כיצד לפתור את המתנד ההרמוני הקלאסי?

במערכת המתארת מתנד הרמוני לח, קיים כוח נוסף תלוי מהירות שכיוונו מנוגד לתנועה.

בפיזיקה, המתנד ההרמוני הוא מערכת החווה כוח משחזר פרופורציונלי לתזוזה משיווי משקל $F = -kx.$ מתנדים הרמוניים נמצאים בכל מקום בפיזיקה ובהנדסה, ולכן ניתוח של מתון פשוט מערכת תנודה כמו מסה על קפיץ נותנת תובנות לגבי תנועה הרמונית במערכות מסובכות יותר ולא אינטואיטיביות יותר, כאלו בהן נתקלים במכניקת הקוונטים ובאלקטרודינמיקה.

במאמר זה אנו עוסקים בשני מקרים של תנועה הרמונית קלאסית: המתנד ההרמוני הפשוט, כאשר הכוח היחיד הקיים הוא הכוח המשחזר; והמתנד ההרמוני הדחוס, שבו קיים גם כוח חיכוך תלוי מהירות. הוא המליץ כי אתה לסקור את השיטות לפתרון משוואות דיפרנציאליות מקדם קבוע ליניארית הומוגנית לפני שתמשיך.

חלק 1 מתוך 2: מתנד הרמוני פשוט

1
מצא את משוואת התנועה של אובייקט המחובר למעיין הוקי. אובייקט זה מונח על רצפה ללא חיכוך, והמעיין עוקב אחר חוק הוק F = −kx. {\ Displaystyle F = -kx.} $F = -kx.$
- החוק השני של ניוטון אומר שגודל הכוח פרופורציונאלי לתאוצה של האובייקט $F = אמא.$ כאשר הקפיץ נמשך למצב נרגש, כלומר מתוך שיווי משקל, האובייקט חווה כוח מחזיר. שנוטה להחזיר אותו לשיווי משקל. ברגע שהקפיץ מגיע לנקודת שיווי המשקל, אולם האובייקט נע במהירות הגדולה ביותר שלו. הקפיץ עובר אפוא תנועה מתנדנדת, ומכיוון שאנו מניחים שהרצפה נטולת חיכוך (ללא שיכוך), הוא מציג תנועה הרמונית פשוטה.
- החוק של ניוטון מתייחס בעקיפין למיקום של אובייקט לכוח הפועל עליו באמצעות נגזרת שנייה, כי $A = {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {{2}} x} {{\ mathrm {d}} t ^ {{2}}}}.$
- כאשר עוסקים בנגזרות זמן, פיזיקאים משתמשים לעתים קרובות בסימון ניוטון לנגזרות, כאשר מספר הנקודות תואם למספר נגזרות הזמן. לדוגמה, $A = {\ ddot x}.$
2

הגדר את משוואת הדיפרנציאל לתנועה הרמונית פשוטה. המשוואה היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר שני עם מקדמים קבועים. במערכת שלנו, הכוחות הפועלים בניצב לכיוון התנועה של האובייקט (משקל האובייקט והכוח הרגיל המקביל) מתבטלים. לכן, הכוח היחיד הפועל על האובייקט כאשר הקפיץ מתרגש הוא הכוח המשקם. המשמעות היא שאנחנו משווים את שניהם יחד כדי להשיג $F = ma = -kx.$

לכן, הפיתרון הכללי למשוואת ההפרש של תנודה הרמונית דעכה הוא כדלקמן, שם אנו גורמים a.
3
שכתב מחדש את האצה במונחים של מיקום וסדר מחדש את המונחים כדי לקבוע את המשוואה ל- 0.
- $M {\ ddot x} + kx = 0$
4
לפתור את משוואת התנועה.
- הגדר את המשוואה האופיינית.
  - $מר ^ {{2}} + k = 0$
- מצא את שורשי המשוואה האופיינית.
  - $R = \ pm {\ sqrt {{\ frac {k} {m}}}} i$
- לאחר מכן, הפתרון למשוואת הדיפרנציאל הוא כדלקמן.
  - $X (t) = c _ {{1}} \ cos \ left ({\ sqrt {{\ frac {k} {m}}}} \, t \ right) + c _ {{2}} \ sin \ left ({\ sqrt {{\ frac {k} {m}}}} \, t \ right)$
5
לפשט. אמנם הביטוי הנ"ל נכון, אך הוא מעט מגושם כאשר הפיתרון כתוב במונחים של שתי פונקציות טריגונומטריות.
- ראשית, אנו מכירים בכך שהשורש הריבועי הוא התדר הזוויתי של המערכת, כך שנוכל לסמן ככה ω0 {\ displaystyle \ omega _ {0}} $\ אומגה _ {{0}}$ .
  - $\ omega _ {{0}} = {\ sqrt {{\ frac {k} {m}}}}$
- המשמעות היא שניתן לשכתב את משוואת הדיפרנציאל במונחים של תדר הזוויתי.
  - ${\ ddot x} + \ omega _ {{0}} ^ {{2}} x = 0$
- למטה, A {\ displaystyle A} $א$ הוא משרעת התנודה, ו- ϕ {\ displaystyle \ phi} $\ phi$ הוא גורם השלב, שניהם תלויים בתנאים התחלתיים. ראה מאמר זה לקבלת פרטים על אופן כתיבת הפיתרון מחדש במונחים של גורם פאזה.
  - $X (t) = a \ cos (\ omega _ {{0}} t + \ phi)$

חלק 2 מתוך 2: מתנד הרמוני לח

1

שלבו כוח חיכוך תלוי מהירות. במערכת המתארת מתנד הרמוני לח, קיים כוח נוסף תלוי מהירות שכיוונו מנוגד לתנועה. ניתן לכתוב כוח זה כ- $F = -bv,$ כאשר $ב$ הוא קבוע שנקבע בניסוי. עם כוח נוסף זה, ניתוח כוח נותן $Ma = -kx-bv.$

מתוצאות קודמות, אנו יכולים לכתוב את משוואת התנועה של מתנד הרמוני מושתק כדלקמן, היכן המשרעת ההתחלתית והיא גורם הפאזה, שתלויים בתנאים ההתחלתיים.
2
כתוב מחדש תאוצה ומהירות מבחינת המיקום וסדר מחדש את המונחים כדי לקבוע את המשוואה ל- 0.
- $M {\ ddot x} + b {\ dot x} + kx = 0$
- זו עדיין משוואה מקדמית קבועה מסדר שני, ולכן אנו משתמשים בשיטות הרגילות.
3
לפתור את משוואת התנועה.
- הגדר את המשוואה האופיינית.
  - $מר ^ {{2}} + br + k = 0$
- פתור את המשוואה האופיינית. השתמש בנוסחה הריבועית.
  - $R = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {{2}} - 4mk}}} {2m}}$
- לכן, הפתרון הכללי למשוואה הדיפרנציאלית של תנודה הרמונית דעכה הוא כדלקמן, שם אנו מחשיבים e − b2mt. {\ Displaystyle e ^ {{\ frac {-b} {2m}} t}.} $E ^ {{{\ frac {-b} {2m}} t}}.$
  - $X (t) = e ^ {{{\ frac {-b} {2m}} t}} \ שמאל (c _ {{1}} e ^ {{{\ frac {{\ sqrt {b ^ {{2} } -4mk}}} {2m}} t}} + c _ {{2}} e ^ {{\ \ frac {- {\ sqrt {b ^ {{2}} - 4mk}}} {2m}} t }}\ימין)$
4
עברו על שלושת המקרים. שלושת המקרים תלויים בערך הערך במעריך, אשר בתורו תלוי במפלה b2−4mk. {\ Displaystyle b ^ {2} -4mk.} $B ^ {{2}} - 4mk.$
- b2−4mk> 0 {\ displaystyle b ^ {2} -4mk> 0} $B ^ {{2}} - 4mk> 0$
  - כאשר המפלה חיובי, הפיתרון הוא פשוט סכום של שתי פונקציות מעריכיות יורדות. זה נקרא מערכת מוגזמת. מכיוון שזה לא מתאר מתנד הרמוני, אנחנו לא מעוניינים במקרה זה.
- b2−4mk = 0 {\ displaystyle b ^ {2} -4mk = 0} $B ^ {{2}} - 4mk = 0$
  - כאשר המפלה הוא 0, אז הפיתרון הוא פונקציה מעריכית יורדת $(c _ {{1}} t + c _ {{2}}) e ^ {{{\ frac {-b} {2m}} t}}.$ זה נקרא מערכת מושחתת באופן קריטי. מסה על קפיץ במערכת מושחתת באופן ביקורתי חוזרת לשיווי משקל במהירות האפשרית ואינה מתנודדת, כך שאיננו מעוניינים במקרה זה.
- b2−4mk <0 {\ displaystyle b ^ {2} -4mk <0} $B ^ {{2}} - 4mk <0$
  - כאשר המפלה הוא שלילי, אז הפתרון כולל מעריכים דמיוניים. זה נקרא מערכת לא תחתונה, והמסה מתנודדת.
חלק 1 מתוך 2: מתנד הרמוני פשוט.
5
לפשט. מכיוון שבמקרה הלא מושפע, השורשים הם מספרים מורכבים, נוכל להשתמש בנוסחה של אוילר כדי לכתוב את הפתרון במונחים של סינוסים וקוסינוסים. שימו לב לשינוי הסימן בשורש הריבועי.
- $X (t) = e ^ {{- b / 2m}} \ left (c _ {{1}} \ cos \ left ({\ frac {{\ sqrt {4mk-b ^ {{2}}}}} { 2m}} \, t \ right) + c _ {{2}} \ sin \ left ({\ frac {{\ sqrt {4mk-b ^ {{2}}}}} {2m}} \, t \ right)\ימין)$
6
כתוב מחדש את הפתרון במונחים של זמן ריקבון τ {\ displaystyle \ tau} $\ tau$ ותדר זוויתי דעוך ωd {\ displaystyle \ omega _ {d}} $\ אומגה _ {{d}}$ .
- זמן הדעיכה $\ tau = 2m / b$ הוא משך הזמן שלוקח למשרעת המערכת להתפורר ל $1 / ה$ של המשרעת הראשונית.
- התדירות הזוויתית דיכא מתייחס לשני התדירות הזוויתית (של מתנד undamped המקביל) וריקבון זמן באופן הבא, שבו אנחנו מביאים את 2m {\ displaystyle 2m} $2 מטר$ בתוך השורש הריבועי.
  - ${\ begin {align} \ omega _ {{d}} ו- = {\ sqrt {{\ frac {4mk-b ^ {{2}}} {4m ^ {{2}}}}} \\ and = {\ sqrt {\ omega _ {{0}} ^ {{2}} - {\ frac {1} {\ tau ^ {{2}}}}}} סוף {מיושר}}$
- מתוצאות קודמות, אנו יכולים לכתוב את משוואת התנועה של מתנד הרמוני דמוי כדלקמן, כאשר A {\ displaystyle A} $א$ הוא המשרעת הראשונית ו- ϕ {\ displaystyle \ phi} $\ phi$ הוא גורם הפאזה, שניהם תלויים בתנאים התחלתיים.
  - $X (t) = ae ^ {{- t / \ tau}} \ cos (\ omega _ {{d}} t + \ phi)$
- אנו יכולים לראות כאן שמשוואת התנועה מתארת מערכת תנודה, שמעטפתה היא פונקציה מעריכית הולכת ופוחתת. קצב ירידת הפונקציה והתדירות בה היא מתנודדת תלויים כולם בפרמטרים של המערכת ויש לקבוע אותם בניסוי.