כיצד להשלים הוכחה אוקלידית בתיכון?
זה לא חלק מההוכחה, אך ביצוע צעדים אלה יעזור לך לכתוב הוכחה נכונה ויעילה בהמשך.
גיאומטריה אוקלידית היא אחד התחומים המתמטיים הראשונים בהם התוצאות דורשות הוכחות ולא חישובים. כתיבת הוכחה היא הדרך הרגילה שמתמטיקאים מתקשרים אילו תוצאות אמיתיות ומדוע. השדה כולו בנוי מחמשת הפוסטולטים של אוקלידס.
שיטה 1 מתוך 2: הכנה
ציין את כל הנקודות, הזוויות או כל התכונות האחרות שאתה מתכוון להתייחס אליהן בהוכחה בהמשך.
כל מה שבקטע זה נחשב לעבודת שריטות. זה לא חלק מההוכחה, אך ביצוע צעדים אלה יעזור לך לכתוב הוכחה נכונה ויעילה בהמשך. קשה לכתוב הוכחה מתמטית בזמן אמת; אתה צריך להבין מדוע זה עובד בעצמך לפני שתוכל להעביר את זה בצורה הוכחה.
- 1קרא את הצהרת הבעיה. הבן את הגדרות כל המונחים הן במתן המסקנה והן במסקנה המוצעת.
- 2צייר תרשים של המצב. הפוך את כל הזוויות והמרחקים למדוייקים ולגודל ככל האפשר. תייג את כל הנקודות, הזוויות והמרחקים הרלוונטיים. שים לב כיצד כל אחת מההנחות הנתונות מתבטאת בתרשים.
- 3שרטט מחדש את התרשים. הגרסה הראשונה שלך ככל הנראה לא תהיה מתאימה בדרך כלשהי. אולי זה היה עמוס מכדי לקרוא בבירור, אולי צומת זוג שורות חשוב איננו מהדף, אולי נאמר לך להניח ששלושה זווית חצייה של ריבועי מצטלב בנקודה אחת, וזה לא קורה עם כזה שציירת. בכל מקרה למדת מהניסיון הראשון משהו שיהפוך את הניסיון הבא שלך לטוב יותר.
- 4ערוך תצפיות מהתרשים. האם שני אורכים נראים שווים? אם כן, אתה יכול להוכיח זאת? אילו השערות מתקבלות על הדעת, אם הן נכונות, יעזרו לך להגיע למסקנה המיועדת? רשום כל קשר בין חלקים שונים בתרשים שאתה יכול להפיק מההנחות שלך. שימו לב, זה המקום שבו תרשים מדויק עוזר. אם שתי זוויות נראות לא שוות, אתה יודע ששום הוכחה נכונה לא תכלול את הקביעה שהן שוות. עם תרשים לא מדויק, אתה אף פעם לא יודע.
- 5זכור או חפש תוצאות קודמות שעשויות לעזור. מקובל מאוד שתוצאות מתמטיות תלויות בעבודה קודמת. רמז: אם משפט יש שם (כמו פיתגורס משפט) או קיצור (CPCTC עבור "חלקים המקביל חופף משולשים הם חופפים"), זה כנראה בשימוש תכוף בתוצאות מאוחר כדי לוודא שאתה מבין את זה.
- 6לעבוד אחורה גם כן. נסה לנחש את השורה השנייה אחרונה בהוכחה. אם אתה מנסה להראות שהשטחים של שני משולשים שווים, מה היית צריך? אולי הם חופפים, אבל זו תוצאה הרבה יותר חזקה. אם קצה של אחד תואם לקצה של אחד, האם אתה יכול להראות שגם לגבהים המקבילים יש אותו אורך?
- 7כאשר גילית דרך לקשר באופן לוגי את התנאים ההתחלתיים למסקנה, ערוך רישום הוכחה. הדגישו את שלבי הביניים החשובים ואת המשפטים העיקריים הדרושים להפקתם.
אם שתי זוויות נראות לא שוות, אתה יודע ששום הוכחה נכונה לא תכלול את הקביעה שהן שוות.
שיטה 2 מתוך 2: הוכחה רשמית
ברגע שעבודת הרקע שלך מספיקה, הגיע הזמן להמיר זאת להוכחה רשמית.
- 1צייר תרשים. זה לא צריך להיות מדויק יתר על המידה - רשמית, זה בכלל לא נדרש, אבל זה בדרך כלל עוזר. ציין את כל הנקודות, הזוויות או כל התכונות האחרות שאתה מתכוון להתייחס אליהן בהוכחה בהמשך.
- 2ציין את המשפט. ציין את ההנחות הנתונות, ומה אתה מתכוון להסיק מהן.
- 3הגדר את הפורמט להוכחה של שתי עמודות. תייג את הצהרת העמודה השמאלית ואת העמודה הימנית סיבה.
- 4חזור על כל אחת מהמתנות בשורות הראשונות של ההוכחה. מהסיבה, כתוב "נתון". גם אם חלק מהנתונים לא נדרשים עד מאוחר יותר, לא יכול להזיק לרשום אותם מוקדם.
- 5כוון לעבר תוצאת הביניים החשובה הראשונה שמצאת בשלב ההכנה. כתוב כל שלב לקראת אותה תוצאה, והצדק כל אחד מהם עם סיבה מתאימה. סוגי הסיבות המקובלות הם קטנים. הם כוללים:
- נתון
- הגדרה
- אקסיומה (או פוסטולציה)
- משפט מוכח בעבר (או למה, נוסחה, משפט וכו ').
- 6אם הסיבה היא משפט, הקפד לציין איזה מהם ומדוע הוא חל. השיטות הבאות מקובלות בדרך כלל:
- מחזיר אותו מחדש. (שלושת הגבהים של משולש מצטלבים בנקודה אחת).
- הכוונה אליו בשמו. (משפט תאלס).
- התייחסות לטקסט. (משפט 5,3 בעמוד 124).
- על ידי קיצור סטנדרטי. (SAS).
- 7אם למשפט יש תנאים המצורפים אליו, עליך להראות במפורש כיצד הם מרוצים. לדוגמה, אם ההצהרה שלך היא שמשולש ABC תואם למשולש DEF, ייתכן שתשתמש בסיבה מפורטת זו: BC = EF (שורה 5), <ABC = <DEF (שורה = 13), <BCA = <EFD (שורה 16 ומשפט ההתאמה של ASA. כאשר השורות החמישית, ה -13 וה -16 המוקדמות יותר של ההוכחה מראות זווית וקירועי צד תנאי להחלת ASA.
- 8המשך לעבוד לקראת מסקנתך על ידי קביעת שלבי הביניים המרכזיים האחרים שמצאת בעבודת ההכנה. וודא שכל שלב נובע מהקודמים.
- 9השורה האחרונה של ההוכחה צריכה להיות המסקנה הרצויה. כמו בכל שאר הצעדים, נימק זאת עם סיבה מתאימה.
- 10לחלופין, סיים את ההוכחה באמצעות QED, תיבה או סימן דומה אחר.
קשה לכתוב הוכחה מתמטית בזמן אמת; אתה צריך להבין מדוע זה עובד בעצמך לפני שתוכל להעביר את זה בצורה הוכחה.
- היו ערניים לכל הנחות נסתרות. יש הוכחה מזויפת מפורסמת המיוחסת לפעמים ללואיס קרול לכך שכל המשולשים הם שווה שוקיים. השגיאה מעודנת כאשר היא מוצגת כך. כל המשולשים לכאורה חופפים הם, אכן, חופפים, ומהסיבות שצוינו. קיימת הנחה נסתרת המשתמעת מתרשים מטעה בו נמשכת נקודה C על קטע הקו AB כדי להצדיק | AC | + | CB | = | AB |. תרשים מדויק יגלה כי C אינו בין A ו- B והוא מונח על הרחבה של קטע קו זה, ומראה מדוע ההוכחה משתבשת.
- בשנת קורסי גיאומטרית מבוא, זה נפוץ דורש שימוש בשתי עמודות או פורמטי הוכחה דומים שבו כול צעד מוצדק רשמי. בעבודה מתקדמת יותר זה פחות נפוץ שכן קפדנות יתרה יכולה להסיח את הדעת מהרעיונות החשובים. ובכל זאת, צפוי כי הוכחת סעיף פורמאלית יכולה, על פי דרישה, להיות מומרת לתוך הוכחה קפדנית מלא עם הצדקה מפורשת לכל שלב.
- אם הצהרת בעיה מלווה בתרשים, אתה יכול (בדרך כלל) להניח כי התרשים אינו מטעה בכוונה או סותר את עצמו, אך אינך מניח שהוא נמשך בקנה מידה. אמת את כל ההיבטים בתרשים שעליהם תצטרך להסתמך.
קרא גם: כיצד למצוא את היקף הצורה?
