איך גורמים לדו-משקל גורם?
כדי ליצור גורם דו-ממדי, התחל על ידי הצבת תנאי הבינומי בסדר עולה כדי להקל עליהם לקריאה. לאחר מכן, מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר בשני המונחים, ואז חלק את הגורם המשותף הגדול ביותר מכל מונח. לאחר מכן, סיים על ידי הכפלת הגורם שלך בביטוי המתקבל! אם ברצונך לבדוק את עבודתך, הכפל את הכל בחזרה למשוואה המקורית. למידע נוסף על פקטור בינומיות לפיתרון משוואות ובעיות מסובכות יותר, המשך לקרוא!
לאחר מכן, מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר בשני המונחים, ואז חלק את הגורם המשותף הגדול ביותר מכל מונח.
באלגברה, דו-כיווניים הם ביטויים דו-מונחיים המחוברים לסימן פלוס או סימן מינוס, כגון ax + b {\ displaystyle ax + b} . המונח הראשון כולל תמיד משתנה, ואילו המונח השני עשוי או לא. פקטורציה של בינומי פירושה למצוא מונחים פשוטים יותר, שכאשר הם מוכפלים יחד, מייצרים את הביטוי הבינומי הזה, שעוזר לך לפתור אותו או לפשט אותו להמשך העבודה.
חלק 1 מתוך 3: פיתוחים דו-ממדיים
- 1
- 2הצב את תנאי הבינומיום על מנת להקל עליהם לקריאה. בינומיאל הוא פשוט הוספה או חיסור של שני מספרים, שלפחות אחד מהם מכיל משתנה. לפעמים משתנים אלה מכילים אקספוננטים, כמו x2 {\ displaystyle x ^ {2}} או 5y4 {\ displaystyle 5y ^ {4}} . בעת פקטור ראשוני של דו-כיווני, זה יכול לעזור לסדר מחדש משוואות עם מונחים משתנים עולים, כלומר המעריך הגדול ביותר הוא האחרון. לדוגמה:
- 3t + 6 {\ displaystyle 3t + 6} → 6 + 3t {\ displaystyle 6 + 3t}
- 3x4 + 9x2 {\ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}} → 9x2 + 3x4 {\ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}
- x2−2 {\ displaystyle x ^ {2} -2} → −2 + x2 {\ displaystyle -2 + x ^ {2}}
- שימו לב איך הסימן השלילי נשאר מול ה- 2. אם מונח מונח, פשוט שמרו את השלילי לפניו.
- 3מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר בשני המונחים. פירוש הדבר שאתה מוצא את המספר הגבוה ביותר האפשרי בו ניתן לחלק את שני חלקי הבינום. אם אתה מתקשה, פשוט פנה לשני המספרים לבד, ואז ראה מה המספר התואם הגבוה ביותר. לדוגמה:
- בעיית תרגול: 3t + 6 {\ displaystyle 3t + 6} .
- גורמים של 3: 1, 3
- גורמים של 6: 1, 2, 3, 6.
- הגורם הנפוץ הגדול ביותר הוא 3.
- בעיית תרגול: 3t + 6 {\ displaystyle 3t + 6} .
- 4חלק את הגורם המשותף הגדול ביותר מכל מונח. ברגע שאתה יודע מה הגורם המשותף שלך, עליך להסיר אותו מכל מונח. שים לב, עם זאת, אתה פשוט מפרק את התנאים והופך כל מונח לבעיית חלוקה קטנה. אם עשית זאת נכון, שתי המשוואות יחלקו את הגורם שלך:
- בעיית תרגול: 3t + 6 {\ displaystyle 3t + 6} .
- מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר: 3
- הסר גורם משני המונחים: 3t3 + 63 = t + 2 {\ displaystyle {\ frac {3t} {3}} + {\ frac {6} {3}} = t + 2}
- 5הכפל את הגורם שלך בביטוי שנוצר כדי לסיים. בבעיה האחרונה הסרת 3 כדי לקבל t + 2 {\ displaystyle t + 2} . אבל לא סתם נפטרת משלושתם לגמרי, פשוט מחשבת זאת כדי לפשט את הדברים. אתה לא יכול פשוט למחוק מספרים בלי להחזיר אותם בחזרה! הכפל את הגורם שלך בביטוי כדי לסיים סוף סוף. לדוגמה:
- בעיית תרגול: 3t + 6 {\ displaystyle 3t + 6}
- מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר: 3
- הסר גורם משני המונחים: 3t3 + 63 = t + 2 {\ displaystyle {\ frac {3t} {3}} + {\ frac {6} {3}} = t + 2}
- גורם מרובה על ידי ביטוי חדש: 3 (t + 2) {\ displaystyle 3 (t + 2)}
- תשובה אחרונה ממחשבת: 3 (t + 2) {\ displaystyle 3 (t + 2)}
- 6בדוק את עבודתך על ידי הכפלת הכל בחזרה למשוואה המקורית. אם עשית הכל נכון, לבדוק שיהיה לך נכון צריך להיות קל. פשוט הכפל את הגורם שלך בשני החלקים הנפרדים בסוגריים. אם הוא תואם את הבינום המקורי והלא מעובד, עשית הכל נכון. מההתחלה ועד הסוף, פתר את הביטוי 12t + 18 {\ displaystyle 12t + 18} לתרגול:
- ארגן מחדש את המונחים: 18 + 12t {\ displaystyle 18 + 12t}
- מצא את המכנה המשותף הגדול ביותר: 6 {\ displaystyle 6}
- הסר גורם משני המונחים: 18t6 + 12t6 = 3 + 2t {\ displaystyle {\ frac {18t} {6}} + {\ frac {12t} {6}} = 3 + 2t}
- גורם מרובה על ידי ביטוי חדש: 6 (3 + 2t) {\ displaystyle 6 (3 + 2t)}
- בדוק תשובה: (6 ∗ 3) + (6 ∗ 2 t) = 18 + 12 t {\ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2 t) = 18 + 12 t}
למידע נוסף על פקטור בינומיות לפיתרון משוואות ובעיות מסובכות יותר, המשך לקרוא!
חלק 2 מתוך 3: פקטור דו-כיווני לפתרון משוואות
- 1השתמש בפקטורינג כדי לפשט משוואות ולהקל עליהן בפתרון. כשאנחנו פותרים משוואה עם דו-כיווניות, במיוחד דו-כיווניות מורכבות, זה יכול להיראות כאילו אין סיכוי שהכל יתאים. לדוגמה, נסה לפתור 5y − 2y2 = −3y {\ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y} . אחת הדרכים לפתור את זה, במיוחד עם מעריכים, היא לקחת גורם ראשון.
- בעיית תרגול: 5y − 2y2 = −3y {\ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}
- זכור כי הדף הבינומי חייב להיות בעל שני מונחים בלבד. אם יש יותר משני מונחים תוכלו ללמוד לפתור פולינומים במקום.
- 2הוסף וחסר כך שצד אחד של המשוואה יהיה שווה לאפס. כל האסטרטגיה הזו נשענת על אחת העובדות הבסיסיות ביותר במתמטיקה: כל דבר המוכפל באפס חייב להיות שווה לאפס. אז אם המשוואה שווה לאפס, אז אחד המונחים המצורפים שלך חייב להיות שווה לאפס! כדי להתחיל, הוסף והחסר כך שצד אחד יהיה שווה לאפס.
- בעיית תרגול: 5y − 2y2 = −3y {\ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}
- הגדר לאפס: 5y − 2y2 + 3y = −3y + 3y {\ displaystyle 5y-2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}
- 8y − 2y2 = 0 {\ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}
- 3פקטור את הצד שאינו אפס בדיוק כמו רגיל. בשלב זה, אתה יכול להעמיד פנים שהצד השני לא קיים שלב. פשוט מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר, חלק אותו, ואז צור את הביטוי הממוקד שלך.
- בעיית תרגול: 5y − 2y2 = −3y {\ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}
- מוגדר לאפס: 8y − 2y2 = 0 {\ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}
- גורם: 2y (4-y) = 0 {\ displaystyle 2y (4-y) = 0}
- 4הגדר את הסוגריים גם בתוך ומחוץ כשווה לאפס. בבעיית התרגול מכפילים את 2y ב -4 - y, והוא חייב להיות שווה לאפס. מכיוון שכל דבר המוכפל באפס שווה לאפס, פירוש הדבר ש- 2y או 4 - y חייבים להיות 0. צור שתי משוואות נפרדות כדי להבין מה y חייב להיות משני הצדדים שווים לאפס.
- בעיית תרגול: 5y − 2y2 = −3y {\ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}
- הגדר לאפס: 8y − 2y2 + 3y = 0 {\ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}
- גורם: 2y (4-y) = 0 {\ displaystyle 2y (4-y) = 0}
- הגדר את שני החלקים ל 0:
- 2y = 0 {\ displaystyle 2y = 0}
- 4 − y = 0 {\ displaystyle 4-y = 0}
- 5פתור את שתי המשוואות באפס כדי לקבל את התשובה הסופית שלך. יכול להיות שיש לך תשובה אחת, או יותר מאחת. זכרו, רק צד אחד צריך להיות שווה לאפס, כך שתוכלו לקבל כמה ערכים שונים של y הפותרים את אותה משוואה. לסיום בעיית התרגול:
- 2y = 0 {\ displaystyle 2y = 0}
- 2y2 = 02 {\ displaystyle {\ frac {2y} {2}} = {\ frac {0} {2}}}
- y = 0
- 4 − y = 0 {\ displaystyle 4-y = 0}
- 4 − y + y = 0 + y {\ displaystyle 4-y + y = 0 + y}
- y = 4
- 2y = 0 {\ displaystyle 2y = 0}
- 6חבר שוב את התשובות שלך כדי להבטיח שהן עובדות. אם קיבלת את הערכים הנכונים עבור y אז אתה אמור להיות מסוגל להשתמש בהם כדי לפתור את המשוואה. זה פשוט לנסות כל ערך של y במקום המשתנה, כפי שמוצג. מכיוון שהתשובה הייתה y = 0 ו- y = 4:
- 5 (0) −2 (0) 2 = −3 (0) {\ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}
- 0 + 0 = 0 {\ displaystyle 0 + 0 = 0}
- 0 = 0 {\ displaystyle 0 = 0} תשובה זו נכונה
- 5 (4) −2 (4) 2 = −3 (4) {\ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}
- 20−32 = −12 {\ displaystyle 20-32 = -12}
- −12 = −12 {\ displaystyle -12 = -12} גם תשובה זו נכונה.
- 5 (0) −2 (0) 2 = −3 (0) {\ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}
כדי ליצור גורם דו-ממדי, התחל על ידי הצבת תנאי הבינומי בסדר עולה כדי להקל עליהם לקריאה.
חלק 3 מתוך 3: טיפול בבעיות מסובכות יותר
- 1זכרו שמשתנים נחשבים גם כגורמים, אפילו עם מעריכים. זכרו, פקטורינג הוא לגלות אילו מספרים יכולים להתחלק לכלל. הביטוי x4 {\ displaystyle x ^ {4}} הוא דרך אחרת לומר x ∗ x ∗ x ∗ x {\ displaystyle x * x * x * x} . פירוש הדבר שתוכל לפצל כל x אם גם למונח השני יש אחד כזה. התייחס למשתנים שאינם שונים ממספר רגיל. לדוגמה:
- ניתן לחשב 2t + t2 {\ displaystyle 2t + t ^ {2}} מכיוון ששני המונחים מכילים t. התשובה הסופית שלך תהיה t (2 + t) {\ displaystyle t (2 + t)}
- אתה יכול אפילו לשלוף מספר משתנים בו זמנית. לדוגמה, ב- x2 + x4 {\ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}} שני המונחים מכילים את אותו x2 {\ displaystyle x ^ {2}} . אתה יכול לגרום ל- x2 (1 + x2) {\ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}
- 2זיהוי דו-כיווני לא פשוטים על ידי שילוב של מונחים דומים. קח לדוגמא את הביטוי 6 + 2x + 14 + 3x {\ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x} . זה אולי נראה כאילו יש לו ארבע קדנציות, אבל תסתכל מקרוב ותבין שיש באמת רק שתיים. אתה יכול להוסיף מונחים דומים, ומכיוון שגם 6 ו- 14 אין משתנה, וגם ה- 2x וה- 3 חולקים את אותו המשתנה, ניתן לשלב את שניהם. פקטורינג קל אז:
- בעיה מקורית: 6 + 2x + 14 + 3x {\ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}
- ארגן מחדש את המונחים: 2x + 3x + 14 + 6 {\ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}
- שלבו מונחים דומים: 5x + 20 {\ displaystyle 5x + 20}
- מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר: 5 (x) +5 (4) {\ displaystyle 5 (x) +5 (4)}
- גורם: 5 (x + 4) {\ displaystyle 5 (x + 4)}
- 3זיהוי "ההבדל בריבועים מושלמים" המיוחד. ריבוע מושלם הוא מספר שהשורש הריבועי שלו הוא מספר שלם, כמו 9 {\ displaystyle 9} (3 ∗ 3) {\ displaystyle (3 * 3)} , x2 {\ displaystyle x ^ {2}} (x ∗ x) {\ displaystyle (x * x)} , או אפילו 144t2 {\ displaystyle 144t ^ {2}} (12t ∗ 12t) {\ displaystyle (12t * 12t)} אם הדף הבינומי שלך היא בעיית חיסור עם שני ריבועים מושלמים, כמו a2 − b2 {\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}} , אתה יכול פשוט לחבר אותם לנוסחה זו:
- ההבדל בנוסחת הריבועים המושלמת: a2 − b2 = (a + b) (a − b) {\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (ab)}
- בעיית תרגול: 4x2−9 {\ displaystyle 4x ^ {2} -9}
- מצא שורשים מרובעים:
- 4x2 = 2x {\ displaystyle {\ sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}
- 9 = 3 {\ displaystyle {\ sqrt {9}} = 3}
- חבר ריבועים לנוסחה: 4x2−9 = (2x + 3) (2x − 3) {\ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x-3)}
- 4למד לפרק את "ההבדל בין קוביות מושלמות. " בדיוק כמו הריבועים המושלמים, זוהי נוסחה פשוטה כאשר יש לך שני מונחים קוביים המופחתים זה על ידי זה. לדוגמה, a3 − b3 {\ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}} . בדיוק כמו בעבר, אתה פשוט מוצא את השורש הקובי של כל אחד, ומחבר אותם לנוסחה:
- ההבדל בנוסחת קוביות מושלמות: a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2) {\ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (ab) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}
- בעיית תרגול: 8x3−27 {\ displaystyle 8x ^ {3} -27}
- מצא שורשים קוביים:
- 8x33 = 2x {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}
- 273 = 3 {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {27}} = 3}
- חבר קוביות לנוסחה: 8x3−27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9) {\ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x-3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}
- 5דעו כי סכום הקוביות המושלמות משתלב גם בנוסחה. שלא כמו ההבדל בין ריבועים מושלמים, תוכלו למצוא בקלות גם קוביות נוספות, כמו a3 + b3 {\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}} , עם נוסחה פשוטה. זה כמעט בדיוק כמו לעיל, רק עם כמה פלוסים ומינוסים התהפכו. הנוסחה קלה בדיוק כמו השניים האחרים, וכל שעליך לעשות הוא לזהות את שתי הקוביות בבעיה להשתמש בה:
- סכום הנוסחה של קוביות מושלמות: a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2) {\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + ב ^ {2})}
- בעיית תרגול: 8x3−27 {\ displaystyle 8x ^ {3} -27}
- מצא שורשים קוביים:
- 8x33 = 2x {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}
- 273 = 3 {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {27}} = 3}
- חבר קוביות לנוסחה: 8x3−27 = (2x + 3) (4x2−6x + 9) {\ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}
![{\ sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ed49f7f0ab2dfb9de3438ac123641fb683a0a0)
![{\ sqrt [{3}] {27}} = 3](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5392df17ff31f62e3cae649d51dd36bde856ce)
כשאנחנו פותרים משוואה עם דו-כיווניות, במיוחד דו-כיווניות מורכבות, זה יכול להיראות כאילו אין סיכוי שהכל יתאים.
- לא לכל הבינומיות יש גורמים משותפים! חלקן מפושטות ככל האפשר כבר.
- אם אינכם בטוחים אם יש גורם משותף, חלקו בחלקים קטנים יותר. לדוגמא, אם אינך מזהה ש- 16 הוא הגורם המשותף בין 32 ל -16, התחל על ידי חלוקת שני המספרים ב- 2. נשארת עם 16 ו- 8, שגם אותם ניתן לחלק ב 8. עכשיו יש לך 2 ו- 1, הגורמים הקטנים ביותר. ברור שיש משהו גדול יותר משני 8 וגם 2 שהוא גורם משותף.
- שים לב שכוח שישי (x 6) הוא גם ריבוע מושלם וגם קוביה מושלמת. ככזה, אתה יכול להחיל את שתי הנוסחאות המיוחדות לעיל, בשני הסדרים, על בינומי זה ההבדל בין כוחות שישיים מושלמים, כגון x 6 - 64. עם זאת, ייתכן שיהיה לך קל יותר ליישם את ההבדל של נוסחת הריבועים המושלמת ראשית, כדי שתוכל לפקח יותר באופן גורף על הבינומי.
- לא ניתן לחשב בינומיום שהוא סכום הריבועים המושלמים.
שאלות ותשובות
- מה אם למשתנה אין מקדם? או ששני המספרים חולקים את 1 כגורם הנפוץ הגדול ביותר?חלק מהבינוניות פשוט לא ניתנות לבדיקה.
- מה אם למונח אחד יש אותו מקדם, אך אין לו מעריך?פקטור המקדם.
- 2x לעוצמה 2 פחות 8 מפוקחים זה 2 (x-2) (x + 2) בספר הלימוד שלי. אבל אני מבולבל מכיוון ש- (x-2) (x + 2) הופך ל- x לחזק השני מינוס 4הסיבה לכך היא שאתה יכול למעשה לגרום פעמיים. X בריבוע מינוס ארבע הוא הבדל של ריבועים מושלמים, כלומר אתה יכול לפקח אותו על (x-2) (x + 2). 2 מלפנים הוא מהפקטורינג הראשון.
