כיצד לחלק מספרים מורכבים?
כאשר אתה מחלק מספרים מורכבים, או מספרים הכתובים בצורה z = a פלוס b כפול i, כתוב את 2 המספרים המורכבים כשבר. מצא את הצירוף המורכב של המכנה, הנקרא גם z-bar, על ידי היפוך סימן המספר הדמיוני, או i, במכנה. הכפל את המונה והמכנה באמצעות הצמידה המורכבת הזו, ואז הפשט והפריד את התוצאה למרכיבים אמיתיים ודמיוניים. המשך לקרוא כדי ללמוד כיצד לחלק מספרים מורכבים באמצעות קואורדינטות קוטביות!
כאשר אתה מחלק מספרים מורכבים, או מספרים הכתובים בצורה z = a פלוס b כפול i, כתוב את 2 המספרים המורכבים כשבר.
מספר מורכב הוא מספר שניתן לכתוב בצורה z = a + bi, {\ displaystyle z = a + bi,} כאשר {\ displaystyle a} הוא המרכיב האמיתי, b {\ displaystyle b} הוא הדמיוני רכיב, ו- i {\ displaystyle i} הוא מספר העונה על i2 = −1. {\ displaystyle i ^ {2} = - 1.}
המשך לקרוא כדי ללמוד כיצד לחלק מספרים מורכבים באמצעות קואורדינטות קוטביות!
מספרים מורכבים מספקים רבים מהתכונות שיש למספרים ממשיים, כגון קומוטטיביות ואסוציאטיביות. עם זאת, כאשר ביטוי נכתב כיחס בין שני מספרים מורכבים, לא ברור מאליו שהמספר מורכב. אך בהתחשב בכך ששדה המספר המורכב חייב להכיל הפוכה מכפלת, הביטוי בסופו של דבר פשוט תוצר של שני מספרים מורכבים ולכן עליו להיות מורכב. אנו מראים כיצד לכתוב יחסים כאלה בצורה הסטנדרטית a + bi {\ displaystyle a + bi} הן בקואורדינטות הקרטזיות והן בקואורדינטות הקוטביות.
חלק 1 מתוך 2: קואורדינטות קרטזיות
- 1התחל ביחס. בחלק זה נראה כיצד לחלק שני מספרים מורכבים ונראה מדוע זה עובד.
- 2 + 3i3 + 6i {\ displaystyle {\ frac {2 + 3i} {3 + 6i}}}
- 2מצא את הצמידה המורכבת של המכנה. הצירוף המורכב z¯, {\ displaystyle {\ bar {z}},} מבוטא "z-bar", הוא פשוט המספר המורכב עם סימן החלק הדמיוני הפוך. לדוגמה, הצמידה של המספר 3 + 6i {\ displaystyle 3 + 6i} היא 3−6i. {\ Displaystyle 3-6i.}
- 3הכפל את המונה והמכנה באמצעות הצמידה המורכבת הזו. הסיבה לכך שזה עובד היא שעבור כל מספר מורכב z, {\ displaystyle z,} הכפלתו בצמידה שלו מניבה מספר אמיתי zz¯ = (a + bi) (a-bi) = a2 + b2, {\ displaystyle z {\ bar {z}} = (a + bi) (a-bi) = a ^ {2} + b ^ {2},} מכיוון ש- {\ displaystyle a} ו- b {\ displaystyle b} שניהם אמיתיים. ה- i מוסרים לאחר מכן מהמכנה. זכרו שאנחנו באמת מכפילים ב- 1, ולכן עלינו להכפיל את החלק העליון והתחתון באותו מספר. התהליך וההנמקה דומים לזה של רציונליזציה של המכנה.
- 2 + 3i3 + 6i⋅3−6i3−6i = 6 + 9i − 12i + 189 + 36 = 24−3i45 {\ displaystyle {\ frac {2 + 3i} {3 + 6i}} \ cdot {\ frac {3- 6i} {3-6i}} = {\ frac {6 + 9i-12i + 18} {9 + 36}} = {\ frac {24-3i} {45}}}
- זכור כי i2 = −1. {\ Displaystyle i ^ {2} = - 1.} פירוש הדבר שעליך לשים לב היטב לשלטים.
- 4לפשט ולהפריד את התוצאה לרכיבים אמיתיים ודמיוניים. כעת יש לנו שבר עם מספר ממשי במכנה, כך שנשאר רק לשים אותו בצורה a + bi. {\ Displaystyle a + bi.}
- 24−3i45 = 8 − i15 = 815−115i {\ displaystyle {\ frac {24-3i} {45}} = {\ frac {8-i} {15}} = {\ frac {8} {15}} - {\ frac {1} {15}} i}
עם זאת, כאשר ביטוי נכתב כיחס בין שני מספרים מורכבים, לא ברור מאליו שהמספר מורכב.
חלק 2 מתוך 2: קואורדינטות קוטביות
- 1סקור גרפים מלבניים של מספרים מורכבים. יתכן שכבר למדתם כיצד לרשום מספר מורכב במישור המורכב. הציר האופקי מציין את הציר האמיתי, ואילו הציר האנכי הוא הציר הדמיוני. למעלה גרף של מספר מורכב שרירותי במישור המורכב. חשוב להבין מה המשמעות של גרפים אלה, מכיוון שאופי המספרים המורכבים אומר שאנחנו יכולים לשרטט קשרים הדוקים בין המאפיינים האלגבריים שלהם (כפי שמוצג בחלק 1) לבין התכונות הגיאומטריות שלהם.
- 2להבין קואורדינטות קוטביות. בשנת קואורדינטות קוטביות, נסמן נקודות עם שני משתנים r {\ displaystyle r} ו θ, {\ displaystyle \ תטא,} שבו r {\ displaystyle r} הוא המרחק מן הקוטב ו θ {\ displaystyle \ תטא} היא הזווית מציר הקוטב. בהקשר של מספרים מרוכבים, סדר הגודל של המספר נקרא מודולוס, בעוד זווית שלה מציר הקוטב נקרא שלה טיעון.
- נזכר בהמרות הקואורדינטות מקרטזיה לקוטב.
- x = rcosθ {\ displaystyle x = r \ cos \ theta}
- y = rsinθ {\ displaystyle y = r \ sin \ theta}
- לכן נוכל לכתוב כל מספר מורכב במישור המורכב כ z = r (cosθ + isinθ). {\ Displaystyle z = r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta).} בעזרת הנוסחה של אוילר, אנו יכול לדחוס זאת ל- z = reiθ. {\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}.}
- בחלק זה, נראה כי ההתמודדות עם מספרים מורכבים בצורה קוטבית היא פשוטה בהרבה מלהתמודד איתם בצורה קרטזית.
- נזכר בהמרות הקואורדינטות מקרטזיה לקוטב.
- 3התחל ביחס. בואו נעשה דוגמא אחרת.
- 3 + 3i2 + 23i {\ displaystyle {\ frac {3 + 3i} {2 + 2 {\ sqrt {3}} i}}}
- 4המירו את המספרים המורכבים שלכם לצורה קוטבית. אם המספרים שלך כבר בצורת קוטב, דלג על שלב זה. אחרת, השתמש ביחסים שלהלן.
- r = a2 + b2 {\ displaystyle r = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}
- θ = שזוף − 1 (ba) {\ displaystyle \ theta = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {b} {a}} \ right)}
- בדוגמה שלנו, יש לנו שני מספרים מורכבים להמרה לקוטב. בואו לסמן אותם כ- z1z2 {\ displaystyle {\ frac {z_ {1}} {z_ {2}}}} ונשתמש בסימון z = reiθ. {\ Displaystyle z = re ^ {i \ theta}.}
- z1 = 3 + 3i = 32eiπ / 4 {\ displaystyle z_ {1} = 3 + 3i = 3 {\ sqrt {2}} e ^ {i \ pi / 4}}
- z2 = 2 + 23i = 4eiπ / 3 {\ displaystyle z_ {2} = 2 + 2 {\ sqrt {3}} i = 4e ^ {i \ pi / 3}}
- 5חלק את שני המספרים המורכבים. כאשר אנו כותבים את המספרים בצורה קוטבית, אנו מוצאים כי כל מה שאנחנו צריכים לעשות הוא לחלק את הבהירויות ו להחסיר את הזוויות. כמו כן, כאשר אנו מכפילים שני מספרים מורכבים בצורה קוטבית, אנו מכפילים את הגדלים ומוסיפים את הזוויות.
- z1z2 = 32eiπ / 44eiπ / 3 = 324ei (π4 − π3) = 324e − iπ / 12 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} {\ frac {z_ {1}} {z_ {2}}} = {\ frac { 3 {\ sqrt {2}} e ^ {i \ pi / 4}} {4e ^ {i \ pi / 3}}} & = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} e ^ {i \ left ({\ frac {\ pi} {4}} - {\ frac {\ pi} {3}} \ right)} \\ & = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} e ^ {- i \ pi / 12} \ end {align}}}
- 6המרה חזרה לקואורדינטות הקרטזיות. השתמש ביחסים הבאים. הזווית שלנו היא θ = −π12, {\ displaystyle \ theta = - {\ frac {\ pi} {12}},} שאינו מוצג בדרך כלל במעגל היחידה. תוכל להשתמש במחשבון או למצוא את הערכים המדויקים של cos (−π12) {\ displaystyle \ cos \ left (- {\ frac {\ pi} {12}} \ right)} ו- sin (−π12) { \ displaystyle \ sin \ left (- {\ frac {\ pi} {12}} \ right)} תוך שימוש בזהויות סיכום טריגונומטריות. להלן אנו משתמשים בזהויות כדי לכתוב את הרכיבים בצורה מדויקת. זהויות כאלה זמינות באופן מקוון או בספרי לימוד.
- a = rcosθ {\ displaystyle a = r \ cos {\ theta}}
- b = rsinθ {\ displaystyle b = r \ sin {\ theta}}
- a = 324cos (−π12) = 324cos (π4 − π3) = 324 (cosπ4cosπ3 + sinπ4sinπ3) = 324 (22⋅12 + 22⋅32) = 324⋅2 + 64 = 3 +338 {\ displaystyle {\ begin {align} a & = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ cos \ left (- {\ frac {\ pi} {12}} \ right) \\ & = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {4}} - {\ frac {\ pi} {3}} \ מימין) \\ & = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ left (\ cos {\ frac {\ pi} {4}} \ cos {\ frac {\ pi} {3 }} + \ sin {\ frac {\ pi} {4}} \ sin {\ frac {\ pi} {3}} \ right) \\ & = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} { 4}} \ left ({\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot { \ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) \\ & = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ cdot {\ frac {{\ sqrt {2}} + {\ sqrt {6}}} {4}} \\ & = {\ frac {3 + 3 {\ sqrt {3}}} {8}} \ end {align}}}
- b = 324sin (−π12) = 324⋅2−64 = 3−338 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} b & = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ sin \ left (- {\ frac {\ pi} {12}} \ right) \\ & = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ cdot {\ frac {{\ sqrt {2}} - {\ sqrt {6}}} {4}} \\ & = {\ frac {3-3 {\ sqrt {3}}} {8}} \ end {align}}}
- 7כתוב את המספר המורכב בצורה סטנדרטית. בעוד שההמרות הנ"ל לקחו לא מעט צעדים, חשוב להכיר בכך שפעולת ההמרה ממערכת קואורדינטות אחת לאחרת היא המקום בו נמצא החלק "הקשה". כאשר אנו עוסקים במספרים מורכבים אך ורק בקוטב, פעולות הכפל, החלוקה ואף האקספוננציאליזציה (ראה הנוסחה של דה-מוייר) קלות מאוד לביצוע.
- 3 + 338 + 3−338i {\ displaystyle {\ frac {3 + 3 {\ sqrt {3}}} {8}} + {\ frac {3-3 {\ sqrt {3}}} {8}} i }
אך בהתחשב בכך ששדה המספר המורכב חייב להכיל היפוך כפול, הביטוי בסופו של דבר הוא תוצר של שני מספרים מורכבים ולכן עליו להיות מורכב.
- קל להראות מדוע הכפלת שני מספרים מורכבים בצורה קוטבית שקולה להכפלת הגדלים ולהוספת הזוויות. כתוב שני מספרים מורכבים בצורה קוטבית והכפל אותם. אז נוכל להשתמש בזהויות של סיכום טריג כדי להפגיש בין החלקים האמיתיים והדמיוניים.
- z1z2 = r1 (cosθ1 + isinθ1) r2 (cosθ2 + isinθ2) = r1r2 (cosθ1cosθ2 + isinθ1cosθ2 + isinθ2cosθ1 − sinθ1sinθ2) = r1r2 ((cosθ1cosθ2 − sinθ1sinθ2) + i (sinθ1cosθ2 + sinθ2cosθ1)) = r1r2 (cos (θ1 + θ2) + isin (θ1 + θ2)) {\ displaystyle {\ begin {align} z_ {1} z_ {2} & = r_ {1} (\ cos \ theta _ {1} + i \ sin \ theta _ {1}) r_ {2} (\ cos \ theta _ {2} + i \ sin \ theta _ {2}) \\ & = r_ {1} r_ {2} (\ cos \ theta _ {1} \ cos \ theta _ {2} + i \ sin \ theta _ {1} \ cos \ theta _ {2} + i \ sin \ theta _ {2} \ cos \ theta _ {1} - \ sin \ theta _ {1} \ sin \ theta _ {2}) \\ & = r_ {1} r_ {2} ((\ cos \ theta _ {1} \ cos \ theta _ {2} - \ sin \ theta _ {1} \ sin \ theta _ {2}) + i (\ sin \ theta _ {1} \ cos \ theta _ {2} + \ sin \ theta _ {2} \ cos \ theta _ {1})) \\ & = r_ {1} r_ {2} (\ cos (\ theta _ {1} + \ theta _ {2}) + i \ sin (\ theta _ {1} + \ theta _ {2})) \ end {align}}}
