צריך לנמק אותו. פירוש הדבר לבטל את השורש הריבועי במכנה. לשם כך הכפל את המונה ואת המכנה של השבר בשורש הריבועי שאתה צריך לבטל.
- לדוגמא, אם הביטוי שלך הוא ${\ frac {6 {\ sqrt {2}}} {{\ sqrt {3}}}}$ , עליך להכפיל את המונה והמכנה ב ${\ sqrt {3}}$ לביטול השורש הריבועי במכנה:
  ${\ frac {6 {\ sqrt {2}}} {{\ sqrt {3}}}} \ times {\ frac {{\ sqrt {3}}} {{\ sqrt {3}}}}$
  $= {\ frac {6 {\ sqrt {2}} \ times {\ sqrt {3}}} {{\ sqrt {3}} \ times {\ sqrt {3}}}}$
  $= {\ frac {6 {\ sqrt {6}}} {{\ sqrt {9}}}}$
  $= {\ frac {6 {\ sqrt {6}}} {3}}$ .
5
לפשט עוד יותר, במידת הצורך. לפעמים תישאר עם מקדמים שניתן לפשט, או להפחית. פשט את המספרים השלמים במונה ובמכנה כפי שאתה מפשט כל שבר.
- לדוגמה, ${\ frac {2} {6}}$ מצטמצם ל- ${\ frac {1} {3}}$ , אז ${\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {6}}$ מצטמצם ל ${\ frac {1 {\ sqrt {2}}} {3}}$ , או פשוט ${\ frac {{\ sqrt {2}}} {3}}$ .

לדוגמא, מכיוון ש- 32 מתחלק באופן שווה ב- 16, ניתן לחלק את השורשים הריבועיים.

שיטה 3 מתוך 4: חלוקת שורשים מרובעים עם מקדמים

1
לפשט את המקדמים. אלה המספרים שמחוץ לסימן הרדיקלי. כדי לפשט אותם, חלק או צמצם, תוך התעלמות משורשי הריבוע לעת עתה.
- לדוגמא, אם אתה מחשב ${\ frac {4 {\ sqrt {32}}} {6 {\ sqrt {16}}}}$ , תחילה עליך לפשט ${\ frac {4} {6}}$ . ניתן לחלק את המונה ואת המכנה בגורם 2. לכן, ניתן לצמצם: ${\ frac {4} {6}} = {\ frac {2} {3}}$ .
2
לפשט את השורשים הריבועיים. אם המונה מתחלק באופן שווה על ידי המכנה, פשוט חלק את רדיקלים. אם לא, פשוט כל שורש ריבועי כמו בכל שורש ריבועי.
- לדוגמה, מכיוון ש- 32 מתחלק באופן שווה ב- 16, ניתן לחלק את השורשים הריבועיים: ${\ sqrt {{\ frac {32} {16}}}} = {\ sqrt {2}}$ .
3
הכפל את המקדם / ים הפשוטים על ידי שורש הריבוע המפשט. זכור כי לא יכול להיות לך שורש ריבועי במכנה, ולכן כאשר מכפילים שבר בשורש ריבועי, מקם את השורש הריבועי במונה.
- לדוגמה, ${\ frac {2} {3}} \ times {\ sqrt {2}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {3}}$ .
4
בטל את השורש הריבועי במכנה, במידת הצורך. זה נקרא רציונליזציה של המכנה. ככלל, לביטוי לא יכול להיות שורש ריבועי במכנה. כדי לרציונליזציה של המכנה, הכפל את המונה והמכנה בשורש הריבועי שאתה צריך לבטל.
- לדוגמה, אם הביטוי שלך הוא ${\ frac {4 {\ sqrt {3}}} {2 {\ sqrt {7}}}}$ , עליך להכפיל את המונה והמכנה ב- ${\ sqrt {7}}$ לביטול השורש הריבועי במכנה:
  ${\ frac {4 {\ sqrt {3}}} {{\ sqrt {7}}}} \ times {\ frac {{\ sqrt {7}}} {{\ sqrt {7}}}}$
  $= {\ frac {4 {\ sqrt {3}} \ times {\ sqrt {7}}} {{\ sqrt {7}} \ times {\ sqrt {7}}}}$
  $= {\ frac {4 {\ sqrt {21}}} {{\ sqrt {49}}}}$
  $= {\ frac {4 {\ sqrt {21}}} {7}}$

קרא גם: כיצד לחלק מספרים אי זוגיים ב- 2?

שיטה 4 מתוך 4: מחלקים בינומי עם שורש ריבועי

1
קבע שיש לך בינומיום במכנה. המכנה יהיה המספר בבעיה שאתה מחלק. בינומיאל הוא פולינום דו-מונחי. שיטה זו חלה רק על חלוקת שורשים מרובעים הכוללים בינום.
- לדוגמה, אם אתה מחשב ${\ frac {1} {5 + {\ sqrt {2}}}}$ , יש לך בינומי במכנה, שכן $5+ {\ sqrt {2}}$ הוא פולינום דו-מונחי.
2
מצא את הצמידה של הבינום. זוגות מצומדים הם דו-כיווניים בעלי אותם מונחים, אך פעולות מנוגדות. שימוש בזוג מצומד יאפשר לך לבטל את השורש הריבועי במכנה.
- לדוגמה, $5+ {\ sqrt {2}}$ ו- $5 - {\ sqrt {2}}$ הם זוגות מצומדים, מכיוון שיש להם אותם מונחים אך פעולות מנוגדות.
3
הכפל את המונה והמכנה בצירוף המכנה. פעולה זו תאפשר לך לבטל את השורש הריבועי, מכיוון שהתוצר של זוג מצומד הוא ההפרש של הריבוע של כל מונח בבינום. כלומר, (a-b) (a + b) = a2 − b2 {\ displaystyle (ab) (a + b) = a ^ {2} -b ^ {2}} $(ab) (a + b) = a ^ {{2}} - b ^ {{2}}$ .
- לדוגמא:
  ${\ frac {1} {5 + {\ sqrt {2}}}}$
  $= {\ frac {1 (5 - {\ sqrt {2}})} {(5 + {\ sqrt {2}}) (5 - {\ sqrt {2}})}}$
  $= {\ frac {5 - {\ sqrt {2}}} {(5 ^ {{2}} - ({\ sqrt {2}}) ^ {{2}}}}$
  $= {\ frac {5 - {\ sqrt {2}}} {25-2}}$
  $= {\ frac {5 - {\ sqrt {2}}} {23}}$
  לפיכך, ${\ frac {1} {5 + {\ sqrt {2}}}} = {\ frac {5 - {\ sqrt {2}}} {23}}$ .

כדי לחלק שורשים מרובעים באמצעות רדיקלים, הגדר את הביטוי כשבר בעזרת סימן רדיקלי אחד.

טיפים

שלא כמו הוספה וחיסור של רדיקלים, בחלוקה אין צורך לפשט את הרדיקלים בכדי להסיר ריבועים מושלמים לפני שתתחיל. למעשה, לעתים קרובות עדיף שלא לעשות זאת.
במחשבונים רבים יש לחצני שבר. נסה להזין את מקדם המונה, ללחוץ על כפתור השבר ואז להזין את מקדם המכנה. כשאתה פוגע בסימן =, המחשבון צריך לשכתב את המקדמים למונחים הנמוכים ביותר.
כשעובדים עם שורשים מרובעים, עדיף לעבוד עם שברים לא תקינים מאשר מספרים מעורבים.

לדוגמא, אם הביטוי שלך הוא, עליך להכפיל את המונה והמכנה בביטול השורש הריבועי במכנה.

אזהרות

לעולם אל תכניס עשרוני לשבר. זה יהיה שבר בתוך שבר.
לעולם אל תשאיר רדיקל במכנה של שבר, אלא פשוט או רציונליזציה.
לעולם אל תניחו או השאירו מספר עשרוני או מספר מעורב מול רדיקל, אלא שנה או לשבר ופשט את הביטוי כולו.
אם המכנה שלך כולל סוג כלשהו של חיבור או חיסור, השתמש בשיטת צמד זוגות כדי להסיר רדיקל מהמכנה.